Tài liệu Chương 2: Tín hiệu và phân tích tín hiệu ppt

Phân tích thời gian được hiểu theo nghĩa biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian và trên cơ sở đó, tìm ra các đại lượng đặc trưng của tín hiệu như năng lượng, công suất, trị trung bình.

9/15/2Chương 2

Tín hiệu và phân tích tín hiệu

Như đã giới thiệu trong chương trước, chương này chúng ta sẽ tìm hiểu những nét chính về tín

hiệu và phương pháp phân tích tín hiệu

Tín hiệu (signal) là biểu diễn vật lý của tin tức Trong hệ thống truyền tin, tín hiệu nhận được

thường bao gồm phần chứa tin tức mong muốn và phần không mong muốn thêm vào Phần

mong muốn gọi là tín hiệu có ích, phần không mong muốn gọi là nhiễu (noise) Trong

chương này giả sử tín hiệu và nhiễu được cộng vào nhau ở bên thu và gọi chung là tín hiệu

Trong thực tế có thể nhiễu tác độüng vào tín hiệu bằng cách nhân ví dụ như fading

Chương này đưa ra các công cụ toán học để biểu diễn tín hiệu, trên cơ sở biểu diễn này tiến

hành phân tích tín hiệu để rút ra các đặc trưng thích hợp cho tín hiệu tùy theo các khía cạnh

ứng dụng kỹ thuật khác nhau của nó

Chương này tập trung giới thiệu phương pháp phân tích thời gian, phân tích phổ (spectral

analysis) và phân tích tương quan (correlation analysis)

Phân tích thời gian được hiểu theo nghĩa biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian và trên cơ sở

đó, tìm ra các đại lượng đặc trưng của tín hiệu như năng lượng, công suất, trị trung bình

Phân tích phổ liên quan đến việc mô tả tín hiệu trong miền tần số và mối liên quan giữa mô

tả trong miền tần số và miền thời gian Phân tích tương quan ở cuối chương dành để phân

tích tín hiệu ngẫu nhiên Tín hiệu trong thông tin chính là loại tín hiệu ngẫu nhiên này

2.1 Giới thiệu

2.1.1 Định nghĩa tín hiệu

Tín hiệu được định nghĩa như là biểu diễn vật lý của tin tức Đó là một đại lượng vật lý biến

thiên theo thời gian, không gian hay các biến độc lập khác Về mặt toán học, có thể xem tín

hiệu là hàm theomột hoặc nhiều biến độc lập Ví dụ như, hàm

t 5 ) t (

mô tả tín hiệu thay đổi tuyến tính theo biến thời gian t Hay hàm

2

y 10 xy 2 x 3 ) y , x (

mô tả tín hiệu theo hai biến độc lập x và y biểu diễn cho hai biến không gian trong một mặt

phẳng

Một ví dụ khác, tín hiệu tiếng nói là sự thay đổi áp suất không khí theo thời gian Nhưng ta

không thể biểu diễn tín hiệu tiếng nói là một hàm theo thời gian mà tổng quát, ta chỉ có thể

biểu diễn một đoạn (segment) tiếng nói như là tổng của nhiều hàm sin khác biên độ, tần số và

pha như sau:

=

θ + π

) t ( A

Hình 2.1 là một ví dụ về dạng sóng tín hiệu tiếng nói - từ tiếng Anh "away"

Hình 2.1 Dạng sóng của từ "away"

2.1.2 Phân loại tín hiệu

Có nhiều cách khác nhau để phân loại tín hiệu

Trong một vài ứng dụng, tín hiệu có thể được tạo ra từ nhiều nguồn hoặc từ nhiều bộ cảm

biến Những tín hiệu như vậy được gọi là tín hiệu đa kênh (multichannel signals) Ví dụ như,

tín hiệu điện tâm đồ (ECG) 3 kênh hoặc 12 kênh

Xét số biến độc lập, ta thấy có những tín hiệu là hàm theo một biến đơn, gọi là tín hiệu một

hướng (one-dimensional signals), có những tín hiệu là hàm theo M biến (M > 1), gọi là tín

hiệu M-hướng (M-dimensional signals) Ví dụ như, tín hiệu ảnh tĩnh là tín hiệu 2 hướng vì

ảnh là hàm độ sáng theo hai biến không gian

Xét giá trị của hàm, có thể giá trị đó là một giá trị thực hay phức Do đó ta có thể phân loại

tín hiệu thành tín hiệu thực hay phức

Trong môn học này, ta chỉ xét tín hiệu thực, một kênh, một hướng, biến là biến thời gian Ta

ký hiệu tín hiệu này là s(t) hay x(t)

Để có thể phân tích tín hiệu, yêu cầu ta phải mô tả được tín hiệu bằng một mô hình toán học

nào đó Có những tín hiệu có thể xác định duy nhất bằng một mô hình toán học quen thuộc

như là bảng biểu, đồ thị Loại tín hiệu này được gọi là tín hiệu xác định hay tất định

(deterministic signals) Loại tín hiệu này được dùng để nhấn mạnh rằng ta có thể biết rõ tất

cả các giá trị của tín hiệu trong quá khứ, hiện tại và tương lai

Tuy nhiên, thực tế có nhiều tín hiệu mà ta không thể mô tả chính xác được Do đó không thể

dùng mô hình toán học quen thuộc để biểu diễn tín hiệu Ta không thể dự đoán được hành vi

của loại tín hiệu này Ta gọi đây là tín hiệu ngẫu nhiên (random signals) Để biểu diễn loại

tín hiệu này, ta phải dựa vào các quan sát thống kê Ví dụ tín hiệu tiếng nói, tín hiệu nhiễu là

những tín hiệu ngẫu nhiên

9/15/2

2.2 Biểu diễn tín hiệu xác định theo thời gian

2.2.1 Tín hiệu vật lý và tín hiệu toán học

Tín hiệu vật lý (physical signals) là tín hiệu có thể thực hiện được về mặt vật lý (physically

realizable) Tín hiệu vật lý phải thoả mãn các yêu cầu sau:

- Có giá trị hữu hạn, xác định trong một khoảng thời gian hữu hạn

- Có phổ hữu hạn, xác định trong một dải tần số hữu hạn

- Là hàm liên tục theo thời gian

- Là hàm thực

- Có tính nhân quả, nghĩa là biên độ s bằng 0 với thời gian t < 0

Ngược với tín hiệu vật lý là tín hiệu toán học (mathematical signals) Đó là tín hiệu chỉ có ý

nghĩa lý thuyết và hoàn toàn không thể thực hiện được về mặt vật lý Hình 2.2 đưa ra một ví

dụ về hai loại tín hiệu xung vuông vật lý và toán học

t

t

(b)

(a)

Hình 2.2 Tín hiệu xung vuông vật lý và toán học

(a) Xung vuông toán học - (b) Xung vuông vật lý

2.2.2 Phân loại tín hiệu dựa theo dạng

Gọi ký hiệu biểu diễn tín hiệu là s(t), ở đây s là biên độ và t là thời gian Dựa theo biên độ và

thời gian, ta có thể phân tín hiệu thành 4 loại:

Tín hiệu liên tục (continuous-time signals) hay tín hiệu tương tự (analog signals) là tín hiệu

có giá trị xác định tại mọi thời điểm từ khi tín hiệu sinh ra đến khi kết thúc, nghĩa là cả biên

độ và thời gian đều liên tục

Tín hiệu rời rạc (discrete-time signals) là tín hiệu chỉ xác định tại các giá trị nào đó của thời

gian Tín hiệu này có biên độ liên tục và thời gian rời rạc Khoảng cách giữa các thời điểm rời

rạc không nhất thiết phải bằng nhau, nhưng trong thực tế thường khoảng cách này được lấy

bằng nhau Có thể tạo ra tín hiệu rời rạc bằng hai cách Một làì lấy mẫu tín hiệu liên tục, đây

là cách thông thường để chuyển tín hiệu từ liên tục thành rời rạc Hai là đo (đếm) một đại

lượng nào đó theo một chu kỳ nhất định, ví dụ như cân em bé theo từng tháng, đo áp suất

không khí theo giờ

Tín hiệu lượng tử hóa (quantization signals) là tín hiệu chỉ có tập hữu hạn số mức biên độ,

nghĩa là biên độ rời rạc và thời gian liên tục Ví dụ như tín hiệu ra của bộ giữ mẫu bậc không

ZOH

Tín hiệu số (digital signals) là tín hiệu rời rạc có biên độ được rời rạc hóa, nghĩa là cả biên độ

và thời gian đều rời rạc

Hình 2.3 là đồ thị của 4 loại tín hiệu trên

Hình 2.3 Đồ thị bốn loại tín hiệu

(a) Liên tục - (b) Rời rạc - (c) Lượng tử hóa - (d) Số

2.2.3 Các tín hiệu toán học cơ bản

- Tín hiệu (delta) Dirac là tín hiệu được định nghĩa bởi:

) 0 ( s dt ) t ( ) t (

9/15/2và

0 t , )

t (

Đồ thị của tín hiệu Dirac như hình 2.4

Hình 2.4 Tín hiệu Dirac

1

0

Tín hiệu Dirac được chứng minh là có một số tính chất của như:

) t ( s dt ) t t ( ) t ( s

0

− δ

0 t khi ,

0 ) t (

) t t ( ) B A ( ) t t ( B ) t t ( A

0 0

− δ

Với y(t) liên tục tại t0 ta có: y ( t )[ A ( t t )] Ay ( t ) ( t t )

0 0

− δ

, t 2 j

dt e

) t (

-Tín hiệu bước nhảy đơn vị (unit step) là tín hiệu:

0 t , 1 ) t ( u

Từ định nghĩa có thể suy ra mối quan hệ giữa tín hiệu Dirac và tín hiệu bước nhảy đơn vị như

t

) t ( u d ) (

và

) t ( dt

) t (

du = δ

Đồ thị của tín hiệu bước nhảy đơn vị như hình 2.5

1

0

Hình 2.5 Tín hiệu bước nhảy đơn vị

- Tín hiệu chữ nhật (rectangular) là tín hiệu:

2 / T t , 1 ) T

t (

Đồ thị của tín hiệu chữ nhật như hình 2.6

t

−

− +

T t , 0

T t , T

t 1 ) T

t (

Đồ thị của tín hiệu tam giác như hình 2.7

0 t , t ) t (

Đồ thị của tín hiệu dốc đơn vị như hình 2.8

0

Hình 2.8 Tín hiệu dốc đơn vị

- Tín hiệu hàm mũ là tín hiệu:

t t , 0

t t , Ae )

t (

x (a có thể là số thực hay phức)

Đồ thị của tín hiệu hàm mũ với a thực và 0 < a < 1 như hình 2.9

Hình 2.9 Tín hiệu hàm mũ thực giảm

0

- Tín hiệu sin (tín hiệu điều hòa) là tín hiệu:

) 2

t T

2 sin(

A ) t f 2 cos(

A ) t T

2 cos(

A ) t ( x

0

0 0

π + θ +

π

= θ + π

= θ +

π

=

Ở đây A là biên độ, f0 = 1 / T0 là tần số chỉ số lần lặp lại tín hiệu trong 1 đơn vị thời gian,

là pha chỉ sai khác về góc giữa tín hiệu x(t) và tín hiệu tham chiếu có pha là 0

θ

Đồ thị của tín hiệu sin như hình 2.10

Hình 2.10 Tín hiệu sin

- A

A

0

Tập các tín hiệu sin có chung tần số được mô tả bởi tần số đó và biên độ và pha của mỗi tín

hiệu Ta có thể biểu diễn biên độ và pha của mỗi tín hiệu dưới dạng phức gọi là phasor

Sử dụng công thức Euler, ta có Vậy ta có thể viết lại biểu thức của tín

hiệu sin như sau:

β +

β

=

β

sin j cos

ej

t f 2 j t

f 2 j j p

p

) t f 2 ( j

0 0

0

Xe e

] Ae [ ) t ( x )]

t ( x Re[

] Ae

θ θ

+ π

ở đây X là số phức, biên độ và pha của X là biên độ và pha của tín hiệu sin Do đó ta nói X

đặc trưng cho tín hiệu sin ngoại trừ tần số Ta nói X là biểu diễn phasor của tín hiệu sin:

θ

= j

Ae X

2.2.4 Các đại lượng đặc trưng của tín hiệu

-Độ dài là thời gian tồn tại của tín hiệu từ lúc bắt đầu xuất hiện tín hiệu cho đến khi kết

thúc Thông số này qui định khoảng thời gian bận của hệ thống truyền tin trong việc truyền đi

tin tức chứa trong tín hiệu

-Trị trung bình (time average) của một tín hiệu được tính theo công thức:

2 / T

T s ( t ) dt T

1 lim ) t ( s

Định nghĩa tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T O là tín hiệu thoả mãn s ( t ) s ( t T ) t

0 ∀ +

vậy tín hiệu vật lý không thật sự là tín hiệu tuần hoàn

Nếu tín hiệu tuần hoàn thì trị trung bình được tính như sau:

a 2 / T

dt ) t ( s T

1 ) t ( s

với a là hằng số tùy ý có thể bằng 0

Nếu tín hiệu vật lý thì trị trung bình được tính như sau:

dt ) t ( s t t

1 )

t ( s

với t2 - t1 = T là độ dài của tín hiệu

-Thành phần một chiều của tín hiệu DC là thành phần không đổi theo thời gian. Tổng

quát một tín hiệu có thể được phân tích thành tổng của hai thành phần là thành phần một

chiều và thành phần không đổi theo thời gian có trị trung bình bằng 0 gọi là thành phần xoay

chiều Từ đây có thể dễ dàng suy ra thành phần một chiều chính là trị trung bình của tín hiệu

- Năng lượng chuẩn hoá (normalized energy) của tín hiệu được tính theo:

2 / T

2

lim E

Định nghĩa tín hiệu năng lượng là tín hiệu có năng lượng hữu hạn khác 0

- Công suất chuẩn hoá trung bình (average normalized power) của tín hiệu được tính

2 / T

2 T

2

dt ) t ( s T

1 lim ) t ( s P

Định nghĩa tín hiệu công suất là tín hiệu có công suất hữu hạn khác 0 và có năng lượng vô

hạn Từ đây ta thấy không có tín hiệu nào vừa là tín hiệu năng lượng lại vừa là tín hiệu công

suất

- Trị hiệu dụng rms (root mean square) của tín hiệu được định nghĩa là căn bậc hai của

công suất chuẩn hoá trung bình

2.3 Chuỗi Fourier - Phổ của tín hiệu tuần hoàn

Tín hiệu s(t) năng lượng hữu hạn tuần hoàn với chu kỳ T O có thể được biểu diễn dưới dạng

tổng vô hạn của các tín hiệu sin Tổng này gọi là chuỗi Fourier (Fourier series), có thể được

viết dưới nhiều dạng khác nhau Một trong các dạng đó là:

π +

=

1 n

0

n 1

n

0 n

nt 2 sin b T

nt 2 cos a A

) t ( s

Hằng số AO là trị trung bình của s(t), được tính bởi:

∫

−

=

2 / T

2 / T 0 0

0

dt ) t ( s T

1 A

Các hệ số an và bn được tính bởi:

2 /

0 n

2 / T

2 /

0 n

0

0

dt T

nt 2 sin ) t ( s T

2 b

dt T

nt 2 cos ) t ( s T

2 a

Một dạng khác của chuỗi Fourier là:

π +

=

1

0 n

nt 2 cos C C

) t ( s

Ở đây CO , Cn và φn liên quan với an , bn và AO theo công thức

n n

2 n

2 n n

0 0

a

b arctg

b a C

A C

−

= Φ

+

=

=

Vậy chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là tổng các hài của tần số cơ bản fO = 1/T O Hệ số

Cn gọi là biên độ của thành phần phổ (spectral component) Cn cos (2π n fOt + φn) tại tần số

nfO Hình 2.11a chỉ ra phổ biên độ điển hình (amplitude spectrum) Cn của tín hiệu tuần

hoàn Phổ này có dạng rời rạc nên còn được gọi là phổ vạch (line spectrum)

Chuỗi Fourier còn có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ (exponential form) như sau:

0

e A )

t ( s

ở đây

dt e

) t ( s T

1 A

2 / T

2 / T

T / n 2 j

0 n

0 0

e 2

C A

C A

Φ

=

=

Các hệ số An là biên độ của thành phần phổ Hình 2.11b chỉ ra phổ biên độ An Để ý thấy

rằng các vạch phổ tại hình 2.11a tại tần số fo được thay bằng 2 vạch phổ hình 2.11b với biên

độ mỗi vạch giảm đi một nửa, một vạch ở tần số f O và vạch kia ở tần số -f O Phổ biên độ

hình 2.11a gọi là phổ một phía (single - sided spectrum) còn phổ biên độ hình 2.11b gọi là

phổ hai phía (two - sided spectrum) Sử dụng phổ hai phía thuận tiện hơn trong tính toán, do

đóì sau này chúng ta sẽ sử dụng phổ hai phía

Về mặt lý thuyết số vạch phổ của s(t) là vô hạn, nghĩa là phổ được phân bố trên suốt thang

tần số Tuy nhiên nếu tính toán cụ thể sẽ thấy với hầu hết tín hiệu thì khi n tăng đến một giá

trị đủ lớn nào đó, biên độ Cn sẽ giảm khá nhanh và có thể bỏ qua Do đó thực tế có thể xem

như phổ chỉ phân bố trên một khoảng tần số hữu hạn

Định nghĩakhoảng mà phổ chiếm trên thang tần số gọi là bề rộng phổ (spectral bandwidth)

của tín hiệu

Cách xác định bề rộng phổ như sau: gọi B là bề rộng phổ, B đựoc tính là sai khác giữa hai

tần số dương lớn nhất và nhỏ nhất mà trong khoảng đó

9/15/2

max

) f S a ) f

Hệ số a được chọn là hằng số dương tuỳ ứng dụng Thường chọn a = 1 / 2 = 0 707 Ta

nhận thấy tín hiệu sin biên độ A có công suất trung bình là A 2

/ 2 và tín hiệu sin biên độ

2

/

A có công suất trung bình bằng một nửa là A 2

/ 4 Ta biết tỷ số công suất là 1/2 = -3 dB

Do đó băng thông với a = 1 / 2 = 0 707còn được gọi là băng thông - 3 dB

Hình 2.12 là một ví dụ về xác định băng thông của tín hiệu

Hình 2.11 (a) Phổ biên độ một phía của tín hiệu tuần hoàn

(b) Phổ biên độ hai phía tương ứng

Hình 2.12 Ví dụ xác định băng thông tín hiệu

max n

A a

n/T0

B 0

2.4 Phép biến đổi Fourier - Phổ của tín hiệu không tuần hoàn

2.4.1 Cặp biến đổi Fourier thuận và ngược

Xét tín hiệu s(t) không tuần hoàn Để áp dụng các công thức trong phần trước ta xem tín hiệu

không tuần hoàn là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lớn vô cùng T O → ∞ Như ta đã thấy, tín hiệu

tuần hoàn là tổng của các vạch phổ Các vạch phổ này có biên độ hữu hạn và phân cách nhau

bởi khoảng tần số hữu hạn fO = 1/TO Khi T O → ∞ thì khoảng cách giữa các vạch phổ trở nên

vô cùng bé 1/TO → df Biến tần số từ không liên tục trở nên liên tục n /TO → f Hệ số Fourier

An trở thành:

df dt e

) t ( s dt

e ) t ( s T

1 lim A

lim )

f

2 / T

2 / T

T / n 2 j

0 T

n T

f

S(f) được gọi là mật độ phổ (spectral density) hay phổ hay là biến đổi Fourier (Fourier

Transform) của tín hiệu s(t)

Cũng lấy giới hạn như trên, ta có thể tính ngược s(t) từ S(f) như sau:

t (

n

T / n 2 j n T

0

0

Các công thức S(f) và s(t) hợp thành cặp biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn s(t)

S(f) là biến đổi thuận, s(t) là biến đổi ngược

Cặp biến đổi Fourier chỉ rõ, về mặt vật lý, có thể xem tín hiệu s(t) là tổng của vô số dao động

điều hoà có tần số biến thiên liên tục trên suốt trục tần số với biên độ vô cùng bé phân bố trên

trục tần số theo mật độ S(f)

2.4.2 Mật độ phổ của tín hiệu tuần hoàn

Vì tín hiệu tuần hoàn chẳng qua chỉ là một trường hợp đặc biệt của tín hiệu không tuần hoàn

nên tổng quát, ta có thể gán cả khái niệm mật độ phổ cho tín hiệu tuần hoàn Do đặc điểm

của phổ vạch nên mật độ phổ của tín hiệu tuần hoàn phải có tính chất: lớn vô cùng ở các

vạch phổ và triệt tiêu ở ngoài các vạch đó. Vậy có thểdùng tín hiệu Dirac để biểu diễn mật

độ phổ của tín hiệu tuần hoàn Lấy biến đổi Fourier cho cả hai vế của công thức chuỗi

Fourier dạng hàm mũ, áp dụng tính chất của tín hiệu Dirac ta được mật độ phổ của tín hiệu

tuần hoàn ST (f) như sau:

dt e

e A )

f

n

t f n 2 j n T

−

=

n

t ) f n f 2 j

9/15/2 ∑∞

−∞

=

− δ

=

) nf f A

2.4.3 Phổ biên độ và phổ pha

Tổng quát phổ S(f) là một hàm phức theo biến f Do đó ta có thể biểu diễn S(f) dưới dạng

sau:

e ) f S ) f S Im j ) f S Re ) f

Trong đó:

)]

f S [ Im )]

f S [ Re

)

f

S = 2 + 2 gọi là phổ biên độ (amplitude spetrum), đơn vị của phổ

biên độlà A/Hz hay V/Hz

và

)]

f S Re[

)]

f S Im[

Hình 2.13 là phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu chữ nhật

Hình 2.13 Phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu chữ nhật

2.4.4 Định lý Parseval và mật độ phổ năng lượng

Định lý Parseval phát biểu như sau:

) t ( s ) t ( s

2 1 2