Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG Môn Toán - 180 Phút BÀI 1 : Số học.. Tìm điều kiện cần và đủ đ
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG
( Môn Toán - 180 Phút ) BÀI 1 : Số học
Cho n là số tự nhiên sao cho 2006! chia hết cho 6n Chứng minh n 999 BÀI 2 : Đại số và lượng giác
Giải phương trình : 2005x2 2006x2 = 2004x 2005x
BÀI 3 : Giải tích và tổ hợp
Cho cấp số cộng ao; a1; a2; a3 với an = a + n.d ; a > 0, d > 0 , n N Tìm điều kiện cần và đủ đối với a và d để có một dãy con của cấp số cộng là cấp số nhân
BÀI 4 : Hình học phẳng
Bên trong đường tròn đường kính AB = 2006 có 4 đoạn thẳng mỗi đoạn có độ dài bằng 1003 Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng vuông góc hoặc song song với AB, giao với ít nhất 2 trong 4 đoạn thẳng đã cho BÀI 5 : Hình học không gian
Cho tứ diện ABCD, có các cạnh AD, AC, BD, BC lần lượt tiếp xúc với mặt cầu (S1) bán kính R1 , tâm I1 nằm trên cạnh AB; các cạnh CA, CB,
DA, DB lần lượt tiếp xúc với mặt cầu (S2) bán kính R2 , tâm I2 nằm trên
cạnh CD Chứng minh : AB4(CD2 – 4R22 ) = CD4(AB2 – 4R21 )
Trang 2Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG
Môn Toán BÀI 1 :
2006! 6n 2006! 2n và 2006! 3n
Số các bội của 2 trong dãy 1; 2; 2006 là
2006
2 = 1003 số
Số các bội của 22 trong dãy 1; 2; 2006 là
2006
4 = 501 số Tương tự số các bội của 23 , 24 , 210 trong dãy 1; 2; 2006 lần lượt là 250; 125; 62; 31; 15; 7; 3; 1 số
Như vậy khi phân tích 2006! thành tích các thừa số nguyên tố thì số mũ của 2 là 1003 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 =1998
Cũng làm như trên, ta nhận thấy khi phân tích 2006! thành tích các thừa số nguyên tố thì số mũ của 3 là 668 + 222 + 74 + 24 + 8 + 2 + 1 = 999
Do đó 2006! = 21998.3999.p với (p; 2) = 1; (p; 3) = 1 dễ thấy nếu 2006! 2n thì n 1998 và 2006! 3n thì n 999 Vậy n 999
BÀI 2 :
2005x2 2006x2 = 2004x 2005x 2004x + 2006x2 = 2005x +
2005x2(*)
Đặt 2004 = a, 2006 = b, 2005 = (a + b)/2 = c
Nhận xét 1 : (*) có nghiệm x = 0; x = 1
Nhận xét 2 : Xét hàm số f(x) = x2 x
Trang 3f’(x) = 2 x2 - 1 x - 1 = x - 1(x2 - 1) khi < 0 hoặc > 1 thì f’(x) > 0 với x (1; +), khi 0 < < 1 thì f’(x) < 0 với x (1; +)
do đó f(x) đồng biến trên (1; +) với [0; 1], nghịch biến trên (1; +) với (0; 1)
Nhận xét 3 : Xét hàm số g(x) = x có g’(x) = x - 1, g”(x) = ( 1)x - 2 khi < 0 hoặc > 1 thì g”(x) > 0 với x (1; +) ,
khi 0 < < 1 thì g”(x) < 0 với x (1; +) ,
do đó g(x) lõm trên (1; +) với [0; 1], lồi trên (1; +) với (0; 1)
Theo các nhận xét trên , với x [0; 1] ta có :
ax + bx2 = 1
2 ( ax + bx) +
1
2 (ax
2 + bx2) + 1
2 (bx
2
bx) 1
2 (ax
2
ax)
> cx + cx2 với x (0; 1)ta có :
ax + bx2 = 1
2 ( ax + bx) +
1
2 (ax
2 + bx2) + 1
2 (bx
2
bx) 1
2 (ax
2
ax)
< cx + cx2 Vậy phương trình đã cho chỉ có nghiệm x = 0; x = 1
BÀI 3 :
Điều kiện cần : Giả sử có một dãy con của dãy đã cho là cấp số nhân
ai , aj , ak (i, j, k N, i < j < k) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân đó
a2j = ai.ak (a + j.d)2 = (a + i.d)(a + k.d) a.d( 2j i k ) = d2( i.k
Trang 4j2 )
a
d =
i.k j2
2j i k Q
a
d Q
Điều kiện đủ : giả sử a
d Q
a
d =
m
n với n N* , m N* a.n = d.m Xét bo = ao = a
b1 = (n + 1).bo , b1 = (n + 1)a = n.a + a = a + m.d = am ;
b2 = (n + 1).b1 = (n + 1).am ;
b2 = (n + 1).(a + m.d) = n.a + a + (n + 1)m.d = m.d + a + (n + 1)m.d
= a + (n + 2)m.d = am(n + 2);
b3 = (n + 1).b2 = (n + 1).am(n + 2),
b3 = (n + 1).[a + m(n + 2).d] = n.a + a + (n + 1)(n + 2).m.d
= m.d + a + (n + 1)(n + 2)m.d = a + [(n + 1)(n + 2) + 1]m.d = am[(n + 1)(n + 2)
+ 1];
Rõ ràng quá trình trên có thể kéo dài vô hạn dãy đã cho có dãy con là cấp số nhân
Vậy điều kiện cần và đủ để cấp số cộng đã cho có dãy con cấp số nhân là a
d Q
BÀI 4 :
Kẻ đường kính CD AB
Xét EF là một trong các đoạn đã cho, gọi độ dài hình chiếu của EF lần lượt trên AB, CD là x1 ; y1, dễ thấy x1 + y1 EF = 1003
Tương tự, độ dài các hình chiếu 3 đoạn còn lại trên AB, CD làn lượt là là
x2 ; y2, x3 ; y3, x4 ; y4
Rõ ràng là ( x1 + x2 + x3 + x4 ) + ( y1 + y2 + y3 + y4 ) 2.2006, như vậy một trong hai tổng ( x1 + x2 + x3 + x4 );( y1 + y2 + y3 + y4 ) có một tổng
Trang 5lớn hơn 2006, giả sử đó là ( x1 + x2 + x3 + x4 ), suy ra trên AB có điểm M thuộc ít nhất 2 hình chiếu của các đoạn nói trên Đường thẳng qua M vuông góc AB là đường thẳng cần tìm
BÀI 5 :
AD, AC là các tiếp tuyến của mặt cầu tâm I1, dễ thấy I1AD = I1AC
BD, BC là các tiếp tuyến của mặt cầu tâm I1, dễ thấy I1BD = I1BC
Do đó tam giác ABD = tam giác ABC suy ra AD = AC; BD = BC Tương tự với các tiếp tuyến của mặt cầu tâm I2, ta có AD = BD; AC =
BC
Đặt AC = AD = BC = BD = a > 0, dễ thấy I1 là trung điểm AB, I2 là trung điểm CD, đặt AB = 2m, CD = 2n
Ta có dtABD = 2.dtADI1 = a.R1 = m.DI1 = m a2 - m2 R1 = m
a
a2 - m2
Tương tự R2 = m
a a2 - m2
Như vậy : CD2 – 4R22 = 4(n2 – R22 ) = 4n2
1 – a2 – n2
a2 = 4
n4
a2 =
CD4
4a2
Tương tự : AB2 – 4R21 = AB4
4a2
Suy ra : AB4(CD2 – 4R22 ) và CD4(AB2 – 4R21 ) cùng bằng AB4 CD4
4a2