Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm trên đồ thị C sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận của C tại A, B đồng thời hai điểm này cùng với điểm I tạo thành một tam giác nộ[r]
Trang 1TÀI LIỆU TOÁN THPT
http://www.k2pi.net
ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN
NGÀY 12.10.2012
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y =2x + 1
x− 1 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (c).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm trên đồ thị (C) sao cho tiếp
tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại A, B đồng thời hai điểm này cùng với điểm I tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng√10
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình cos 2x
cos x + 1 + cos2x tan x = 1 + sin2x
b) Giải hệ phương trình
(x + y) (25 − 4xy) =105
4 + 4x2+ 17y2 4x2+ 4y2+ 4x − 4y = 7
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân I=
Z π 4
0
1 + tan2x x − (x − tan x) cos2x
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường thẳng SA, SD hợp với đáy một góc 30o Biết AD = a√6, BD = 2a và góc dADB= 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD) theo a
Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn : x (2x + 2y − 5) + y (y − 3) + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = (xy − x + 1)2+ (xy − y + 1)2
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E
là trung điểm của cạnh AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M ; N là trung điểm của của BM và P là giao điểm của AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − 4 = 0 Tìm tọa độ điểm P
b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2− 2x − 4y + 6z − 13 = 0 và đường thẳng d :x+ 1
y+ 2
z− 1
1 Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
MA, MB, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C là các tiếp điểm ) Sao cho [AMB= 60o; [BMC= 90o; [CMA= 120o
Câu 7a (1 điểm) Cho các số phức z1; z2đồng thời thỏa mãn các điều kiện : z1+ 3z1z2= (−1 + i) z2và 2z1− z2= −3 + 2i Tìm mô-đun của số phức w =z1
z2+ z1+ z2
B Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông tại A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ
Biết các điểm M (−3; −1) và N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình : x − y + 5 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2+ (y − 2)2+ (z − 2)2= 12 và điểm
A(4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BOA cân tại B và có diện tích bằng 4√3
Câu 7b (1 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4321 đồng thời các chữ số 1 và 3 luôn có mặt và đứng cạnh nhau
Trang 2
Câu 1. Cho hàm số y =2x + 1
x− 1 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (c).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hoành độ dương nằm trên đồ thị (C) sao cho tiếp
tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại A, B đồng thời hai điểm này cùng với điểm I tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng√10
Lời giải (Sangham_BM ):
Hàm số: y =2x + 1
x− 1 Tập xác định: D = R\{1} Hai tiệm cận của đồ thì hàm số là:
-Tiệm cận ngang: y = 2 -Tiệm cận đứng: x = 1 Suy ra giao điểm của 2 tiệm cận: I(1; 2)
Giả sử điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số (x06= 1) Suy ra y0=2x0+ 1
x0− 1 Để M có hoành độ dương thì x0> 0
Và ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M:y −2x0+ 1
x0− 1 =
−3 (x0− 1)2(x − x0) (∆) Không giảm tính tổng quát ta giả sử A, B lần lượt là giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng, tiệm cận ngang với đồ thị (C)
Suy ra A
1;2(x0+ 2)
x0− 1
, B(2x0− 1; 2) Và IA = 6
|x0− 1|, IB = 2|x0− 1|
Vì hai tiệm cận vuông góc với nhau nên IA và IB vuông góc nhau hay ∆IAB vuông tại I
Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB =1
2AB Vậy để ∆IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp là√10 thì AB = 2√
10
Mà theo định lí Pitago thì IA2+ IB2= AB2nên IA2+ IB2= 40
(x0− 1)2+ 4(x0− 1)
2= 40 ⇐⇒ [(x0− 1)2− 1][(x0− 1)2− 9] = 0 Suy ra x0= 2 hoặc x0= 4 (do x0> 0) (thỏa mãn)
* Nếu x0= 2 → y0= 5 Suy ra M(2; 5)
* Nếu x0= 4 → y0= 3 Suy ra M(4; 3)
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn bài ra là M(2; 5) và M(4; 3)
Câu 2.a Giải phương trình cos 2x
cos x + 1 + cos2x tan x = 1 + sin2x
Lời giải (Love Math):
ĐK : cos x 6= 0
PT tương đương với : cos 2x + (sin x − cos x) + sin x cos x(cos x − sin x) = 0
⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x + sin x cos x − 1) = 0
"
cos x − sin x = 0
cos x + sin x + sin x cos x − 1 = 0
PT thứ 2 đặt sin x + cos x = t, |t| ≤√2
Giải ra ta được x = k2π, x =π
4 + k2.π(k ∈ Z)
Câu 2.b Giải hệ phương trình
(x + y) (25 − 4xy) = 105
4 + 4x2+ 17y2 4x2+ 4y2+ 4x − 4y = 7
Lời giải (hahahaha1):
Đặt x =3a − 1
2 ; y =
3b + 1
2 Lúc đó hệ trở thành:
−6b3+ 9b2= 6a3+ 14a − 20(1)
a2+ b2= 1
Ta có (1) ⇔ 3b2(3 − 2b) = (a − 1)(6a2+ 6a + 20) ⇔ 3(1 − a2)(3 − 2b) = (a − 1)(6a2+ 6a + 20)
⇔ (a − 1)(6a2+ 6a + 20 + 9 − 6b + 9a − 6ab) = 0 +) với a = 1 ⇒ b = 0 ⇒ x = 1; y =1
2 +) Với 6a2+ 29 + 15a − 6b − 6ab = 0 (2) ta có: V T (2) ≥ 6a2+ 29 − 15 − 6 − 3 = 6a2+ 5 > 0 nên TH này pt vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
1;1 2
Lời giải (Hồng Vinh):
Từ pt(2) ta tìm được −2 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2
Biến đổi pt(1) thành (x + y)[25 − 4(xy + x − y)] =17
4 + 21y2 Thay 4x − 4y = 7 − 4x2− 4y2ta được : 4y3− 21y2+ 18y + 4x3+ 18x =17
Trang 3khảo sát hai hàm số : f (x) = 4x + 18x, −2 ≤ x ≤ 1 và g(y) = 4y − 21y + 18y, −1 ≤ y ≤ 2
Ta có : f (x) + g(y) ≤17
4 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1, y =1
2 Vậy hệ có nghiệm
1,1 2
Câu 3. Tính tích phân I=
Z π 4
0
1 + tan2x x − (x − tan x) cos2x
Lời giải (hungchng):
1 + tan2x x − (x − tan x) cos2x
x+ x tan2x− x cos2x+ tan x cos2x
xsin2x+ x tan2x
3 + cos 2x +
sin x cos x
3 + cos 2x
=xtan
2x(cos2x+ 1)
3 + 2 cos2x− 1 +
sin 2x 2(3 + cos 2x) =
xtan2x
sin 2x 2(3 + cos 2x)
Do đó I =1
2
−1
2x
2+ x tan x + ln | cos x| −1
2ln |3 + cos 2x|
π 4
0
=π
8 −π
2
64+
1
4ln 2 −
1
4ln 3
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường thẳng
SA, SD hợp với đáy một góc 30o Biết AD = a√6, BD = 2a và góc dADB= 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD) theo a
Lời giải (dan_dhv):
A
D S
H
K T
Gọi O là tâm khối chóp Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ (ABCD) suy ra dSAH= [SDH= 30osuy ra HA = HD
nên tam giác AHD vuông cân tại H ⇒ HA = HD =AD√
2= a
√
3 ⇒ SH = HD tan(30o) = a
Ta có Diện tích đáy S = AD.BD sin(45o) = 2a2.√
3 nên VS.ABCD=2a
3.√ 3 3
Ta có: d(C; (SAD)) = 2d(O; (SAD)) =√2
3d(H; (SAD)) Gọi K là trung điểm của AD
suy ra HK ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (SHK) Hạ HT ⊥ SK suy ra HT = d(H; (SAD)) Ta có : HK =AD
2 =
a√ 6
2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHK ta có : 1
SH2+ 1
HK2 = 1
HT2 ⇒ HT = a
√ 15 5 Vây d(C; (SAD)) =√2
3.
a√ 15
2a√ 5 5
Câu 5. Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn : x (2x + 2y − 5) + y (y − 3) + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = (xy − x + 1)2+ (xy − y + 1)2
Lời giải (hahahaha1):
Giả thiết có thể viết lại thành: (x + y − 1)(x + y − 2) = −(x − 1)2Từ đó ta có được: 1 ≤ x + y ≤ 2
Mặt khác giả thiết cũng viết lại được dưới dạng: 2(x − 1)2+ (y − 1)2= x + y − 2xy ⇒ x + y ≥ 2xy ⇒ 1 ≥ xy
MIN
Ta lại có biểu thức P có thể viết thành: a2− 2ab + 2b2− 2a + 2b + 2 = P Hay a2− 2a(b + 1) + 2b2+ 2b + 2 − P = 0 (1) Trong đó a = x + y(1 ≤ a ≤ 2); b = xy(2 ≥ a ≥ 2b)
Coi (1) như 1 phương trình bậc 2 theo a khi đó để tồn tại a; b ta phải có: ∆0≥ 0 ⇔ P ≥ b2+ 1 ⇒ P ≥ 1
Vậy min P = 1 đạt được khi a = 1; b = 0 ⇒ x = 1; y = 0
MAX
Trang 4Xét hàm số f (a) = a − 2a(b + 1) + 2b + 2b + 2 Ta chi làm 2 TH nhỏ sau:
+) Nếu b ≥1
2 ta xét hàm số trên [2b; 2] Dễ thấy hàm số đạt max tại f (2) hoặc f (2b) (mà f (2) = f (2b) = 2(b2− b + 1)
Do đó: f (a) ≤ 2(b2− b + 1) = 2[b(b − 1) + 1] ≤ 2 Vậy trong TH này max P = 2 khi x = y = 1
+) Nếu b ≤1
2 ta xét hàm số trên [1; 2] Hàm số đạt max tại f (2) (vì f (2) ≥ f (1)) nên ta cũng có giá trị max như TH trên Kết luận: max P = 2 khi x = y = 1
Câu 6a.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E là trung điểm của cạnh AD, BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M ; N là trung điểm của của BM và P là giao điểm của AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − 4 = 0 Tìm tọa độ điểm P
Lời giải (hungchng):
x
−3
−2
−1
1
2 y
0
A
C B
D
E
M
N
P
Gọi I trung điểm AC nên I(1; 0), B thỏa AB = CB và B ∈ BM nên tọa độ B thỏa
(x + 1)2+ (y − 2)2= (x − 3)2+ (y + 2)2
2x − y − 4 = 0
⇐⇒
y= x − 1
y= 2x − 4
⇐⇒
x= 3
y= 2
do đó B(3; 2) suy ra D(−1; −2) (vì I cũng là trung điểm BD) Theo giả thiết E trung điểm AD nên E(−1; 0) và−→CE= (−4; 2)
M∈ CE và M ∈ BM nên tọa độ M thỏa
x+ 1
−4 =
y 2 2x − y − 4 = 0
⇐⇒
x=7 5
y= −6 5
suy ra M 7
5; −
6 5
và N 11
5 ;
2 5
P∈ AN và P ∈ DM nên tọa độ P thỏa
x+ 1 16/5=
y− 2
−8/5
x+ 1 12/5=
y+ 2 4/5
⇐⇒
x=19 5
y= −2 5
Vậy P 19
5 ; −
2 5
Câu 6a.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2− 2x − 4y + 6z − 13 = 0 và đường thẳng d :x+ 1
y+ 2
z− 1
1 Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
MA, MB, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C là các tiếp điểm ) Sao cho [AMB= 60o; [BMC= 90o; [CMA= 120o
Lời giải (dan_dhv):
d
a
a√3
A
B
O
M
K
H
Gọi O là tâm mặt cầu Do A, B,C là các tiếp điểm kẻ từ M đến mặt cầu nên ta có
MA= MB = MC = a và A, B,C nội tiếp một đường tròn
Từ gt ⇒ AB = a, BC = a√2, AC = a√
3 suy ra tam giác ABC vuông tại B Gọi H là trung điểm AC K là trung điểm AB
Ta có
(
AB⊥ MK
AB⊥ HK ⇒ AB ⊥ MH; MH ⊥ AC ⇒ MH ⊥ (ABC) Suy ra M, H, O thẳng hàng MC là tiếp tuyến nên MC ⊥ OC Khi đó CH = a
√
3 , OC = R =√
27 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMC ta có :
Trang 51
a2+ 1
27=
4
3a2 ⇒ a2= 9 ⇒ MO = 6 M ∈ d ⇒ M(t − 1;t − 2;t + 1); O(1; 2; −3)
suy ra (t − 2)2+ (t − 4)2+ (t + 4)2= 36 ⇒ t = 0;t =4
3 suy ra M(−1; −2; 1); 1
3;
−2
3 ;
7 3
Câu 7a. Cho các số phức z1; z2đồng thời thỏa mãn các điều kiện : z1+ 3z1z2= (−1 + i) z2và 2z1− z2= −3 + 2i Tìm mô-đun của số phức w =z1
z2+ z1+ z2
Lời giải (Love Math):
z1+ 3z1z2= (−1 + i) z2
2z1− z2= −3 + 2i
⇒
z1+ 3z1z2
z2 = −1 + i 2z1− z2= −3 + 2i
⇒
z1
z2+ 3z1= −1 + i 2z1− z2= −3 + 2i
⇒ z1
z2
+ 3z1
− (2z1− z2) = (−1 + i) − (−3 + 2i) ⇒z1
z2 + z1+ z2= 2 − i ⇒ |w| =√5
Câu 6b.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông tại A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết các điểm M (−3; −1) và N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình : x − y + 5 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Lời giải (dan_dhv):
C A
B
Phương trình đường thẳng d vuông góc BC qua M(−3; −1) là x + 3 = 0; suy ra tọa độ Q là Q(−3; 2)
Ta có−MN→=−→
QP⇒ P(2; 2)
Đường thẳng AC qua P(2; 2) nhận−→n = (1; 1) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: x + y − 4 = 0
Vậy A −1
2 ;
9
2
; B(−6; −1);C(5; −1)
Câu 6b.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2+ (y − 2)2+ (z − 2)2= 12 và điểm A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BOA cân tại B và có diện tích bằng 4√3
Lời giải (dan_dhv):
Nhận thấy: A, O thuộc mặt cầu Gọi M là trung điểm AO suy ra M(2; 2; 0)
Gọi B(a, b, c) Ta có :−OA(4; 4; 0);→ −→MB(a − 2; b − 2; c) Do tam giác ABO cân tại B nên−OA→⊥−→MB⇒ a + b = 4 (1)
Ta có : 4√3 = SABO=1
2AO.BM =
1
24
√ 2BM ⇒ BM =√
6 ⇒ (a − 2)2+ (b − 2)2+ c2= 6 (2)
Do B ∈ (I; R) nên (a − 2)2+ (b − 2)2+ (c − 2)2= 12 (3)
Từ (1)(2)(3) ta suy ra B 2 +r 23
8 ; 2 −
r 23
8 ;
−1 2
!
; B 2 −r 23
8 ; 2 +
r 23
8 ;
−1 2
!
;
Câu 7b. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4321 đồng thời các chữ số 1 và 3 luôn có mặt và đứng cạnh nhau
Lời giải (Tú Anh):
Giả sử số đó là : abcd
TH1: a, b là các chữ số 1 và 3 Sẽ có 2! cách chọn a, b
Lúc này chọn d có : 4 cách và chọn c có 4 cách TH này có : 2.4.4 = 32 số
TH2 : b, c là các chữ số 1 và 3 Sẽ có 2! cách chọn b, c
+) Nếu d = 0 chọn a có : 2 cách TH này có : 2.1.2 = 4 số
+) Nếu d 6= 0 chọn d có : 2 cách, chọn a có : 2 cách TH này có : 2.2.2 = 8 số
Vậy có : 32 + 4 + 8 = 44 số
...Vậy P = đạt a = 1; b = ⇒ x = 1; y =
MAX
Trang 4Xét hàm số f (a) = a − 2a(b + 1) + 2b + 2b +... lượng tam giác OMC ta có :
Trang 51
a2+ 1< /sup>
27=
4... (hahahaha1):
Giả thi? ??t viết lại thành: (x + y − 1) (x + y − 2) = −(x − 1) 2Từ ta có được: ≤ x + y ≤
Mặt khác giả thi? ??t viết lại dạng: 2(x − 1) 2+ (y − 1) 2=