Tài liệu PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC ppt

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và cách điểm A một khoảng bằng 3.. Lập phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng Q... Viết phương trình đường

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Bài toán lập phương trình mặt phẳng:

1 Kiến thức cơ bản:

• a

và b

là một cặp vtcp của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp(P) Khi đó n= a b, 

là một véc tơ pháp tuyến của mp(P)

• PTTQ của (P) có dạng: Ax+By+Cz+D= nhận 0 n=( ; ; )A B C

là một vtpt của (P)

• PT mp(P) đi qua điểmM x y z( 0; 0; 0) nhận n=( ; ; )A B C

làm vtpt sẽ có phương trình dạng

( 0) ( 0) ( 0)

A x−x +B y−y +C z−z =0

• PT mp theo đoạn chắn (đi qua 3 điểm A a( ; 0; 0 ,) B(0; ; 0 ,b ) C(0; 0;c)): x y z 1

a+b +c =

• Các dạng toán cơ bản:

- Viết PT mp đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) nhận n=( ; ; )A B C

làm vtpt

- Viết PT mp đi qua 3 điểm A, B,C

- Viết PT mp đi qua điểm A và song song với hai đường thẳng d 1 và d 2

- Viết PT mp chứa hai đường thẳng d 1 và d 2 (trong đó d 1 // d 1 hoặc d 1 cắt d 2 )

Chú ý: Ngoài ra còn có nhiều bài toán khác có thể quy về bài toán dạng cơ bản qua các phép

biến đổi đơn giản

2 Các ví dụ:

Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách quy về các bài toán cơ bản

VD1 (Khối D - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

12 3

10 2





a) Chứng minh d1/ /d2

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả (d1) và (d2)

Đáp số: ( )P :17x−11y−20z−15=0

VD2 (Khối A - 2002) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

: 1 3 : 2 ' , '



Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2

Đáp số: 2x−z=0

VD3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A −( 1; 2;3) và đường thẳng

1

1

z

= +





= +



 =



Viết

phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và cách điểm A một khoảng bằng 3

Đáp số: 2x−y−2z+ = 1 0

VD4 (CĐ Quảng Ngãi - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

:

− và mặt phẳng ( )Q :x−2y+2z−10=0 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)

Đáp số: 4x+3y+ − = z 5 0

Loại 2: Sử dụng phương trình theo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng

Hướng giải: Sử dụng PTMP theo đoạn chắn x y z 1

a+b+c =
Tìm a, b, c

VD5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết nó đi qua điểmG(1; 2;3) và cắt các trục toạ độ Ox,Oy Oz, lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC

Đáp số: 6x+3y+2z−18= 0

VD6: Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục toạ độ Ox,Oy Oz, lần lượt tại A, B, C sao cho ABC

là tam giác đều và có diện tích bằng 2 3

Đáp số: x+y+ −z 2=0;x+y+ +z 2=0;x−y− −z 2=0;− +x y− −z 2=0

VD7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1 ,) N(3; 0;1), cắt các trục toạ độ Ox,Oy Oz, lần

lượt tại A, B, C và có khoảng cách từ O đến (P) bằng 4 14

7

Đáp số: 11x+22y+9z−42=0

Loại 3: Các bài toán khác về thiết lập phương trình mặt phẳng

Hướng giải: - Hướng 1: Cố gắng đưa về bài toán cơ bản

- Hướng 2: Sử dụng trực tiếp PTTQ của mp: Ax + By + Cz + D = 0
tìm A, B, C

VD8 (Khối A - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;3;5) và đường thẳng

:

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn nhất

Đáp số:

a) Hình chiếu vuông góc của A trên d là M(3;1; 4)

b) (P) qua A và nhận AM



làm vtpt: ( )P :x−4y+ − =z 3 0

VD9 (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ với

(0; 0; 0 ,) (1; 0; 0 ,) (0;1; 0 , ' 0; 0;1) ( )

A B D A Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng

(Oxy) một góc α , biết os 1

6

Đáp số: 2x−y+ − =z 1 0 hoặc x−2y− + =z 1 0

VD10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 2; 0 ,) B(0; 4; 0 ,) C(0; 0;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B và C đến (P) là bằng nhau

Đáp số: 6− x+3y+4z= hoặc 60 x−3y+4z= 0

II Bài toán lập phương trình đường thẳng

1 Kiến thức cơ bản:

• Phương trình tham số:

0 0 0

x x at

t y bt

z z ct









• Phương trình tham số: x x0 y y0 z z0

2 Phương pháp chung:

• Tìm một điểm đi qua M và một VTCP u

• Tìm một điểm đi qua M và vuông góc với hai véc tơ ,a b

khi đó u= a b, 

là một VTCP

• Tìm hai điểm đi qua A và B

3 Các ví dụ:

VD11 (Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2 ,) B −( 1; 2; 4) Gọi

G là trọng tâm của tam giác OAB Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại

G

−

VD12 (Khối D - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng

− − Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

VD13 (Khối B - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A − −( 4; 2; 4) và đường thẳng

( )

3 2

1 4

= − +





= −



 = − +



Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với d

−

VD14 (Khối D - 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 2

−

và mặt phẳng ( )P :x+2y−2z+4=0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P), vuông góc và cắt ∆

−

VD15 (Khối A - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 2

−

và 2

1 2

3

z

= − +





= +



 =



và mặt phẳng ( )P : 7x+y−4z=0 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với

mặt phẳng (P) cắt cả d1 và d2

VD16 (Khối A - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3 3

−

và mặt phẳng ( )P : 2x+y−2z+9=0 Gọi A là giao điểm của d với (P) Viết phương trình đường thẳng

∆ nằm trong (P), biết ∆ qua A vuông góc với d

Đáp số: 1

4

x t y

=





= −





VD17 (CĐ GTVT - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm H(1; 2; 1− ) và đường thẳng

:

d − = − = Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua H, cắt d và song song với mặt phẳng (P):

3 0

x+y− + =z

−

VD18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 2

3

z

= − +



 =



Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2

VD19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1− ) và hai đường thẳng

1

0

z

= − +





Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với

cả hai đường thẳng d1 và d2

−

VD20 (Khối D - 2009) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng

3

5

x t

=







và cắt

cả hai đường thẳng 1: 1 2 2

Đáp số:

35 3 47 142 47 58 47



















VD21 (Khối D - 2009) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )P :y+2z=0 và cắt cả hai đường thẳng 1

1 : 4

z t

= −





=



 =



và 2

2

1

z



 + +



 =



Đáp số: 1

−

VD22 (Khối B - 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =5 0 và hai điểm A −( 3; 0;1) và B(1; 1;3− ) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đó là nhỏ nhất

Loại 3: Định điểm và các yếu tố khác trong hình học giải tích không gian

VD23 (Khối A - 2009): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =1 0 và hai đường thẳng 1: 1 9

− Tìm điêm M trên d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng khoảng cách từ M đến mp(P)

Đáp số: 1(0;1; 3 ;) 2 18 53 3; ;

35 35 35

VD24 (Khối B - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm

(0;1; 2 ,) (2; 2;1 ,) ( 2; 0;1)

A B − C − và mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ − =z 3 0

a) Viết phương trình mp(ABC)

b) Tìm điểm M∈( )P sao cho MA=MB=MC

Đáp số: M(2;3; 7− )

VD25 (Khối D - 2007): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2 ,) B −( 1; 2; 4) và đường thẳng : 1 2

− Tìm điểm M ∈ ∆ sao cho đại lượng MA2 +MB2 nhận giá trị nhỏ nhất

Đáp số: M −( 1; 0; 4)

VD26 (Khối B - 2006): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1; 2) và hai đường thẳng

1

:

− và 2

1

2

= +





= − −





Tìm toạ độ các điểm M∈d1 và N∈d2 sao cho A, M, N thẳng

hàng

Đáp số: M(0;1; 1 ,− ) N(0;1;1)

VD27 (Khối D - 2006): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng

:

− Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua d

VD28 (CĐSP TP HCM – 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp ( )P :x+y+ −z 4=0 và

ba điểm A(3; 0; 0 ,) B(0; 6; 0 ,− ) C(0; 0; 6) Tìm tất cả các điểm M sao cho: MA MB+ +MC





là nhỏ nhất Đáp số: M(0; 2; 2− )

VD29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;3; 2 ,) B(−9; 4;9) và mặt phẳng

( )P : 2x−y+z=0 Tìm điểm K∈( )P sao cho AK + BK nhỏ nhất

Đáp số: K −( 1; 2;3)

VD30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1)

Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp số : M≡ 7 14; ;0

4 4

  (G là trong tâm tứ diện ABCD)

B – BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG HỆ TOẠ ĐỘ OXYZ

VD31 (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

với A(0; 0; 0 ,) B(1; 0; 0 ,) D(0;1; 0 , ' 0; 0;1) A ( ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

Đáp số : 2

4

VD32 (Khối A - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thoi, AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0 ,) B(0;1; 0 ,) S(0; 0; 2 2) Gọi M là trung điểm của SC, N là giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM)

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

b) Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Đáp số : 2 6

3 , V = 2

VD33 (Khối A - 2003) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

có A trùng với gốc toạ độ, ngoài ra B a( ; 0;a),D(0; ; 0 ,a ) A' 0; 0;( b)(a>0,b>0) Gọi M là trung điểm của CC’

a) Tìm tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau

b) Tìm thể tích khối đa diện A’BMD theo a và b

Đáp số :

2

1,

4

V

VD34 (Khối D – 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng với

( ; 0; 0 ,) ( ; 0; 0 ,) (0;1; 0 ,) 1( ; 0; )

A a B −a C B −a b với a > 0, b > 0

a) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a và b

b) Cho a, b thay đổi và thoả mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách ở ý a là lớn nhất

Đáp số :

= = +

VD35 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ với toạ độ các

đỉnh như sau : A(0; 0; 0 ,) B a'( ; 0; 0 ,) D' 0; ; 0 ,( b ) A(0; 0;c) ( a b c >, , 0) Gọi ), Q, R, S lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’ Timg mối liên hệ giữa a, b, c để PR⊥QS

Đáp số : b=c

VD36 (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0 ,) B(0; 0;8) và điểm

C sao cho AC =(0; 6; 0)



Tìm khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA

Đáp số : d I OA =( , ) 5

B – MẶT CẦU

Loại 1 : Viết phương trình mặt cầu

VD37 (Khối D - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0;1 ,) B(1; 0; 0 ,) C(1;1;1) và mặt phẳng ( )P :x+y+ −z 2=0 Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P)

Đáp số : ( )2 2 ( )2

VD38 (Khối B - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng

(0; 3; 0 ,) (4; 0; 0 ,) (0;3; 0 ,) 1(4; 0; 4)

A − B C B Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (ACC1B1)

Đáp số : 2 ( )2 2 576

3

25

VD39: Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng

1 2 1

1 2

y

= − +





= −





và tiếp xúc vơi hai mặt

phẳng ( )P :x+2y+2z+ =3 0 ( )Q :x+2y+2z+7=0

Đáp số : ( 3)2 ( 1)2 ( 3)2 4

9

VD40: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;3; 1− ) và cắt đường thẳng 11 25

− tại hai điểm A, B sao cho AB = 16

Đáp số : (x−2)2+(y−3)2+(z+1)2 =289

Loại 2 : Các bài toán liên quan đến tiếp diện mặt cầu

VD41: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng : 10 10

d + = + = và tiếp xúc với mặt cầu ( ) 2 2 2

S x +y +z + x− y+ z− =

Đáp số : ( )P : 3x−4y+2z−10=0 hoặc ( )P : 2x−3y+4z−10=0

VD42: (Khối D - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm

(3;3; 0 ,) (3; 0; 0 ,) (0;3;3 ,) (3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D

b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp số :

)

VD43: Tìm điểm A trên mặt cầu ( ) 2 2 2

S x +y +z − x+ y+ z− = sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) : 2x – 2y + z + 6 = 0 là lớn nhất, nhỏ nhất

Đáp số : 1 7; 4; 1 , 2 1 4; ; 5

    lần lượt xa, gần nhất so với (P)