Tài liệu Đề thi có đáp án học sinh toán giỏi Hậu Giang đề 1 ppt

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG ĐỀ THI HS GIỎI ĐBSCL MÔN TOÁN ĐỀ NGHỊ BÀI 1 số học Cho a b, Z.. BÀI 3 Hình học phẳng Cho tam giác ABC.. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG

ĐỀ THI HS GIỎI ĐBSCL MÔN TOÁN

(ĐỀ NGHỊ)

BÀI 1 (số học )

Cho a b, Z Chứng minh rằng :

Nếu 24a2 + 1 = b2 thì một và chỉ một trong các số a và b chia hết cho 5

BÀI 2 (Đại số)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, xIR

BÀI 3 (Hình học phẳng)

Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho

AM  AN l (không đổi)

Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định

BÀI 4 (Hình học không gian)

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H cắt đường thẳng d tại N Định điểm S trên d sao cho đoạn SN ngắn nhất

BÀI 5 (dãy số)

Cho dãy  u n n N * và (1) (3) (2 1)

, 1; 2;3;

(2) (4) (2 )

n



Trong đó : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1

lim

2

n

n n u

ĐÁP ÁN Bài 1 :

 Nếu 5

5

a b









 , khi đó từ đẳng thức : 24a2 + 1 = b2 1 = b2 - 24a2 chia hết cho 5 =>

1 chia hết cho 5, vô lý

 Nếu 5 ( ,5) 1

5 ( ,5) 1





 Khi đó : a4 1 (mod 5) (Định lý Fermat)

b4 1 (mod 5)

=> a4 - b4  0 (mod 5)

2 2

0 (mod 5)

0 (mod 5)

a b

a b

  

 

 



- Xét a2 + b2 0 (mod 5)

24a + 1 = b Û 25a + 1 = (a + b ) 5  Þ (25a + 1) 5  vô lý

- Xét a2 - b2 0 (mod 5)

24a + 1 = b Û 23a + 1 = (b - a ) 5  Þ (23a + 1) 5 

2

23a + 1 0(mod5)

(Vì do (a,5)=1 => a  ± 1 ; ± 2 (mod 5))

 a2 1 ; 4 (mod 5) => 23a2 + 1  3 hoặc 4 (mod 5)

Vậy Nếu a,b  Z thỏa đẳng thức 24a2 + 1 = b2 thì một và chỉ một trong các số a và b sẽ chia hết cho 5

BÀI 2

f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006

2 12 2 12 - x + - 2 12

10 số hạng

12 số hạng

10 10.144 120

12

120 120

f x x x

(Cosi)

144

144

BÀI 3 :

Kẻ đường phân giác trong của BÂC là

At Do A,B,C cố định => At cố định

Gọi I là giao điểm của At với MN

Ta có : SAMN = SAMI + SANI

AM AN A AM AIsin AN AI

2 cos

2

A

AI AM AN l

2 cos

2

A

AI l

  (không đổi)

=> I cố định và I  MN

Vậy đường thẳng MN qua 1 điểûm cố định I

BÀI 4 :

Trong SCN có AC là đường cao thứ

nhất

Mặt khác ta có : SC BK SC (BHK)

SC BH



SC KH NH

   là đường cao thứ hai

=> K là trực tâm của SCN

Ta có

ANK D  DACSÞ AN = AK Û AS AN = AK AC.

AC AS

(không đổi)

Vì SNSAAN 2 SA AN  2 AK AC. (không đổi)

.

SA AN AK AC

Vậy điểm S nằm trên d (cố định) cách A (cố định) bằng :SA AK AC.

BÀI 5 : Ta có :

2 2

2

f n n n

    

2

2

(2 1)

f i

(1) (3) (2 1)

(2) (4) (2 )

n

u



 

2

2 2

2

3 1 5 1 7 1 2 1 1

1

n

n

n u

n n

u

 

2

n

n

-