Báo cáo bài tập lớn công nghệ nano cấu trúc vùng cấm quang tinh thể quang tử hai chiều

Yêu cầu đề tài • Lý thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong các cấu trúc điện môi 2 chiều: Biểu diễn chi tiết các phương trình Maxwell theo các trục tọa độ, các nghiệm dạng tổng quát.. • Trì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG

**********

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Môn: Công nghệ Nano

Đề tài: cấu trúc vùng cấm quang tinh thể quang tử hai

Đỗ Tuấn Anh Nguyễn Hữu Doanh Nguyễn Trọng Đạo

Yêu cầu đề tài

• Lý thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong các cấu trúc điện môi 2 chiều: Biểu diễn chi tiết các phương trình Maxwell theo các trục tọa độ, các nghiệm dạng tổng quát

• Tính chất của các mode TE và TM

• Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính toán các vùng cấm quang của tinh thể quang tử Viết các phương trình ma trận của phương pháp này cho trường hợp mạng 2 chiều

• Sử dụng phần mềm OptiFDTD mô phỏng tính toán vùng cấm quang của các tinh thể quang tử 2 chiều có cấu trúc mạng dạng Hình lục giác Biểu diễn cấu trúc vùng theo

các hướng khác nhau trong mạng, nhận xét về kết quả

Nhận xét đánh giá

Lời giới thiệu

Công nghệ và khoa học vật liệu luôn là động lực của sự thay đổi ở nhiều ngành khoa học, đặc biệt là những ngành phát triển nhanh và mạnh mẽ, trong đó có ngành học Điện tử

- Viễn thông mà chúng em đang theo học Đặc biệt, công nghệ nano được ứng dụng mạnh

mẽ trong thông tin quang giúp tăng hiệu suất truyền tin

Môn học Công nghệ Nano giúp chúng em ôn lại những kiến thức, khái niệm cơ bản về phương trình Maxwell, đại số tuyến tính, giải tích, vật lý điện tử Đây là những lý thuyết

cơ bản trong công nghệ nano và với điện tử viễn thông để giải quyết những vấn đề thực tế Môn học còn giúp chúng em có được kiến thức cơ bản về ứng dụng của công nghệ nano trong viễn thông và đặc biệt là trong thông tin quang Chính vì vậy, với sự phân công và

hướng dẫn của thầy, nhóm chúng em quyết định tìm hiểu và phát triển đề tài Tính toán cấu trúc vùng cấm của các tinh thể quang tử hai chiều Đề tài gồm có các lý thuyết cơ bản về

truyền sóng và tính toán, mô phỏng vùng cấm quang các tinh thể quang tử hai chiều có cấu trúc mạng hình lục giác (Phần mềm OptiFDTD)

Nhóm chúng em xin trân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Việt Hưng đã hướng dẫn nhóm hoàn thành đề tài Do sự giới hạn về kiến thức và kỹ năng trong thực hành nên trong quá trình hoàn thành đề tài có gì sai sót nhóm em mong được sự góp ý của thầy để nhóm em có thể hoàn thành đề tài một cách tốt hơn

Mục lục

Yêu cầu đề tài 2

Nhận xét đánh giá 2

Lời giới thiệu 3

Mục lục 4

Danh mục hình ảnh 5

Danh mục bảng biểu 5

Phân công công việc 6

Nội dung 7

1 Truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều 7

1.1 Hệ phương trình Maxwell 7

1.2 Tìm nghiệm tổng quát 9

2 Tính chất của các mode TE và TM 12

2.1 Mode TM 13

2.2 Mode TE 15

3 Phương pháp khai triển sóng phẳng 16

3.1 Cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng 16

3.2 Những thuộc tính của tinh thể quang tử hình lục giác 19

4 Mô phỏng vùng cấm quang trên OptiFDTD 23

4.1 Thiết kế 23

4.2 Phân tích vùng cấm quang 25

4.3 Mở rộng các mô phỏng 26

Danh mục tài liệu tham khảo 32

Danh mục hình ảnh

Hình 1 Mô hình 3D của tinh thể quang tử 2 chiều hình lục giác 11

Hình 2 Lát cắt của tinh thể quang tử hai chiều hình lục giác 11

Hình 3 TM mode và TE mode 13

Hình 4 Vector cơ sở của tinh thể hình lục giác 19

Hình 5 Kích thước mạng tinh thể hai chiều hình lục giác 23

Hình 6 Mô hình mạng tinh thể hai chiều hình lục giác 24

Hình 7 Cấu trúc vùng cấm mode TE 25

Hình 8 Cấu trúc vùng cấm mode TM 25

Hình 9 Cấu trúc vùng cấm mode TE tinh thể SiO2 26

Hình 10 Cấu trúc vùng cấm mode TM tinh thể SiO2 27

Hình 11 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.1a 28

Hình 12 Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.1a 29

Hình 13 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.3 29

Hình 14 Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.3a 30

Hình 15 Cấu trúc vùng cấm quang mode TE với ống trụ bán kính 0.4a 30

Hình 16 Cấu trúc vùng cấm quang mode TM với ống trụ kích thước 0.4a 31

Danh mục bảng biểu Bảng 1 Bảng phân công công việc 6

Bảng 2 Chú thích hệ phương trình Maxwell 7

Bảng 3 Giá trị các đại lượng là hằng số 9

Bảng 4 Sư tương quan giữa cơ học lượng tử và điện từ trường 10

Bảng 5 Chiết suất vật liệu 23

Bảng 6 Thông số nguồn phát sóng điện từ 24

Phân công công việc

điện môi 2 chiều: Biểu diễn chi tiết các phương trình Maxwell theo các trục tọa độ, các nghiệm của chúng dạng tổng quát

Nguyễn Hoàng Nam

Đỗ Tuấn Anh

sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng

để tính toán các vùng cấm quang của tinh thể quang

tử Viết các phương trình ma trận của phương pháp này cho trường hợp mạng 2 chiều

Nguyễn Hữu Doanh

Nguyễn Quốc Tuân

vùng cấm quang của các tinh thể quang tử 2 chiều có cấu trúc mạng dạng Hình lục giác Biểu diễn cấu trúc vùng theo các hướng khác nhau trong mạng, nhận xét

về kết quả

Nguyễn Trọng Đạo

Bảng 1 Bảng phân công công việc

Nội dung

1 Truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều

1.1 Hệ phương trình Maxwell

Hệ phương trình Maxwell gồm 4 phương trình đề ra bởi James Clerk Maxwell Dùng

để mô tả trường điện từ cũng như tương tác của chúng đối với vật chất Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss)

• Sự không tồn tại của vật chất từ tích (định luật Gauss cho từ trường)

• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere)

• Từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật Faraday)

ε là hằng số điện môi của môi trường

μ là hằng số từ môi của môi trường

Trong điện môi ta có ρ=0 và J=0 Hệ phương trình Maxwell trở thành

Để đơn giản, người ta [2] dùng kỹ thuật phân tích tách mode điện – từ trường riêng rẽ

là hàm phụ thuộc tọa độ r và hàm điều hòa theo thời gian t:

𝐇

⃗⃗ (r, t) = 𝐇 ⃗⃗ (r)e −iωt (9) 𝐄 ⃗ (r, t) = 𝐄⃗ (r)e −iωt (10)

Ta thay phương trình (9) và (10) vào các phương trình (5), (6), (7), (8) ta có:

Ký hiệu Tên Giá trị Đơn vị trong hệ SI

Bảng 3 Giá trị các đại lượng là hằng số

Sau khi biết cấu trúc phân bố của chất điện môi (biết hàm ε(r)) ta giải phương trình trên tìm H và ω Việc tìm E dễ dàng được thực hiện được thông qua việc thay H vào phương trình (18)

1.2 Tìm nghiệm tổng quát

Để giải phương trình sóng trong chất điện môi có cấu trúc tuần hoàn, ta cần tìm trị riêng

và vector riêng của phương trình (19) Ta đi xem xét một bài toán tương đương, đó là bài toán điện tử chuyển động trong tinh thể có khả năng tuần hoàn Bài toán được mô tả bằng phương trình schrodinger [3]:

Điều đó có nghĩa là khi dịch chuyển vector tịnh tiến của mạng, do tính tuần hoàn của

𝑉(𝑟) module của hàm sóng𝛹(𝑟 ) không đổi, chỉ có pha thay đổi Đồng thời hàm sóng

𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) và 𝛹(𝑟 ) phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

∫−∞+∞𝛹∗( 𝑟 + 𝑅⃗ ) 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ )𝑑𝑉 = |𝐶𝑅 |2∫−∞+∞ 𝛹∗( 𝑟 ) 𝛹(𝑟 ) 𝑑𝑉 = 1

Số mũ phải là một đại lượng không có thứ nguyên, và vector 𝑅⃗ có thứ nguyên là độ dài Kết

Ta có: 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝑒𝑖𝑘⃗ 𝑅⃗ 𝛹(𝑟 ) (*)

Phương trình (*) được gọi là tính chất tịnh tiến của hàm sóng:

Ta xét sự tương quang giữa cơ học lượng tử và điện từ trường [2]

Bảng 4 Sư tương quan giữa cơ học lượng tử và điện từ trường

Những nghiệm riêng nào của trường điện từ ứng với năng lượng trường lớn hơn thì các vector trường sẽ tập trung định xứ ở các vùng có chiết suất bé hơn

{H⃗⃗ (r ) = 𝑒 𝑖𝑘 ⃗ 𝑟 𝑢 ⃗ 𝑘⃗ (𝑟 ) E

⃗⃗ (r ) = 𝑒 𝑖𝑘 ⃗ 𝑟 𝑣 𝑘⃗ (𝑟 )

Hình 1.2: cấu trúc 3 chiều của …

Với 𝑢 ⃗ 𝑘⃗ (𝑟 ) = 𝑢 ⃗ 𝑘⃗ (𝑟 + 𝑚𝑎 ),

𝑘

⃗⃗⃗ : là vetor sóng

Hình 2 Lát cắt của tinh thể quang tử hai chiều hình lục giác

Điện môi hai chiều: là sự sắp xếp tuần hoàn theo 2 trục (x, y) và đồng nhất theo trục

thứ 3 (z)

Ở mạng này chúng ta tưởng tượng rằng các cột trụ điện môi sắp xếp tuần hoàn theo 2 phương x và y Các cột trụ điện môi được mở rộng đồng nhất theo hướng z tới vô hạn Với cấu trúc mạng như vậy sẽ ngăn cản ánh sáng tới từ bất cứ phương truyền nào trong mặt (xy) Áp dụng lý thuyết bloch để khảo sát, mode điện tử trong cấu trúc này có dạng như sau:

𝐻(𝑛,𝑘𝑧,𝑘||)(r)= 𝑒𝑖𝑘|| 𝜌 𝑒 𝑖𝑘𝑧𝑧 𝑢(𝑛,𝑘𝑧,𝑘||)(𝑟)

Trong đó ta có:

z

y x

Hình 1 Mô hình 3D của tinh thể quang tử 2 chiều hình lục giác

H: là cường độ điện trường

𝑘𝑧 vector sóng truyền theo hướng z 𝑘𝑧 = √𝜔𝑐22𝜀 − 𝑘||2

Chèn các giải pháp giả định vào các phương trình vi phân cho:

E

Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là:

giá trị của m và n Một TM mode được ký hiệu là TMmn mode

E⃗ 𝑧𝑇𝑀(x,y,z) = 𝐸0sin𝑚𝜋𝑥

𝑏 𝑒−𝑗𝛽𝑧 (2.18) (m= 1,2,3, )

(n= 1,2,3, )

Các thành phần trường ngang của TMmn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt

điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình :

𝜕2𝐻 𝑧𝑇𝐸

𝜕𝑥 2 + 𝜕2𝐻𝑧𝑇𝐸

𝜕𝑦 2 + 𝜕2𝐻𝑧𝑇𝐸

𝜕𝑧 2 + 𝑘2𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0 (2.21) Biến đổi tương tự các thành như TM mode ta có phương trình các thành phần:

Như ta thấy khi m=n=0 thì tất cả các thành phần từ trường trừ H_z đều bằng 0 Do đó

m và n có thể lấy giá trị bất kì 0,1,2,3 nhưng không được đồng thời bằng 0 Như vậy trong ống dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện ngang khác nhau Phân bố trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng, đồng thời m xác định số nửa sóng trong khoảng (0,a) còn n là số nửa sóng trong khoảng (0,b)

3 Phương pháp khai triển sóng phẳng

3.1 Cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng

Để thiết kế các tinh thể quang tử tận dụng các tính chất độc đáo của chúng, chúng ta cần một phương pháp tính toán cần thiết để xác định cách mà ánh sáng sẽ truyền qua một cấu trúc tinh thể Cụ thể, với bất kỳ cấu trúc điện môi định kỳ nào, chúng ta phải tìm tần số cho phép (tần số riêng) để truyền ánh sáng theo mọi hướng của tinh thể và có thể tính toán phân

bố trường trong tinh thể cho bất kỳ tần số nào Có nhiều phương pháp cho phép, nhưng một trong những phương pháp được nghiên cứu và đáng tin cậy nhất là phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane Wave Expansion) Nó được sử dụng trong các nghiên cứu sớm nhất về tinh thể quang tử và tương đối đơn giản để dễ dàng thực hiện Phương pháp này cho phép tính toán các tần số riêng cho một tinh thể quang tử với bất kỳ độ chính xác theo giới hạn định trước nào, tương ứng với thời gian tính toán

Đối với các ứng dụng tinh thể quang tử trong các chất bán dẫn như GaAs hoặc dielectrics, phương trình Maxwell, sẽ chi phối tất cả các mô phỏng trường ,ta lấy các dạng

độ điện tích

Giả sử các vật liệu điện môi hoàn hảo (tính thấm tương đối) trong vùng không có nguồn (𝑗 = 0 và ρ = 0), các phương trình Maxwell có thể được giảm xuống thành bốn phương trình, mỗi phương trình chỉ liên quan đến một loại trường Việc tách rời các trường này có

thể được thực hiện bằng cách lấy độ cong của cả hai mặt của phương trình thứ (2) và thay thế từ phương trình (4) để đưa ra hai phương trình điện trường Một quá trình tương đương

có thể được thực hiện theo thứ tự ngược lại để đưa ra hai phương trình từ trường Nếu giả

2

diển như sau:

Về cơ bản có ba lựa chọn khác nhau về cách giải quyết tại thời điểm này Tất cả bốn phương trình, được đưa ra một hàm điện môi, sẽ mang lại một bộ phân phối trường (Mở

các phương trình Maxwell Câu hỏi về phương trình nào cần giải quyết phụ thuộc vào một

số yếu tố Đầu tiên, các phương trình cho từ trường

2

Mỗi phương trình tách rời ở trên sẽ mang lại ba phương trình thành phần nếu các hoạt động vector được thực hiện Trong tọa độ Descartes, chúng có thể được biểu thị như sau

thức rất dài (như đã thấy ở các phương trình bên dưới) từ đó ta biến đổi ra được hệ phương trình sau:

Các phương trình trên khi giải sẽ cho trị riêng 𝜔2

dụng tại đây Các trường và giá trị điện môi có thể khai triển Fourier dọc theo hướng mà chúng có tính tuần hoàn Phép khai triển Fourier này sẽ được rút ngắn trong một chiều dài chuỗi giới hạn với độ chính xác yêu cầu Tiếp đến, thay trở lại kết quả khai triển vào các phương trình sóng và qua một số bước biến đổi, phương trình sóng trở thành dạng:

𝐴𝑢 = 𝜆𝑢 Với A là một ma trận, u là vector riêng của ma trận A và λ là trị riêng của ma trận A Việc tính toán trị riêng, vector riêng lúc này trở thành bài toán đại số thông thường đã có sẵn phương pháp giải Sau khi tìm được trị riêng và vector riêng, biểu diễn chúng, ta có thể tìm được các khoảng tần số mà tại đó, sóng ánh sáng không thể truyền được vào tinh thể

Đó là các vùng cấm quang (photonic band gap) Vùng cấm quang của mode TE và mode

TM có thể hoàn toàn khác nhau Khi xuất hiện vùng cấm quang mà cả mode TE và TM đều không thể truyền, vùng cấm ấy được gọi là vùng cấm quang hoàn toàn (complete photonic band gap)

3.2 Những thuộc tính của tinh thể quang tử hình lục giác

3.2.1 Vector mạng đảo

Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng vô vùng lớn cùng với tính tuần hoàn của

nó => áp dụng phép biến đổi Fourier Đối với biến đổi Fourier chúng ta cần Vector mạng đảo:

𝑉𝑐 = (𝑎 1× 𝑎 2) 𝑎 3= |

√3𝑎 2

𝑎 2

−√3𝑎 2

𝑎 2

3.2.2 Áp dụng phương pháp khai triển sóng phẳng

a Bắt đầu từ phương trình Maxwell

Bằng 2 phương trình Maxwell mô tả sự lan truyền của sóng điện từ, biến đổi thành tập các phương trình có thể được lấy xấp xỉ bằng phường phương pháp triển khai sóng phẳng:

b Khai triển Fourier

Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng hai chiều vô cùng lớn => áp dụng khai triển chuỗi Fourier ta có:

- Biến đổi Fourier 𝐸(𝑟 ), 𝐵(𝑟 ) với các hệ số n và o

• Ma trận A là phương trình sóng phẳng của từ trường hoặc điện trường

𝑐𝑒𝑙𝑙 ∫ 𝐶(𝑟 )2𝑒−𝑖(𝑙𝑏⃗ 1 +𝑚𝑏⃗ 2 )⋅𝑟 𝑐𝑒𝑙𝑙

4 Mô phỏng vùng cấm quang trên OptiFDTD

Bảng 5 Chiết suất vật liệu

Về dạng mạng, các ống trụ cách nhau khoảng cách a = 1µm Bán kính mỗi ống trụ r = 0.2 x a Số lượng ống trụ là 8x8, chiều dài ống trụ là 1 µm

Hình 5 Kích thước mạng tinh thể hai chiều hình lục giác

Hình 6 Mô hình mạng tinh thể hai chiều hình lục giác

Sau khi xây dựng dạng mạng, tiến hành cài đặt nguồn phát sóng điện từ Lựa chọn loại Vertical Input Plane và cài đặt các thông số:

Bảng 6 Thông số nguồn phát sóng điện từ

Các thông số khác để mặc định

Vùng cấm quang mode TM tìm được gồm 3 vùng Vùng đầu tiên có dải giá trị (0.25796, 0.26867), vùng thứ hai có dải giá trị (0.676907, 0.678609), vùng thứ 3 có dải giá trị (0.752339, 0.752705)

Ta thấy, vùng cấm quang mode TM nhỏ hơn nhiều so với vùng cấm quang mode TE và không trùng với vùng cấm quang của mode TE

4.3 Mở rộng các mô phỏng

4.3.1 Đánh giá vùng cấm quang khi thay đổi loại vật liệu ống trụ

Thay vật liệu làm ống trụ từ AlAs thành loại vật liệu khác có chiết suất khác (cụ thể là

tiến hành mô phỏng và quan sát xem sự thay đổi của vùng cấm quang

Hình 9 Cấu trúc vùng cấm mode TE tinh thể SiO 2

Hình 10 Cấu trúc vùng cấm mode TM tinh thể SiO 2

Qua mô phỏng, với mode TE, chúng ta có thể tìm thấy hai vùng cấm quang Vùng cấm thứ nhất có dải giá trị (0.270269, 0.276136), vùng cấm thứ hai có dải giá trị (0.559834, 0.567411) Mode TM, chúng ta có thể tìm thấy một vùng cấm quang có dải giá trị (0.276021, 0.280618)

Từ kết quả mô phỏng, ta có thể rút ra kết luận khi thay đổi vật liệu làm trụ điện môi tinh

thể thấy số lượng và độ rộng của vùng cấm quang đã nhỏ hơn so với AlAs ( AlAs có chiết suất lớn hơn)