De thi HSG lop 12 TP Ha Noi nam 1998

Tìm quỹ tích giao điểm M của nhau dưới một góc  cho trước  là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại M.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 1998 - 1999

Môn thi: Toán 12 Ngày thi: 9-12-1998 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (5 điểm)

Cho họ đường cong C m:y x 3 3x2mx 4 m

(m là tham số).

Đường thẳng  d :y 3 x

cắt một đường cong bất kỳ  C của họ C m tại 3 điểm phân

biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của  C

lần lượt cắt đường cong tại

điểm thứ hai là M và N Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.

Bài II (5 điểm)

Giải hệ phương trình:

sin

sin

5

;

4

e

y

x y 





















Bài III (5 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức:

2

1 cos 4 a1 cos8 a1 cos12 a  a làm vế trái có nghĩa

Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn không?

Bài IV (5 điểm)

Cho 2 đường tròn thay đổi  C và  C luôn tiếp xúc với một đường thẳng lần lượt tại hai điểm A và A cố định Tìm quỹ tích giao điểm M của  C và  C biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một góc  cho trước ( là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại M ).

-Hết -Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:……….