Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 - ĐH Kiến trúc Hà Nội: Chương 5 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 Lý thuyết đàn hồi cung cấp cho người học những kiến thức như: Công và thế của lực đàn hồi; Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu; Một dạng khác của định luật hooke tổng quát; Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính;...Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi

trường phụ thuộc vào quan hệ đó Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo

Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :

σx = f1(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx);

σy = f2(εx, εy, );

σz = f3(εx, εy, );

Txy= f4(εx, εy, ); (5.1)Tyz= f5(εx, εy, );

Tzx= f6(εx, εy, );

Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính Do đó (5.1) viết thành :

σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx;

σy = a21εx + a22εy + a23εz + a24γxy + a25γyz + a26γzx;

(5.2)

Tzx = a61εx + a62εy + a63εz + a64γxy + a65γyz + a66γzx

Trong đó :

- Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu

- Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi Ta sẽ chứng minh rằng đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau

5.1 Công và thế của lực đàn hồi

- Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z) Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1) Ứng với các ứng suất ấy phần

tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc

- Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công

dx x

x x

xy xy

∂

∂ + τ τ

dx x

xz xz

∂

∂ + τ τ

z

x dx

dz P(x,y+dy,z)

N(x+dx,y,z) Q(x,y,z+dz)

τxy

σx

τxy

5.1.1 Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:

- Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : σx và σx + .dx, có độ dài tương đối εx, độ dãn dài tuyệt đối : εx.dx

- Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:

δεx Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δεx dx

Số gia của công do σx sinh ra : (σx.dydz)( δεx.dx)

Tương tự số gia của công σy và σz sinh ra :

(σy.dxdz)( δεy dy) (a)

(σz.dxdy)( δεy dz)

5.1.2 Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:

- Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là γxy Sau thời gian δt, góc trượt đó có số gia δγxy

- Lực do Txy : Txy.dy.dz

- Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox :

(Txy.dydz).dx

- Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx) δγxy

-Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :

(Tyz.dzdx.dy) δγxz (b) (Tzx.dxdy.dz) δγzx

- Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b):

δT = (σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + zxδγzx )dxdydz (5.3)

Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng

*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) δA sẽ là :

δA = = σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx (5.4)

* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.

- Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên δW là 1 vi

phân toàn phần Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :

)75( −

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

xy xy

z z

y y

x x

W W

W W

W W

γ

δγ γ

δγ γ

δε ε

δε ε

δε ε δ

So sánh (5-4) và (5-7) ta có:

zx

zx yz

yz xy xy

z

z y

y x x

W W

W

W W

W

γ

τ γ

τ γ τ

ε

σ ε

σ ε σ

5.2 Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu

5.2.1 Dựa vào định lý Green :

Từ (5.2) ta có : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx

(5-8) ta có:

15

2

a W

W

yz x x

Từf (5-2) ta có:

zx yz

xy z

y x

W

x yz yz

- Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51

- Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji

Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo

chính Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số

5.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :

- Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau

Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :

+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σx của phương trình thứ nhất trong hệ (5.2) không thay đổi:

σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx (c)

Nhưng các biến dạng góc γxy và γyz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên

⇒ σx = a11εx + a12εy + a13εz - a14γxy -

15 15

a

a a

Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0.

 Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (5.2) cũng bằng 0

* Hệ phương trình (5.2) trở thành :

σx = a11εx + a12εy + a13εz

σy = a21εx + a22εy + a23εz

σz = a31εx + a32εy + a33εz (5.9)Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx

Tyz = a54γxy + a55γyz + a56γzxTzx = a64γxy + a65γyz + a66γzx

Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận :

- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc

- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối

Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) :

Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx (e)

Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng γyz và γzx sẽ đổi dấu: Tyx

= a44γxy - a45γyz - a46γzx (f)

Đồng nhất (e) và (f) ta có :

Do aij = aji ⇒ a54 = a64 = 0

Tương tự ta có : a56 = a65 = 0

Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau:

σx = a11εx + a12εy + a13εz

σy = a21εx + a22εy + a23εz

σz = a31εx + a32εy + a33εzTyx = a44γxy (5.10) Tyz = a55γyz

Tzx = a66γzx Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có:

x

yz

σz = a31εx + a32εy + a33εz

Hoán vị vòng ta có: σx = a31εy + a32εz + a33εx (1)

Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) :

σx = a12εy + a13εz + a11εxĐồng nhất (5.11) và (1) ta có : a31 = a12

a32 = a13a33 = a11

Vì aij = aj i ⇒ a12 = a21

a31 = a13a32 = a23

* Đặt a = a11 = a22 = a33

b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có :

c = a44 = a55 = a66

Do đó (5.10) có dạng : σx = aεx + b(εy + εz)

σy = aεy + b(εx + εz)

σz = aεz + b(εx + εy) (5.11)Txy = cγxy

Tyz = cγyzTzx = cγzx

*Ta có: θ = εx + εy + εz: là biến dạng thể tích tương đối.

σz = λθ +2νεzThực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có:

λ và ν Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê

5.3 Một dạng khác của định luật hooke tổng quát

Ta có: σx+ σx +σx = 3λ θ+2νθ trong đó : θ=εx+ εy+ εz Độ biến dạng thể tích tương đối

(σx σy σz)ν

σ

σ ε

ε ν

λθ σ

ε

ν

λθ

σ ε

−

−

=+

z y

z z

y y

+

=

+

−+

++

++

=

y x

x x

y x

z y

x

z y

x

y x

z y

x x

σ

σ ν λ ν

λ σ

ν λ

ν

ν λ ε

ν

σ

σ σ

σ

σ ν λ

ν

ν λ

σ σ

σ ν λ

ν

λ ν

σ

σ σ

σ

σ ν λ

ε

23

22

3

)23

(2

23

1

(5-15)

( ) ν ( λ ν )

λ µ

ν λ

+

23

x z

x z

y y

z y

x x

E E E

σ σ

µ σ

ε

σ σ

µ σ

ε

σ σ

µ σ

ε

11

+

=+

λν

λν

νν

G

E

12

12

zx zx

yz yz

xy xy

τγ

τγ

τγ

5.4 Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính

5.4.1 Các phương trình cơ bản :

Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx

- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w

- Sáu thành phần biến dạng : εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx

Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau

b) Các điều kiện biên theo ứng suất

2) Về mặt hình học

a)Hệ phương trình biến dạng Cauchy – Navier

b)Các phương trình liên tục về biến dạng

x z

x z

y y

z y

x x

E E E

σ σ

µ σ

ε

σ σ

µ σ

ε

σ σ

µ σ

ε

111

zx zx

yz yz

xy xy

τγ

τγ

τγ

b) Biểu diễn ứng suất qua biến dạng

5.4.2 Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :

* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán Những

ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính

1 Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm

ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w

2 Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm

ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất

3 Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán,

ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị

và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất

5.5 Cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị

T zx = G

Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :

(d) Thay (c) vào (d) ta có:

Với ∇ 2 = : Toán tử vi phân Laplace

=εx+εy+εz =θ : Biến dạng thể tích tương đối (*) ⇔ ( λ + G) + G ∇ 2 u + fx = 0 ;

Tương tự ( λ + G) + G ∇ 2 v + fy = 0 ; (5.20)

( λ + G) + G ∇ 2 w + fz = 0 ;

5.5.4 Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể

tích là hằng số ta có các hệ quả sau:

a Hệ quả 1: Đạo hàm các phương trình của hệ (5.20) lần lượt

theo các biến x, y, z ta có :

(λ + G) + G∇2 = 0 ; + (λ + G) + G∇2 = 0 ; (λ + G) + G∇2 = 0

(λ + G) ∇2θ + G∇2θ = 0

⇔ ∇2θ = 0 (5.21)

Do θ tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có :

Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa

b Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.21) :

(λ + G) + G∇2u +fx = 0 (a) Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :

(λ + G) + G∇2 = 0 ; + (λ + G) + G∇2 = 0 ; (λ + G) + G∇2 = 0

(λ + G) ∇2θ + G∇2∇2u = 0 (b)

Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa

c Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng

nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình

cơ bản đã nêu trên

5.6 Cách giải bài toán đàn hồi theo ứng suất

γyz = Tyz = Tyz

2 Về mặt hình học: Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :

(b) Thay (a) vào (b) ta có :

Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có :

Thay (1) vào (4) ta có : (4) ⇔

Thay (d) vào (c) ta có : (1 + µ )

⇔ (1 + µ )

+

Trong đó : ∇2 =

S = σx + σy + σz (**) ⇔ (1 + µ)

⇔ - (1 + µ)∇2σx + +

⇔ - (1 + µ)∇2σx + + = 0

⇔ (1 + µ)∇2σx + = 0 Theo Hệ quả (1) ta có ∇2S = 0

⇔ (1 + µ)∇2σx + = 0

(1 + µ)∇2σy + = 0 (5.24)

(1 + µ)∇2σz + = 0

Hệ (5.24) và (5.25) gọi là hệ phương trình Beltrmi

5.6.2 Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các

phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 :

∇2σy + ; (5.26)

(5.26) : Phương trình Beltrami-Michell

Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính chất của các n0 ứng suất

Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.24) :

(1 + µ) ∇2σx + = 0 (1) Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có :

(1 + µ)∇2 + = 0 + (1 + µ)∇2 + = 0

(1 + µ)∇2 + = 0 (1 + µ) ∇2∇2σx + ∇2S = 0 Theo hệ quả 1 ∇2S = 0

Ta có : ∇2∇2σx = 0

Tương tự ta có : ∇4σij = 0

σij gồm có (σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx)

→ Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa) Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép

⇒ Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: ∇4σij = 0 ; ∇4ui = 0 ; ∇4εij = 0 (5.27)

5.7 Các phương pháp giải

1 Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân

các phương trình Lamê (5.20) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.24) và (5.25) hay Beltrami Michell (5.26) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện

2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước

chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.22) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho trước Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được

3 Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp

này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược

4 Nguyên lý Saint-Venant :

Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực

Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng

Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”

F : Diện tích mặt cắt ngang

5.8 Định lý duy nhất nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi

Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện

lý thuyết đàn hồi là duy nhất

Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi Dưới tác dụng của lực bề mặt , , Lực thể tích fx, fy, fz đã cho Giả thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau

5.9 Ví dụ giải bài toán xoắn thuần túy lăng trụ

Xét thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi, chịu xoắn thuần tuý (h-1)

1) Hệ các phương trình cơ bán

Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint- Venant giả thiết:

a) Các phương trình cân bằng Navier

y

x

τzx

b) Điều kiện biên

- Trên mặt pháp tuyến (l,m,0)

- Trên các mặt cắt ngang ở hai đầu thanh (z=o, z=l)

c) Các liên hệ Cauchy, định luật hooke

d) Phương trình Beltrami - Michell

và