Bái tập lớn môn công nghệ nano tính toán cấu trúc vùng cấm quang tử tinh thể quang tử ba chiều

6 CHƯƠNG2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI SÓNG PHẲNG PWEM SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC VÙNG CẤM QUANG CỦA TINH THỂ QUANG TỬ .... 22 CHƯƠNG 5: MÔ PHỎNG TÍNH TOÁN VÙNG CẤM QUANG CỦ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG

~~~~~ ~~~~~

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN CÔNG NGHỆ NANO

Đề tài :

Tính toán cấu trúc vùng cấm quang tử của tinh

thể quang tử ba chiềuGVHD: TS.Nguyễn Việt Hưng

NHÓM 4

Lê Văn Thuận 20153658 Trần Việt Hoàng 20161722 Nguyễn Tiến Thịnh 20163928 Trinh Ngọc Châu 20150337 Trần Sách Chương 20150426 Nguyễn Đăng Huyên 20151725

Hà Nội, 11/2019

Contents

LỜI MỞ ĐẦU 3

TÓM TẮT BÀI TẬP LỚN 4

CHƯƠNG 1: TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CÁC CẤU TRÚC ĐIỆN MÔI BA CHIỀU: 5

1 Hệ phương trình Maxwell: 5

2 Khảo sát hệ phương trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi: 6

CHƯƠNG2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI SÓNG PHẲNG (PWEM) SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC VÙNG CẤM QUANG CỦA TINH THỂ QUANG TỬ 11

1.Giới thiệu về tinh thể quang tử: 11

2.Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử : 11

3.Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) 12

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM VÙNG BRILLOUIN RÚT GỌN, MẠNG ĐẢO, CÁC “ĐƯỜNG VECTO K” 14

1 Khái niệm vùng Brillouin rút gọn 14

2.Mạng đảo là gì ? 15

3 Các 'đường vector K' ? 21

CHƯƠNG 4: CÁC MODE PHÂN CỰC HỖN HỢP (HYBRID

POLARIZATION MODES) 22

CHƯƠNG 5: MÔ PHỎNG TÍNH TOÁN VÙNG CẤM QUANG CỦA CÁC TINH THỂ QUANG TỬ BA CHIỀU CÓ CẤU TRÚC MẠNG TINH THỂ KIM CƯƠNG CÁC HÌNH CẦU KHÔNG KHÍ ĐÚC TRONG KHỐI ĐIỆN MÔI 30

1 Thiết kế layout cho mô hình tinh thể quang tử 3 chiều có cấu trúc mạng kim cương 30

PHỤ LỤC 1: BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC 41

PHỤ LỤC 2: CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT TRONG BÁO CÁO 42

PHỤ LỤC 3: CÁC HÌNH ẢNH SỬ DỤNG TRONG BÁO CÁO 43

TÀI LIÊU THAM KHẢO 44

LỜI MỞ ĐẦU

Nền khoa học công nghệ trên thế giới đang phát triển một cách nhanh chóng nhất là các nước đang phát triển như Mỹ, Nhật Bản Sự phát triển của khoa học công nghệ đã đem lại những diện mạo mới cho cuộc sống con người và công nghệ điện tử viễn

thông Hiện nay trên thế giới đang hình thành một ngành khoa học và công nghệ mới,

có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học công nghệ, kĩ thuật cũng như đời sống kinh tế xã hội của thế kỉ XXI - đó chính là công nghệ nano Với công nghệ nano cho phép chúng ta có thêm những ý tưởng mới trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội Trong công nghệ nano việc nghiên cứu về tinh thể quang tử và vùng cấn quang của tính thể quang tử là việc vô cùng quan trọng Chính vì lí do đó trong bản báo cáo này chúng em xin trình bày nội dung nghiên cứu về

đề tài: "Tính toán cấu trúc vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử ba chiều"

Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn Việt Hưng đã tận tình

hướng dẫn để chúng em có thể hoàn thành đề tài này Mặc dù đã rất cố gắng hoàn thành đề tài một cách tốt nhất tuy nhiên nhóm vẫn không thể tránh khỏi những thiếu xót về kiến thức, nhóm chúng em mong rằng sẽ được thầy và các bạn góp ý, nhận xét

để có thể hoàn thiện hơn

T11/2019

Nhóm 4_BTL Công nghệ nano

TÓM TẮT BÀI TẬP LỚN

Nội dung chính của đề tài là tính toán cấu trúc vùng cấm quang của các tinh thể quang tử ba chiều Cụ thể bài tập lớn gồm 5 chương:

Chương 1: Truyền dẫn ánh sáng trong các cấu trúc điện môi ba chiều

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của phương pháp triển khai sóng phẳng (PWEM) Chương 3: Khái niệm vùng Brillouin rút gọn, mạng đảo, các “đường vecto K” Chương 4: Các mode phân cực hồn hợp (Hybrid Polarization Modes)

Chương 5:Mô phỏng tính toán vùng cấm quang của các tinh thể quang tử ba chiều có cấu trúc mạng tinh thể kim cương các hình cầu không khí đúc trong khối điện môi

CHƯƠNG 1: TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CÁC CẤU TRÚC ĐIỆN MÔI BA CHIỀU:

1 Hệ phương trình Maxwell:

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

 Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss)

 Sự không tồn tại của vật chất từ tích

 Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere)

 Từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng )

Đây cũng chính là nội dung của thuyết điện từ học Maxwell

Hệ phương trình Maxwell (dạng vi phân):

• ∇ là toán tử Nabla Trong hệ tọa độ Đề Các ∇= ( ; ; )

• là véc tơ phân cực điện môi, là số momen lưỡng cực điện trên một đơn

vi thể tích

• là véc tơ từ độ, là số momen lưỡng cực từ trên một đơn vị thể tích

• ε0 là hằng số điện môi chân không ε0 = 8.859×10-12 As/Vm

• μ0 = 4π × 10-7 Vs/Am là độ từ thẩm trong chân không

2 Khảo sát hệ phương trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi:

a) Hiện tượng phân cực điện môi

Phân cực điện môi là sự dịch chuyển của các điện tích trong giới hạn 1 phân tử dưới tác động của điện trường ngoài và hình thành moment điện Trạng thái của điện môi có thể được thể hiện bằng các đại lượng sau:

• Cường độ điện trường E

• Độ phân cực P

• Cảm ứng điện D

• Năng lượng điện trường tích lũy trong điện môi

• Mật độ năng lượng điện trường tích lũy trong điện môiS

• Tốc độ lan truyền sóng điện từ

• Hệ số khúc xạ sóng điện từ

• Bước sóng truyền dẫn sóng điện từ

• Trở kháng song

Sự biến thiên theo thời gian của phân cực tạo thành dòng điện phân cực

= và mật độ điện tích phân cực ρpol = - div

Hiện tượng từ hóa

 Từ hóa là quá trình thay đổi các tính chất từ (cấu trúc từ, mômen từ ) của vật chất dưới tác dụng của từ trường ngoài Khi được sử dụng như một động từ, từ hóa có nghĩa là làm thay đổi tính chất từ của chất bằng từ trường ngoài

 Xét về mặt hiện tượng, từ hóa là sự thay đổi tính chất từ của vật chất theo từ trường ngoài, xét về mặt bản chất, đây là sự thay đổi các mômen từ nguyên tử Khi đặt vào từ trường ngoài, các mômen từ nguyên tử có xu hướng bị quay đi theo từ trường ngoài dẫn đến sự thay đổi về tính chất từ

 Các mômen từ nguyên tố được biểu diễn ở mức vĩ mô bằng mômen từ ứng với một đơn vị thể tích M :

= rot

 Các điện tích và dòng điện: Gắn liền với sự dịch chuyển trong phạm vi rấtgiới hạn của các điện tích; được gọi là các điện tích và dòng điện liên kết

a) Điện môi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng

 Trong môi trường điện môi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng :

• Tính chất từ của môi trường không đáng kể Khi đó ≈ 0 => = μ

• J= 0 và ρ =0 Khi đó = ε

 Biểu diễn phương trình Maxwell

Trong cấu trúc điện môi ba chiều thông qua hệ tọa độ Đề Các :

-μ = - ɛ = -

-μ = - ɛ = -

 Nên phương trình đầu tiên trở thành

 Quay sang phương trình Maxwell-Faraday:

 Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành:

 Suy ra:

 Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không J = 0 nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

 Cuối cùng ta được

là phương trình sóng của thành phần điện trường

 Chứng minh tương tự ta sẽ có

là phương trình sóng của thành phần điện trường

Nếu lan truyền sóng trong các vật liệu điện môi có cấu trúc tuần hoàn :

t t

t

H H

H H

 Nghiệm riêng của phương trình trên là

Với

Với w là tần số riêng

 Đối với trường hợp vật liệu điện môi có cấu trúc tuần hoàn

ε( ) = ε ( + m ) m: số nguyên : chu kì ( ô cơ sở)

 Các nghiệm riêng ( ) và ( ) là các hàm Bloch

CHƯƠNG2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI SÓNG PHẲNG (PWEM) SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC VÙNG CẤM QUANG CỦA TINH THỂ QUANG TỬ

1.Giới thiệu về tinh thể quang tử:

Các tinh thể quang tử cũng được biết đến như là các cấu trúc micro hoặc là các cấu trúc có vùng cấm quang, là các vật liệu với cấu trúc tuần hoàn về các hằng số điện môi khác nhau Các tinh thể quang tử là 1D, 2D, 3D tùy theo sự tuần hoàn về hằng số điện môi, theo không gian 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều Các tinh thể quang tử 3D thì tương

tự với các tinh thể chất rắn Ý tưởng tổng quát là các tinh thể photonic có thể làm những việc với photon như là các tinh thể bán dẫn có thể làm với các điện tử, có nghĩa

là chúng có thể tạo ra tình trạng mà ở đó các photon ở một dãy năng lượng nào đó thì không thể đi qua tinh thể được và chúng bị phản xạ khi chạm vào tinh thể hoặc là không được phép truyền qua tất cả các hướng ở bên trong nó Điều sau này rất quan trọng, vì ví dụ ánh sáng có thể được phát ra từ một nguồn sáng, được phát xạ lại bởi

tinh thể, hiển nhiên là được tái hấp thụ, rồi lại tái phát xạ

Hình 1 Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D

2.Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử :

Sợi tinh thể quang tử (PCFs) là sợi có cấu trúc tuần hoàn được làm bằng các ống nhỏ (như ống mao dẫn) Những lỗ trống được chứa đầy không khí và nó có hình dạng giống mạng lục giác

Hình 2Mặt cắt sợi tinh thể quang tử (PCFs)

Ánh sáng có thể truyền dọc theo sợi bên trong những lỗ khuyết của cấu trúc tinh thể Một lỗ khuyết được tạo ra là do có sự dịch chuyển của một hay nhiều tâm của ống nhỏ Sợi tinh thể quang tử là một loại mới của sợi quang học Kết hợp tính chất của sợi quang và tính chất của tinh thể quang tử sợi tinh thể quang tử có nhiều tính chất mà những sợi quang học trước đây không thể có được

3.Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)

Thông thường sử dụng phương pháp cho modeling của sợi quang học không thể thành công trong PCF modeling Những sợi này có hệ số phản xạ cao và có cấu trúc tuần hoàn với hằng số mạng cỡ bước sóng ánh sáng Bởi vậy những phương pháp sử dụng modeling trong tinh thể quang tử tương tự trong sóng điện từ

Phương pháp khai triển sóng phẳng (PWE) cho ta một cách tiếp cận rất hiệu quảvà gần với mô hình PCFs Phương pháp này cho ta phép giải phương trình vector sóng đầy đủ cho trường từ Trong mô hình này trường tuần hoàn cũng như vị trí phụ thuộc vào hằng số điện môi sử dụng khai triển Fourier của các hàm tuần hoàn được xác định bởi vector mạng tương hỗ

Ta đã có phương trình Master :

(3.1) Coi tinh thể là vô tận theo trục z sử dụng định lí Bloch ta được:

(3.2)

Sử dụng biến đổi Fourier , hằng số điện môi:

(3.3) Phương trình Master có thể viết lại dưới dạng đại số:

Phương pháp PWE cho phép tính được độ tán sắc tương đối và dải vùng cấm của quang tử trong những cấu trúc điện môi tuần hoàn Nó có thể được ứng dụng với bất kì loại cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thường Điều này cho phép xác định cấu trúc dải cua quang tử trong cơ chế dẫn của PBG, cũng như những mode trong chiết xuất của cơ chế dẫn sóng Đây là phương pháp tương đối nhanh, chính xác, tuy nhiên nó có một số nhược điểm như không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính chất hoạt hóa(hấp thụ và khuếch đại) Ngoài ra, nó không mang lại bất kì thông tin về tổn thất do tán xạ, truyền tải và ánh xạ của ánh sáng tới trong PCF

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM VÙNG BRILLOUIN RÚT GỌN, MẠNG ĐẢO, CÁC “ĐƯỜNG VECTO K”

1.Khái niệm vùng Brillouin rút gọn

Trong toán học và trạng thái vật lí của chất rắn, vùng Brillouin đầu tiên là một tế bào nguyên thủy được xác định duy nhất trong không gian đối xứng Ranh giới của ô này được cho bởi các mặt phẳng liên quan đến các điểm trên mạng đối xứng Tầm quan trọng của vùng Brillouin bắt nguồn từ mô tả sóng Bloch của sóng trong môi trường tuần hoàn, trong đó người ta thấy rằng các giải pháp có thể được đặc trưng hoàn toàn bởi hành vi của chúng trong một vùng Brillouin duy nhất

4 3D

Vùng Brillouin đầu tiên là vị trí của các điểm trong không gian đối xứng gần với nguồn gốc của mạng lưới đối xứng hơn so với bất kỳ điểm mạng lưới đối xứng nào khác

Ngoài ra còn có các vùng Brillouin thứ hai, thứ ba, v.v., tương ứng với một chuỗi các vùng tách rời (tất cả có cùng âm lượng) với khoảng cách ngày càng tăng từ gốc, nhưng chúng được sử dụng ít thường xuyên hơn Do đó, vùng Brillouin đầu tiên

thường được gọi đơn giản là vùng Brillouin Tổng quan, vùng Brillouin thứ n bao gồm tập hợp các điểm có thể đạt được từ điểm gốc bằng cách vượt qua chính xác n - 1 mặt phẳng Bragg khác biệt (mặt phẳng không gian đối xứng chia đôi vector mạng đối xứng)

Vùng Brillouin rút gọn là vùng được xác định bởi các đường trung trực giữa các nút cách nhau 1 đơn vị (nút) đối với 1 chiều và 2 chiều Đối với không gian 3 chiều, vùng Brillouin rút gọn được xác định là môt mặt phẳng phân giác chia không gian đối xứng thành hai nửa bẳng nhau

2.Mạng đảo là gì ?

 Mạng đảo là khái niệm sử dụng trong tinh thể học và vật lí chất rắn, biểu diễn của một mạng tinh thể( mạng Bravais ) trong không gian sóng thông qua phép biến đổi Fourier Mạng đảo được nhà vật lí Auguste Bravais đề xuất và nhà vật

lí Josiah Willard Gibbs xây dựng

 Mạng thuận (mạng Bravais) là mạng hình học của mạng tinh thể

 Mọi tinh thể bao gồm 2 mạng, mạng thuận và mạng đảo

 Hình ảnh nhiễu xạ của tinh thể mà ta quan sát thấy chính là ảnh của mạng đảo

 Hình ảnh quan sát đƣợc qua kính hiển vi (giả định) là hình ảnh của mạng thuận

 Mạng đảo đƣợc xây dựng từ 3 vector cơ sở là a1,b1,c1 :

 Một số điểm quan trọng trong một số loại mạng :

Γ Trung tâm vùng Brillouin

Simple cube

• M Trung tâm một cạnh

• R Điểm góc của hình khối

• X Điểm chính giữa một mặt

Face-centered cubic

• K Điểm giữa một cạnh nối giữa hai mặt lục giác

• L Điểm chính giữa một mặt lục giác

• U Điểm giữa một cạnh nối một mặt lục giác và một mặt hình vuông

• W Điểm góc của hình khối

• X Điểm chính giữa của một mặt hình vuông

x, y, z lần lượt là các vector trực giao có độ dài bằng đơn vị (vector đơn vị)

h : độ dài vector mảng thuân

b.Các vector tịnh tiến tối giản của mạng đảo:

a1 = 2pi*x/h; b1 = 2pi*y/h; c1 = 2pi*z/h;

 Mạng đảo cũng là một mạng lập phương đơn giản có hằng số mạng là : 2pi/h;

 Biên vùng Brillouin thứ nhất là các mặt phẳng pháp tuyến của 6 vectors mạng đảo : +- a1, +- b1, +- c1;

Vị trí các điểm giữa: +-a1 = +- pi*x/h; +-b1 = +- pi*y/h; +-c1 = +- pi*z/h; c.Vùng Brillouin thứ nhất: là hình lập phương đơn giản:

Độ dài mỗi cạnh: 2pi/h

Thể tích của vùng Brillouin rút gọn: V = |a*b*c| = h^3/2;

b.Vector tinh tiến tối giản của mảng đảo:

a1 = 2pi*(y + z)/h;

b1 = 2pi*(x + z)/h;

c1 = 2pi*(x + y)/h;

Dạng tổng quát của vector mạng đảo:

G = v1*a1 + v2*b1 + v3*c1 = 2pi*[(v2 + v3)*x + (v1+v3)*y +(v1+v2)*z]/h; c.Vùng Brillouin thứ nhất:

d.Vùng Brillouin tối giản của mảng đảo:

Là hình hộp tạo bởi các vectors: a1, b1, c1

Mỗi vùng chỉ chứa một nút mạng đảo

Thể tích của vùng Brillouin: V = a1*b1*c1 = 2*(2pi/h)^3;

2.3Mạng đảo của mạng Face Centered Cubic:

Thể tích của vùng Brillouin rút gọn: V = a1*b1*c1 = 4*(2pi/h)^3;

Các vector mạng đảo ngắn nhất: 8 vectors: 2pi*(+-x +-y +-z)/h;

Các mặt phẳng cắt nhau tại 6 vectors: 2pi*(+-2x)/h; 2pi*(+-2y)/h; 2pi*(+-2z)/h; b.Vùng Brillouin thứ nhất là hình 8 mặt, trong đó có 6 mặt nằm trong hình lập phương

có cạnh có chiều dài: 4pi/h;

2.4 Ý nghĩ và ứng dụng thực tiễn của mảng đảo:

 Mạng đảo là cấu trúc chuyển động chứa các vector tịnh tiến trong mạng tinh thể

 Mạng đảo giúp đơn giản hoá bài toán nhiễu xạ cac sóng trên mạng tinh thể

 Ứng dung thực tiễn: Nghiên cưu cấu trúc mạng tinh thể bằng kỹ thuật nhiễu xạ tia X cụ thể phương pháp nhiễu xạ bột phổ biến nhất để xác định cấu trúc tinh thể

3 Các 'đường vector K' ?

 Các đường vector K là các vector sóng mô tả sự thay đổi của sóng phẳng, trong

hệ toạ độ trực giao (x, y, z) Đại lượng có đầy đử các thành phần về độ lớn, hướng

 Độ lớn tổng quát của vector sóng:

CHƯƠNG 4: CÁC MODE PHÂN CỰC HỖN HỢP (HYBRID POLARIZATION MODES)

Điện trường và từ trường khác không theo hướng truyền

Trong các ống dẫn sóng, Sự kết hợp Chế độ điện ngang (TE) và Chế độ từ tính ngang (TM)có thể xảy ra ngay cả khi các vật liệu đẳng hướng như InP (Indium phosphide ) hoặc GaAs (Gallium arsenide) được sử dụng

Ta nghiên cứu chế độ này trong sợi quang

Trong sợi quang các trường điện từ trong sợi quang được biểu thị theo tọa độ hình trụ như sau:

(4.1) Thay thế từ phương trình Maxwell ta được:

(4.2)

Trong các sợi quang đối xứng trục, phân bố chiết suất không phụ thuộc vào , được biểu thị bằng n(r):