Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 - ĐH Kiến trúc Hà Nội: Chương 4 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 4 Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm về chuyển vị; Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé; Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị; Khái niệm về tenxơ biến dạng bé; Biến dạng chính, phương biến dạng chính;...Mời các bạn cùng tham khảo!

CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

4.1 KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ

Xét một vật thể đàn hồi (S) Tại thời điểm ban đầu t =t0, vật thể chưa chịu lực có hình dáng

nào đó Giả sử lấy điểm M bất kì ∈ (S), trong hệ

trục (Oxyz) có tọa độ là: M(x,y,z) Dưới tác dụng

của ngoại lực vật (S) bị biến dạng Điểm M

chuyển đến vị trí mới là M 1(x’,y’,z’) Ta gọi véc

tơ MM1 là véc tơ chuyển vị của điểm M khi biến

1hàm của các tọa độ x,y,z Ta có:

൱� = �� = �12(�, �, �)(�, �, �)

� = �3(�, �, �) (4.2)

Gọi δ là chuyển vị toàn phần của điểm M thì nó được xác định theo biểu thức sau :

(4.3)

Định nghĩa: Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường

chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị Có mấy dạng chuyển vị?

Có 2 dạng: - Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái

mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi

- Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi

=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng

4.2 Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé

Phân tố MNPQ với các cạnh ban đầu là dx và dy sau

biến dạng trở thành phân tố M1,N1 ,P1 ,Q1 Điểm M

(x,y)có chuyển vị theo phương các trục tọa độ x,y

tương ứng là: u(x,y); v(x,y)

Điểm N (x+dx,y+dy) có các chuyển vị tương ứng là :

Theo định nghĩa ta có (a) Trong đó :MN=dx;

(b)

(g)

Trong biểu thức (g) ta đã bỏ qua lượng vô cùng bé│ε,x │=│ │<<1 so với đơn

vị Bằng cách thức tương tự ta cũng nhận được : β ~ tgβ =

Suy ra biến dạng góc γ,xy trong mặt phẳng (x,y) sẽ là:

4.3 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị

Để có được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ,ta xét

thêm sự thay đổi phương của các đường chéo phân tố gọi là các chuyển động quay.Ta

xét góc quay của đường chéo phân tố hình hộp quay quanh các trục tọa độ x,y,z với giả

thiết là: Có 3 thành phần chuyển động quay kí hiệu tương ứng là :

Xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng (x,y).Góc quay của đường chéo phân tố

quay trục z bằng góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y)quanh điểm

M Khi cạnh MN quay một góc nhỏ α như đã kí hiệu ở mục trên thì đường chéo MQ quay một góc ngược chiều kim đồng hồ là ; khi cạnh MP quay một góc nhỏ β thì đường chéo MQ quay một góc thuận chiều kim đồng hồ là

Hình 4-3

Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y) quanh điểm M sẽ bằng tổng đại

số của hai góc quay thành phần là ω ,1 và ω ,2 :

Một cách tương tự ta cũng nhận được các biểu thức góc quay của đường chéo phân tố

trong 2 mặt phẳng còn lại Viết gộp lại ta được:

Ví dụ 4-1: Cho trường hợp chuyển vị: u=ayz ; v=azx ; w=axy Trong đó a=const Hãy

tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1)

Bài giải : Theo công thức (4-4) ta có :

*Các biến dạng dài: εx = ∂u

∂x =0 ,εy = ∂v

∂y =0 ,εz = ∂w

∂z =0

*Các biến dạng góc: γxy = ∂v∂x + ∂u∂y =az +az=2az;

γyz = ∂w

∂y +

∂v

∂z =ax +ax =2ax;

γzx = ∂u∂z + ∂w∂x =ay +ay=2ay;

Tại điểm M (1,1,1)các biến dạng sẽ là: εx = εy = εz =0; γxy = γyz = γzx =2a;

Chú ý: Các công thức (4_4) và (4_5) cho thấy các hàm biến dạng εx, εy, εz , γx , γy , γz

và góc quay cứng ωx ,ωy ,ωz được biểu diễn tuyến tính qua đạo hàm riêng bậc nhât của

các hàm chuyển vị u,v,w.Các đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận là:

ەە ۉ

ەە

ۈ ەە ۇ

(4-6)

Về mặt toán học ta có thể biểu diễn ma trận (3_6) dưới dạng tổng của hai ma trận như sau:

ەەۉ

ەە

ۈەە

ۈەە

ۈەەۇ

�31 �23 0 ൱

Ma trận ở vế trái là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy Ma trận thứ

hai ở vế phải biểu thị sự quay cứng (không biến dạng)

4.4 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé:

Ta xét đoạn thẳng vô cùng bé MN = ds nằm theo phương υ nào đó có các côsin trong hệ trục tọa độ (x,y,z) là (l,m,n) Ở trạng thái ban đầu tọa độ các điểm M và N tương ứng là :

M ( x,y,z); N ( x+ dx, y+dy; z+dz)

Côsin chỉ phương của đoạn thẳng là : l = dx ds ; m = dy ds ; n = dz ds (a)

Sau khi biến dạng đoạn thẳng MN ở vị trí mới là M1N1 với các tọa độ tương ứng là :

M1(x+u, y+v, z+w) ; N1(x+dx+u+du, y+dy+v=dv,z+dz+w+dw)

Trong đó các thành phần vi phân của chuyển vị du, dv , dw là:

1 1 1phương υ là εv , theo định nghĩa ta có :

Thay (b) vào (g) và chú ý tới hệ thức (a) ta được :

εv =[( ∂u∂xl+ ∂u∂ym+ ∂u ∂z n)l+( ∂v ∂z l + ∂v ∂x m + ∂v ∂y n)m+( ∂w ∂x l+ ∂w ∂y m+ ∂w ∂z n)n] + 1 2 [( ∂u∂xl+ ∂u∂ym+ ∂u ∂z

Dựa vào các liên hệ của Côsi ta viết lại biểu thức (4-7) dưới dạng :

εv = εxl2 + εym2 + εzn2+2 γxylm +2 γyzmn +2 γzxnl (4.8)

Biểu thức (4-8) chứng tỏ rằng biến dạng theo phương υ bất kì tại một điểm được biểu diễn qua 9 thành phần biến dạng là ( εx , εy , εz, γxy ,γyz ,γzx , γyx ,γzy ,γxz ) Nói cách khác là khi viết các thành phần của ma trận biến dạng :

ەە ۉ

Ta có thể tính được biến dạng theo phương υ bất kì

4.5 Biến dạng chính, phương biến dạng chính

Do có sự tương quan toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất

kì của môi trường , tại điểm này tồn tại 3 trục chính vuông góc với nhau (tương ứng có

3 mặt vuông góc với các trục chính trên đó không có biến dạng góc ) Các trục chính

này gọi là phương biến dạng chính ε1 , ε2 , ε3 và quy ước là ε1 > ε2 > ε3 Các biến dạng

chính được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự như phương trình xác định các ứng

Bài giải : *Phương trình xác định biến dạng chính là :

ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (1) Tính J1 , J2, J3:

Thay vào phương trình (1) ta được : ε3 - 9ε2 + 23ε - 15 = 0 (1’)

Giải phương trình (1’) đối với ε ta được :ε1 =5, ε2 =3, ε3 =1

- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε1 = 5:

Thay ε1 = 5 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được

hệ phương trình sau :

(4-5)l +0.m +n = 0 -l+n=0

0.l +(1-5)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4)

l 2 +m 2 +n 2 =1 l 2 +m 2 +n 2 =1

Giải hệ phương trình (4) ta được : l 1 =± 2 ; m 1 =0; n 1 =± 2

-Phương chính thứ 2 tương ứng với ε 2 = 3:

Thay ε 2 = 3 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được

hệ phương trình sau:

(4-3)l+0.m+n =0 l+n=0

0.l +(l-3)m+0.n =0 Hay -2m=0 (5)

l 2 +m 2 +n 2 =1 l 2 +m 2 +n 2 =1

Giải hệ phương trình (5) ta được : l 2 =± 2 2 ; m 2 =0; n 2 =± 2 2

-Phương chính thứ 3 tương ứng với ε 3 = 1 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp

với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau:

4.6 Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng

Ta có:

Trong đó:

: Tenxơ lệch biến dạng

: Tenxơ cầu biến dạng

: Biến dạng dài trung bình

(4-11)

Như vậy trạng thái biến dạng được phân tích thành hai trạng thái:

- Trạng thái thứ nhất tương ứng với tenxơ lệch biến dạng có biến dạng thể tích bằng không

- Trạng thái thứ hai tương ứng với tenxơ cầu biến dạng chỉ bao gồm các thành phần biến dạng dài theo 3 phương vuông góc nhau không có biến dạng góc nên phân tố chỉ có biến dạng thể tích

Ví dụ: Cho tenxơ biến dạng:

Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng

Thay vào phương trình (1) ta được : ε3 -4ε = 0 (1’)

Giải phương trình (1’) đối với ε ta được :ε1 =2, ε2 =0, ε3 =-2

Thay ε1 = 2 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được

hệ phương trình sau :

(1-2)l +0.m +n = 0 -l+n=0

0.l +(-2-2)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4)

l 2 +m 2 +n 2 =1 l 2 +m 2 +n 2 =1

Giải hệ phương trình (4) ta được :

- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε2 = 0:

Thay ε2 = 0 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được

hệ phương trình sau :

(1-0)l +0.m +n = 0 l+n=0

0.l +(-2-0)m +0.n =0 Hay -2m =0 (5)

l 2 +m 2 +n 2 =1 l 2 +m 2 +n 2 =1

Giải hệ phương trình (5) ta được :

- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε3 = -2:

Thay ε3 =-20 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được

hệ phương trình sau :

(1+2)l +0.m +n = 0 3l+n=0 0.l +(-2+2)m +0.n =0 Hay 0m =0 (6)

l 2 +m 2 +n 2 =1 l 2 +m 2 +n 2 =1

Giải hệ phương trình (6) ta được :

Chú ý: Hệ phương trình (6) giá trị của m có thể lấy bất kỳ Nếu lấy m=1 ta được hệ

nghiệm tương ứng là: l3=0; m3=1; n3=0

4.7 Các phương trình liên tục

- Xét một điểm trong môi trường liên tục, ta có chuyển vị được xác định là hàm của tọa

độ điểm đó:

Theo phương trình Navier-Cauchy (4-4) ta có 6 thành phần biến dạng được biểu diễn

qua 3 thành phần chuyển vị (a) Do các hàm chuyển vị là liên tục, đơn trị nên các biến

Công hai phương trình đầu rồi trừ đi cho phương trình thứ 3 ta được

Tương tự hoán vọ vòng tròn ta có:

Tập hợp các hệ thức (b), (c), (d), (e) ta được hệ phương trình biểu thị mối liên hệ giữa

các biến dạng với nhau là:

Các phương trình (4-12) gọi là các phương trình liên tục do Saint- Venant tìm ra , còn

được gọi là các phương trình tương thích của biến dạng

(4-12)

Chú ý:

* Nếu biết được các hàm chuyển vị thì từ các phương trình Cauchy- Navier (4-4) ta tìm

được các thành phần của biến dạng khi đó các phương trình liên tục (4-12) tự thỏa mãn

* Nếu bằng cách nào đó biết trước các biến dạng , các phương trình liên tục phải được thỏa

mãn đông thời và nó có ý nghĩa quan trọng khi giải quyết bài toán

Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong đó a=const

Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).

Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng:

1

0 1

0

1 0

4

ε

T

1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính.

2- Hãy xác định biến dạng chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng.

Bài tập Chương IV

Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường là

xy

x y

y

xy y

x T

2/

2/

2

2 2

2 2

ε

1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?

2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)

y z

x

Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn của một thanh tròn (như

hình vẽ) ta có các dịch chuyển là:

)( const k

ey bx

w

f ez ax

xz v

c bz ay

−

=

++

+

−

=

τ τ

HẾT CHƯƠNG IV