Tài liệu Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi Bạc Liêu doc

Câu 4 4đ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác không vuông ABC.. còn các cạnh CA,CBvà DA,DB tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r.

SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL - 2006

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài 180’

Câu 1 (4đ)

Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện :

4 4 4 4 2

1

a  b   c d  e 

Chứng minh rằng :

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 4

Câu 2 (4đ)

Giải phương trình sau :

sin3 x  4 cos3 x  3 cos x

Câu 3 (4đ)

Cho dãy số (an) , n= 1,2,3… được xác định bởi a1  0, an1  can2  an

với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương Chứng minh rằng :

an  cn1 n an 1n1

4

Câu 4 (4đ)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác không vuông ABC Chứng minh rằng:

( tgA tgB OC  )   ( tgB tgC OA  )   ( tgC  tgA OB )   0 

Câu 5 (4đ)

Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu

S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R còn các cạnh CA,CBvà DA,DB tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r

Chứng minh rằng :

AB CD4( 2  4 ) r2  CD AB4( 2  4 R2)

Hết

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN-ĐBSCL-2006 Câu 1 (4đ)

Ta có

4

4

4

5 5

a a a a

a a

a

      





(2đ)

Tương tự :

Từ đó ta có BĐT được chứng minh (1đ)

Câu 2 (4đ)

Vì sinx=0 không là nghiệm của PT nên ta chia 2 vế của PT cho sin2 x ta được : f(t) = t2  3 t  1  0 ( t  cot gx ) (1) (1đ)

Vì f(1) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0 , f( -2 ) = -1 < 0 , f( -1 ) = 3 >0 suy ra (1) có ba nghiệm

thuộc khoảng ( -2;2 ) (1đ )

Đặt :

3

2 9

2 2

1 3

cos 0

1 cos 6 cos

8 ) 1 ( ,

cos

9

8 cos 2 ,

9

4 cos 2 ,

9

2 cos

1







 t t t (1đ)

Từ đây ta tìm được các nghiệm của P T (1đ)

Câu 3 (4đ)

Ta có

1 1

2 1

1 1





n

n

n n

n n

n

a

ca a

a ca

a

a (1đ)

Thay n = 1,2,3,………n và cộng lại ta được :









n

n

i

i

a c n a a

ca a

1 1 1

1 1

1 1

1

(2đ)

1 1

1 2

1 1 1

n n

n

a

a c

n a

n

(1đ)

Câu 4 (4đ)

Vì tam giác ABC không vuông ĐT cần CM

0 0

2 sin 0

sin 0

.

Đặt vế trái u ta có :

0 )) 2 2

sin(

2 (sin )

2 cos 2

sin 2

cos 2

sin 2

(sin 0

C  R2 C  A B  B A  R2 C  A  B 

u

(1đ)

Tương tự :u 0 B  0 (1đ)

Vì 0 B 0 , C không cộng tuyến nên u  0 và Đ T được CM (1đ)

Câu 5 (4đ)

Giả sử m/c S(I;R) tiếp xúc với AD,AC,BD,BC lần lượt tại M,N,P,Q

Ta có : BP = BQ , IP = IQ = R  IBP   IBQ   IBD   IBC

Tương tự ta CM được :

BC BD

AC AD

ABC ABD

IAD

Tương tự đối với m/c S’(J;r) ta CM được : DA = DB , CA = CB

Suy ra : AC = AD = BC = BD = a => I là trung điểm của AB, J là trung điểm CD Đặt AB = 2m ,CD = 2n ta có : (2đ)

2 2

2 2

) (

2 )

a

m R m

a m mDI aR

DIA S

DAB

Tương tự :

2 2

n

a a

n

r   (1đ)

' 2

4

2

4

2

2 2

2 2

2 2

2

4

4 ) 1

( 4 ) (

4 4

a

CD a

n a

n a

n r

n r

2

2

2 2

2

4

4 4

a

AB a

m R

AB    (1đ)

Suy ra AB4( CD2  4 r2)  CD4( AB2  4 R2)