Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 - ĐH Kiến trúc Hà Nội: Chương 7 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 Bài toán phẳng trong hệ tọa độ cực cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phương trình cơ bản; Các phương trình hình học; Các phương trình vật lý; Giải bài toán theo ứng suất; Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng). Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG VII – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm…

Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r

7.1 Các phương trình cơ bản

1 Các phương trình vi phân cân bằng :

Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng Tại điểm A(r, θ ,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt

- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr

- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc d θ

- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị

Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 :

Vì biến dạng bé nên

Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.d θ ta được:

phương là:

và Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ Hình 7.2

* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ Sau biến dạng

* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr Sau biến dạng ABCD trở

thành A’’B’’C’’D’’:

(Hình 7.3) + Biến dạng dài:

Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa

b Biểu thức ứng suất qua biến dạng:

7.2 GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT

- Phương trình LeVy 2(σx + σy) = 0 là phương trình giải bài toán phằng theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes

Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực:

Ví dụ 1: Cho thanh cong mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng

hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất trong thanh

Bài giải :

Đây là trường hợp thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy Do mômen uốn không

đổi theo chiều dài thanh nên ứng suất không

phụ thuộc vào góc cực Ta chọn hàm ứng suất

theo (7-8) , nghĩa là:

Khi đó các ứng suất theo (7-9) sẽ là :

(Hình 7-5)

Các hằng số A,B,C được xác định từ điều kiện biên như sau :

* Tại 2 biên cong :

(d)

Giải hệ phương trình (d) đối với A, B, C ta được :

7.3 Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng)

Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi

là không gian bán vô hạn đàn hồi Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một đường thẳng Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị (H7.6)

Hình 7.6

Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng

Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi

Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng

Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ

Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0

Σx = 0 với dF = r.dθ.1 (1 là bề dày của tấm)

Thay (7.13) vào (7.12) ta có:

Trθ = 0

+Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞ Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt

lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh

điểm đặt lực bị chảy dẻo

+Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu

vực nói trên

đều như nhau Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất

Tính bản trong hệ tọa độ Descartes:

y

x

n f*y

f*x

y

yr

P o

;

(7-16)

Thay σr = - cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có:

σx = - cos3θ = -

σy = - sin2θcosθ = - (7.17)

Txy = - sinθcos2θ = - Tính chất nghiệm của (7.17):

* Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính

7-2 Hãy xác định ứng suất trong nêm như trên hình

ứng suất dạng:

ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ

Trong đó A ,B là các hằng số

7-3.Cho nêm chịu lực như hình

Hãy xác định trạng thái ứng suất trong nêm γ =const

Lấy hàm ứng suất dạng : ϕ (r, θ )= r3 (Acos3 θ + Bsin3 θ +

Ccos θ +D sin θ )

Trong đó A,B,C,D là các hằng số HÌNH (7-18)

KẾT THÚC MÔN HỌC !