Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - ĐH Kiến trúc Hà Nội: Chương 6 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 Bài toán phẳng trong tọa độ descartes cung cấp cho người học những kiến thức như: Hai trường hợp của bài toán phẳng; Bài toán ứng suất phẳng; Bài toán biến dạng phẳng; So sánh và kết luận chung; Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng; Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy;...Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG 6 – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES

6.1 HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG

I Khái niệm :

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy) Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng

Bài toán phẳng chia ra 2 loại :

1 Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học

Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian

II Bài toán ứng suất phẳng :

Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ

Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :

σz = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên :

εz ≠ 0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng

Ân số của bài toán gồm có:

Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là σx, σy,

Txy với E, µ là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu

III Bài toán biến dạng phẳng :

Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn

vị

Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như

biểu diễn trên hình vẽ sau :

Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực

pháp tuyến theo phương z Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong

trường hợp đang xét sẽ là :

εz = γxz = γyz = 0 (d)

Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng

Ẩn số của bài toán gồm có:

Các ứng suất : σx, σy, Txy, σz≠0 Các biến dạng : εx, εy, γxy

Theo định luật Hooke, từ (d) ta có :

- Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0

- Còn ứng suất pháp σz sẽ được tìm từ biểu thức εz = 0

εy = (σy - µ1σx) ; (f)

IV So sánh và kết luận chung :

1 Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : σx, σy, Txy, εx, εy, γxy

→ Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính

2 Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ :

- Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, µ

còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, µ1 theo

cách đặt (g)

3 Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau

6.2 Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng

1 Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :

+ fx = 0

2 Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy :

3 Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke

a Biểu thức biến dạng qua ứng suất :

εx = (σx - µσy)

εy = (σy - µσx) (6.4)

γxy = Txy

b Biểu thức ứng suất qua biến dạng :

σx = (εx+ µεy)

σy = (εy+ µεx) (6.5)

Txy = γxy

Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E, µ bằng E1, µ1

Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài

toán

4 Các điều kiện biên :

a Điều kiện biên tĩnh học :

σxl + Tyxm =

Txyl + σym = (6.6)

b Điều kiện biên động học :

Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ Nghiệm chuyển vị của bài

toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo

6.3 Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy

I Phép giải theo ứng suất :

- Chọn ẩn số chính là các ứng suất : σx, σy, Txy Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1)

= - fx = - fy Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8)

- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích

Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là :

* σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số

* σx = + bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0

* σx = 0 ; σy = -a ; Txy = khi fx = axy , fy = 0

II Hàm ứng suất Airy :

Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy

Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):

Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y)

tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa

Thay (d) vào (a) và (b) ta có:

Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất

III Phương trình hàm ứng suất Airy :

- Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương

trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường

Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng

(1 + µ)∇2σx + = 0 + (1 + µ)∇2σy + = 0

(1 + µ)∇2σz + = 0 (1+µ)∇2S +∇2S = 0

⇔ ∇2S = 0 Với S = σx+ σy+ σz

Vì trong bài toán ứng suất phẳng σz=0 nên S= σx + σy

Trong bài toán biến dạng phẳng :

Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa

Hàm ϕ = ϕ(x,y) : là hàm trùng điều hòa

Kết luận :

- Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10)

+ Nếu fx, fy ≠ 0 ⇒ Cộng thêm các nghiệm riêng

- Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm ϕ một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất không thay đổi

- Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học :

(6.14)

Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của

vật liệu Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định

⇒ Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc

vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu

6.4 Điều kiện biên của hàm ứng suất Airy

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều hòa (6.12)

Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất ϕ phải thỏa mãn điều kiện biên

(6.15) Xét trường hợp fx = fy = 0

Xét trường hợp fx = fy = 0

Thay (6.10) vào (6.11) ta có

(6.16) Theo (H.6.3) ta có :

l = cos(n, x) = cos(900 + α) = - sinα = -

Trong đó :

A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm

của chu vi

X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây

Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như sau :

Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0

(H.6.4)

Tại đó ta đặt các lực : A // S0x

B // S0y

Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y

+ Nếu chúng ta lấy trục t ≡ trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S

n ≡ pháp tuyến ngoại tại điểm S

Thì : N(S) (6.19) = Q(S) (6.20)

N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh,

được xem là dương → nếu là lực kéo

Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh

So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng vật liệu:

Q(s)

Q(s) ⇒ ϕ = M (6.21)

M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng

suất ϕ(x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến tại các điểm ở trên

chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó

giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu

vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ

ϕ có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức, chuổi đặc biệt

⇒ ϕ có dạng đa thức

6.5 Hàm ứng suất dưới dạng đa thức

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất ϕ thỏa mãn 2 yêu cầu :

- Phương trình trùng điều hòa

- Điều kiện biên + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ

ϕ phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa :

Txy = - =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2

2 Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất :

σy = 0 (d)

6.6- Hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác

Khi tải trọng biên phân bố không liên tục thì việc dùng hàm ứng suất dưới dạng đa thức bị hạn chế

Fillonne đề nghị chọn hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác như sau:

(6-23) với

(6-24) Đặt phương trình (6-23) vào phương trình điều hòa kép ta có

(6-25) (6-26) Nghiệm tổng quát của phương trình:

(6-27) Các ứng suất tương ứng:

Trong đó F k được xác định theo phương trình (6-27)

Với các C i là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên

- Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và x=L) thì

- Ritbier đề nghị lấy hàm ứng suất:

Điều kiện biên (khi x=0 và x=L) là Nghiệm tổng quát:

6.7 Giải bài toán phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp SPHH là một phương pháp số cho phép giải gần đúng các bào toán phức tạp mà phương pháp giải tích không hiệu dụng

6.7.1 Đạo hàm và sai phân cấp 1

Giả sử cho một hàm liên tục khả vi trong đoạn

: gọi là bước sai phân có thể đều hoặc không đều

- Đạo hàm của hàm bằng biểu thức gần đúng:

được gọi là sai phân cấp 1

Có thể định nghĩa sai phân theo cách khác

sai phân lùi ; sai phân tiến; sai phân trung tâm

Khi đó dạo hàm cấp 1 là:

(6-29)

6.7.2 Đạo hàm và sai phân cấp cao

Đại hàm cấp n có thể lấy gần đúng là:

Đạo hàm cấp 2,4 tại điểm i:

Như vậy sai phân cấp 2

6.7.3 Đạo hàm và sai phân của hàm 2 biến

Giả sử cho một hàm liên tục khả vi trong miền S, ta chia miền này bằng lưới với bước lưới là ,

(6-30)

(6-31)

(6-32)

Ta có thể viết các đạo hàm tại điểm O như sau:

6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân

(6-33)

6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân

Sau khi đơn giản ta được

Các ứng suất tại điểm O xác định theo công thức:

6.7.5 Giá trị và đạo hàm của nó trên biên

Để xác định giá trị hàm trên biên ta xét một phân tố ds theo biên của tấm có pháp

tuyến v(l,m) chịu tải trọng (như hình vẽ)

(6-34)

(6-35)

Ta có:

l=cos(v,x)=-dy/ds

m=cos(v,y)=dx/ds

Sau khi biến đổi ta có công thức cuối cùng:

6.7.6 Giá trị của hàm tại những điểm ngoài biên

1) Đối với các điểm ở trên của biên chu tuyến

3) Đối với các điểm ở bên trái của biên chu tuyến

(6-37c)

(6-37d)

Ví dụ : Xác định ứng suất tại điểm K ở giữa tấm lưới hình vuông chịu tải trọng như

hình vẽ bằng phương pháp lưới:

Bài giải :

Ta chi tấm bởi lưới hình vuông với bước lưới ∆x = ∆y=a Do tính chất đối xứng của bài

toán nên ta chỉ xét một nửa tấm và đánh số nút lưới như hình vẽ Chọn điểm gốc A

trùng với điểm nút 1 Phương trình sai phân tại điểm nút K là :

Thay các giá trị này vào phương trình (1) ta được :

Ứng suất tại điểm K sẽ là:

a

qa qa

a y

24 11

0 12

2 8

3 2

)

2 2

2 1 5

a

qa qa

qa a

12

2 8 2

)

2 2

2

2 3 3

x

K

xy

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

τ

6.8 Giải bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V

Tuy nhiên, phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên

toàn miền V mà chỉ trong miền con Ve (phần tử thứ e) thuộc miền xác định V

Do đó phương pháp này thích hợp với hàng loạt bài toán vật lí và kĩ thuật, trong

đó miền cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ

có đặc tính vật lí, hình học khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau Sự

ra đời và phát triển phương pháp PTHH đã đáp ứng những đòi hỏi trong việc

giải quyết các bài toán thiết kế các kết cấu phức tạp trong lĩnh vực hàng không,

hàng hải, khai thác dầu khí, và trong lĩnh vực xây dựng

Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con Ve, gọi là phần tử (PT) Các PT này được nối với nhau tại các điểm

định trước thường tại đỉnh PT (thậm trí tại các điểm trên biên PT) gọi là nút

Trong phạm vi mỗi một PT, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một

hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ được biểu diễn qua các

giá trị của hàm và có thể cả các giá trị của đạo hàm của nó tại các điểm nút

của PT Các giá trị này gọi là các bậc tự do của PT và được xem là ẩn số cần

tìm của bài toán

Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm xấp xỉ

có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau:

1 Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm xấp xỉ

biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong PT

2 Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của

ứng suất hay nội lực trong PT

3 Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố

độc lập riêng biệt Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả

chuyển vị lẫn ứng suất trong PT

Trong phạm vi của cuốn sách này sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản của

phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị và ứng dụng của nó vào tính toán hệ

thanh phẳng với vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính Trong phần

lý thuyết cơ bản chỉ lấy các ví dụ là các bài toán với hệ thanh phẳng

• Nội dung phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị

Trong phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị, thành phần chuyển vị được xem là đại lượng cần tìm Chuyển vị được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn

giản gọi là hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm chuyển vị) Trình tự phân tích bài

toán theo phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị gồm các bước sau:

1 Rời rạc hoá miền khảo sát

Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay còn gọi là các PT có hình dạng hình học thích hợp Các PT này được coi là liên kết với nhau tại các

nút nằm tại đỉnh hay biên của PT Số nút của PT không lấy tuỳ tiện mà phụ

thuộc vào hàm chuyển vị định chọn

2 Chọn hàm chuyển vị

Giả thiết hàm chuyển vị sao cho đơn giản đối với việc tính toán nhưng phải thoả mãn điều kiện hội tụ Thường chọn dưới dạng hàm đa thức Biểu diễn

hàm chuyển vị theo tập hợp giá trị các thành phần chuyển vị và có thể cả đạo

hàm của nó tại các nút của PT {δ}e

Tập hợp các hàm chuyển vị sẽ xây dựng nên một trường chuyển vị xác định

một trạng thái chuyển vị duy nhất bên trong PT theo các thành phần chuyển vị

nút Từ trường chuyển vị sẽ xác định một trạng thái biến dạng, trạng thái ứng

suất duy nhất bên trong PT theo các giá trị của các thành phần chuyển vị nút

của PT

3 Xây dựng phương trình cân bằng trong từng PT, thiết lập ma trận độ cứng

[K] e và vectơ tải trọng nút {F} e của PTthứ e

Dựa vào nguyên lí dừng thế năng toàn phần, xây dựng phương trình cân bằng trong từng PT, được biểu diễn dưới dạng sau:

(6.38) trong đó: {F}e- vectơ tải trọng nút của PT thứ e xét trong hệ toạ độ riêng

(HTĐR);

{ δ } e - vectơ chuyển vị nút của PT thứ e xét trong HTĐR;

[K] e - ma trận độ cứng của PT thứ e xét trong HTĐR

4 Ghép nối các PT xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ

Trên cơ sở mô hình chuyển vị, ghép nối các PT thu được phương trình cân bằng của toàn hệ, biểu diễn dưới dạng:

trong đó: {F’}- vectơ tải trọng nút của toàn hệ trong hệ toạ độ chung (HTĐC);

{ δ ’} - vectơ chuyển vị nút của toàn hệ trong HTĐC;

[K’] - ma trận độ cứng của toàn hệ trong HTĐC

Khi ghép nối cần lưu ý xếp đúng vị trí của các thành phần trong từng [K] e và

{F} e vào [K’] và {F’} Lúc này sẽ có hiện tượng lặp tại một số nút Trong hệ

phương trình (6.39) đã khử sự trùng lặp