Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất ấy theo R... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG..[r]
Trang 1UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC 2011- 2012
VÒNG 2 - Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: ( 2,0 đ )
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 17 5 38
5 2
5 6 2 5
b)
B
, Với x >2
Câu 2: ( 2,0 đ )
a) Cho
1
7 4 3
x
b) Tìm số nguyên a sao cho a2 a 35Q
Câu 3: ( 2,5 đ )
a) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x y z xyz 4 Tính giá trị của biểu thức:
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )
A x y z y z x z x y xyz
b) Giải phương trình: x 1 2(x1) x 1 1 x3 1 x2
Câu 4 : ( 2 đ )
Cho đường tròn tâm O với hai đường kính AB, CD không vuông góc với nhau Qua C kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ
từ A, B xuống đường thẳng d Gọi H là hình chiếu của C trên AB
a) Chứng minh: CH2 = AE.BF
b) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của EO với AC và AD Chứng minh
OI.KE = OK.IE
Câu 5 : ( 1,5 đ )
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, một điểm C chuyển động trên nửa đường tròn này Gọi H là hình chiếu của C trên AB, E và F lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất ấy theo R
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013 – 2014
Trang 2-ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi … tháng … năm 2013 (Đề thi gồm: 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho x là số thực thỏa mãn x2 4x 1 0
Tính giá trị biểu thức :
5 5
1
A x
x
b) Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn
2
xyz
x xy
Tính giá trị biểu thức :
B
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm x và y thỏa mãn :
2 2
b) Giải phương trình : x2 2x2 2x1
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng phân số sau tối giản :
12 13
30 32
n n
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho (O1 ; R1) tiếp xúc ngoài với (O2 ; R2) tại A (R1 R2 ) Kẻ đường kính AO B1 và
2
AO C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D ( ),O E1 ( ))O2 Gọi
M là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
b) Gọi giao điểm của DE và AB là J Tính JA theo R R1 , 2
c) Gọi (O; R) tiếp xúc với DE đồng thời tiếp xúc ngoài (O1 ; R1) và (O2 ; R2)
R R R
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
2
2
P
xy y x x y
……… HẾT ………
Trang 3Bài 31 Cho (O1 ; R 1 ) tiếp xúc ngoài với (O 2 ; R 2 ) Vẽ một đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) (với A thuộc (O 1 ) và B thuộc (O 2 )) Vẽ đường tròn (O ; R) tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) và tiếp xúc với đường thẳng AB tại C
Chứng minh rằng : 1 2
R R R .
Hướng dẫn:a) OH2OO12 HO12 (R R1 )2 (R R1 )2 4R R1 OH 2 R R1
Tương tự OK 2 R R2 HK 2( R R1 R R2 )
2 2
IO O O IO R R R R R R R R
.
O I
B C A
d
O 2
O 1
Bài 32 Cho (O1 ; R 1 ) tiếp xúc ngoài với (O 2 ; R 2 ) tại A, (R1 R2 ) Kẻ đường kính AO B1 và 2
AO C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D ( ),O E1 ( ))O2 Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
b) Gọi giao điểm của DE và AB là J Tính JA theo R R1 , 2
c) Gọi (O; R) tiếp xúc với DE đồng thời tiếp xúc ngoài (O 1 ; R 1 ) và (O 2 ; R 2 ) Chứng minh
R R R .
Hướng dẫn : a)
1 3
90
o
DO A EO A
A A
Chứng minh : A1 A2 D 1 D 2 90o.
b)
JO EO JO JO EO DO R R R R
(R R R) (R R R) 2R R
2 3
2
1
1
I D
J
E M
(HSG tỉnh Hưng Yên 2009-2010)
c) Xem bài tập trên.