Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: Cấu trúc cây - Đậu Ngọc Hà Dương

Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: Cấu trúc cây - Đậu Ngọc Hà Dương có nội dung trình bày về khái niệm, phép duyệt cây và biểu diễn cây, cây nhị phân và cây nhị phân tìm kiếm, cây AVL, cây AA,... Mời các bạn cùng tham khảo!

C u trúc d  li u và gi i thu t ấ ữ ệ ả ậ

Cấu trúc cây

Nội dung trình bày

2

Khái niệm

3

Cây tổng quát

5

Cây tổng quát

6

r k Tk

Nút gốc

Cây con

r k Tk

k 2

k 5

k 4 k

3

Các khái niệm

11

 degree/order: bậc

 B c c a node: S  con c a node ậ ủ ố ủ

 B c c a cây: b c l n nh t trong s  các con ậ ủ ậ ớ ấ ố

r k Tk

Nút gốc

Cây con

Nút lá

Độ cao = 4Bậc = k

rk

k 1

k 2

k 5

k 4

k 3

Bậc = 2

Phép duyệt cây

13

 Duy t tr ệ ướ c (Pre­order)

 Duy t gi a (In­order) ệ ữ

Parent(b) = a

Parent(a)?

Child(c) = g

k

Biểu diễn cây

19

Bằng danh sách cây con

20

a

h f

469

11

57

103

8

Bằng danh sách cây con

k

k

 Binary tree

Cây nhị phân

25

Cây nhị phân

 Là cây mà mỗi đỉnh

có bậc tối đa bằng 2.

 Các cây con được

gọi là cây con trái và cây con phải.

30

Cây nhị phân tìm kiếm

2. Khóa của gốc nhỏ hơn khóa các đỉnh thuộc

cây con phải.

3. Cây con trái và cây con phải của gốc cũng là

cây nhị phân tìm kiếm.

Cây nhị phân tìm kiếm

Cây nhị phân tìm kiếm

Thao tác trên

cây nhị phân tìm kiếm

Thêm phần tử

33

 Bước 1: Bắt đầu từ gốc

 Bước 2: So sánh dữ liệu (khóa) cần thêm với

dữ liệu (khóa) của node hiện hành.

 N u b ng nhau => Đã t n t i. K t thúc ế ằ ồ ạ ế

 N u nh  h n => Đi qua nhánh trái, Ti p b ế ỏ ơ ế ướ c 2.

 N u l n h n => Đi qua nhánh ph i, Ti p b ế ớ ơ ả ế ướ c 2.

 N u b ng nhau => Tìm th y. K t thúc ế ằ ấ ế

 N u nh  h n => Đi qua nhánh trái, Ti p b ế ỏ ơ ế ướ c 2.

 N u l n h n => Đi qua nhánh ph i, Ti p b ế ớ ơ ả ế ướ c 2.

 Bước 3: Không thể đi tiếp nữa => Không tìm

14 13

9

18

Phép duyệt cây

37

 Duyệt trước

4 2

20

23

42

202523

Phép duyệt cây

38

 Duyệt giữa

4 2

Phép duyệt cây

39

 Duyệt sau

4 2

Phép quay trái

40

a

b T1

Quay trái cây P

Quay trái cây P

41

T 1

P

b

T 3 Quay phải cây P

Phép quay phải

50

55 40

36

40

50 37

Thời gian thực hiện các phép toán

44

 Đối với phép tìm kiếm:

 Tr ườ ng h p t t nh t: m i nút (tr  nút lá) đ u có 2  ợ ố ấ ỗ ừ ề con:  O(log2n)  (chính là chi u cao c a cây) ề ủ

 Tr ườ ng h p x u nh t: cây tr  thành danh sách liên  ợ ấ ấ ở

k t:  ế O(n)

 Tr ườ ng h p trung bình là bao nhiêu? ợ

O(log2n)

Ví dụ

45

 Tạo cây nhị phân tìm kiếm theo thứ tự nhập như sau: 1, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 19

 AVL tree

Cây AVL

47

Giới thiệu

48

 Do G.M A delsen V elskii và E.M L endis đưa ra vào năm 1962, đặt tên là cây AVL.

18 17

Xây dựng cây cân bằng

51

 Việc xây dựng cây cân bằng dựa trên cây nhị phân tìm kiếm, chỉ bổ sung thêm 1 giá trị cho biết sự cân bằng của các cây con như thế nào.

Xử lý mất cân bằng

57

 Giả sử tại một node cây xảy ra mất cân bằng bên phải (cây con phải chênh lệch với cây con trái hơn một đơn vị):

 M t cân b ng ph i­ph i (RR) ấ ằ ả ả

 Quay trái

 M t cân b ng ph i­trái (R­L) ấ ằ ả

T3

h

h+1 h

h+1

h P Quay trái cây P

Xử lý mất cân bằng

59

 P mất cân bằng phải-phải (RR):

Q

Quay trái cây P

T4

h

h-1 h

1

T3

T 2

h

h h- 1

P

Q

b

T 4

h Quay phải cây Q

a

c T1

Xử lý mất cân bằng

64

 P mất cân bằng phải-trái (RL) – Bước 1:

Quay phải cây Q

P

Q

Xử lý mất cân bằng

66

 Khi một node cây xảy ra mất cân bằng bên trái (cây con trái chênh lệch với cây con phải hơn một đơn vị): (thực hiện đối xứng với trường hợp mất cân bằng bên phải)

 M t cân b ng trái­trái (LL) ấ ằ

 Quay phải

 M t cân b ng trái­trái (L­R) ấ ằ

 Quay trái

Xử lý mất cân bằng

67

20

Node 50 bị lệch phải !!!

65

 AA tree

Cây AA

74

Các khái niệm

76

 Mức của node

 Liên kết ngang

Liên k t ngang b t bu c h ế ắ ộ ướ ng sang ph i ả

[3] M c c a node cháu bên ph i b t bu c nh  h n m c  ứ ủ ả ắ ộ ỏ ơ ứ

c a node ông ủ

Không t n t i 2 liên k t ngang liên ti p ồ ạ ế ế

[4] M i node có m c l n h n 1 ph i có 2 node con ọ ứ ớ ơ ả

Các phép biến đổi cây

86

 Split

Các phép biến đổi cây

Các phép biến đổi cây

Các phép biến đổi cây

89

 Skew: dùng để loại bỏ liên kết ngang bên trái.

 Split: dùng để loại bỏ 2 liên kết ngang (phải) liên tiếp.

 Biến đổi theo thứ tự Skew -> Split (nếu có).

Các thao tác trên cây

90

 Duyệt cây, Tìm kiếm:

 T ươ ng t  cây nh  phân tìm ki m ự ị ế

 Thêm phần tử

 Xóa phần tử

Thêm phần tử

91

 Thực hiện tương tự trên cây nhị phân tìm kiếm.

 Phần tử được thêm vào luôn ở mức 1.

 Sau khi thêm, thực hiện các thao tác Skew

và/hoặc Split để đảm bảo tính chất của cây.

Ví dụ

92

 V  cây AA theo th  t  nh p sau đây: ẽ ứ ự ậ

4, 7, 6, 3, 5, 9, 15, 27, 8, 40

Ví dụ

94

 Hãy vẽ cây AA theo thứ tự nhập sau đây:

 40, 8, 27, 15, 9, 5, 3, 6, 7, 4

Bài tập

106

Bài tập

107

1 Xây dựng giải thuật xóa một đỉnh với khóa cho

trước ra khỏi cây nhị phân tìm kiếm.

2 Hãy chứng tỏ rằng trường hợp tìm kiếm trung

bình cho cây nhị phân tìm kiếm là O(log2n)?

 Cho bi t k t qu  sau khi duy t cây theo các trình t   ế ế ả ệ ự

gi a, tr ữ ướ c và sau.

- Tính độ cao của 1 node trong cây.

- Xuất ra các node có cùng độ cao.

Bài tập

111

6 Hãy vẽ cây AVL với 12 nút có chiều cao cực đại trong tất cả các cây AVL 12 nút.

7 Tìm 1 dãy N khoá sao cho khi lần lượt dùng

thuật toán thêm vào cây AVL sẽ phải thực hiện

mỗi thao tác cân bằng (LL, LR, RL, RR) lại ít nhất

1 lần

Hỏi và Đáp

112

Đọc thêm ví dụ thêm phần tử

113

Ví dụ

114

 V  cây AA theo th  t  nh p sau đây: ẽ ứ ự ậ

4, 7, 6, 3, 5, 9, 15, 27, 8, 40

Ví dụ

115

4

Ví dụ

118

4

76

Thêm 6

Ví dụ

120

Hai liên k t ngang liên ti pế ế

Ví dụ

121

6

74

Ví dụ

122

6

74

3

6

74

3

Thêm 3

Ví dụ

123

6

74

3

Ví dụ

124

6

74

3

5

Thêm 5

Ví dụ

125

6

74

Ví dụ

127

6

73

4

5

Ví dụ

128

6

73

4

5

Ví dụ

129

6

73

4

5

9

Ví dụ

130

6

73

4

5

9

Ví dụ

131

6

73

4

Ví dụ

132

6

93

4

5

Thêm 8

40