Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 - ĐH Kiến trúc Hà Nội: Chương 3 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 Lý thuyết về ứng suất cung cấp cho người học những kiến thức như: Định luật đối ứng của ứng suất tiếp; Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2); Ứng suất trên mặt cắt nghiêng; Trạng thái ứng suất và ten xơ ứng suất;... Mời các bạn cùng tham khảo!

3.1 ĐỊNH NGHĨA

Nội lực: Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng

Ứng suất trung bình tại K:

Ứng suất tại điểm K:

Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi.

Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì ứng suất toàn phần là:

Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào:

+ Tọa độ tại điểm

+ Phương pháp tuyến của mặt cắt

3 3 2

2 1

1 e p e p e p

pv = v + v + v

( ) ( ) ( )2

3

2 2

p = +

( ) ( )2 2

vn vv

(3-3)

(3-4)

Qui ước chiều dương của ứng suất khi:

- Đối với ứng suất pháp : Quy ước là dương nếu hướng theo pháp tuyến ngoài của mặt cắt

- Đối với ứng suất tiếp : Quy ước là dương nếu pháp tuyến của mặt cắt ( chỉ số thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tương ứng Ngược lại thì quy ước là âm

phần ứng suất : 3 thành phần ứng suất pháp σx , σy , σz và 6 thành phần ứng suất tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx

Hệ thống kí hiêu ứng suât

Ngoài cách kí hiệu nêu trên (Bảng A) , người ta cũng dùng kí hiệu trong hệ trục x,y,z như sau: Xx = σx , Xx = σy , Zz = σz , Yz = τyz ,….(bảng B) và hệ thống kí hiệu ứng suất với 1 kí tự σ kèm 2 chỉ số tương ứng với hệ trục (xi) như sau : σ11, σ22 ,

3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

3.2.1 Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:

Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên

Tại điểm M(x,y,z) ta lấy 1 phân tố hình hộp có các cạnh là dx,dy,dz Lực tác

dụng lên phân tố gồm:

Ngoại lực thể tích có hình chiếu trên các trục tọa độ là : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτ

Nội lực là ứng suất trên 6 mặt của phân tố Các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z) và được biểu diễn trên hình

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục x đi qua điểm (x+dx; y,z) ta có các ứng suất :

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục y đi qua điểm (x; y+ dy,z) ta có các ứng suất

Σ X = ( σ x + ∂ σ x

∂x dx )dydz - σ x dydz+(τxy + ∂τ xy

∂y dy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τ∂zxz

dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0

Sau khi rút gọn và chia cho dτ = dxdydz ta được :

Trong trường hợp cân bằng tĩnh : vế phải các phương trình sẽ bằng không

Trong trường hợp cân bằng động ; vế phải các phương trình sẽ bằng các lượng trong ngoặc trong đó u,v,w là các thành phần chuyển vị của điểm M theo 3

phương ,y,z, các phương trình này gọi là phương trình cân bằng Navier-Cauchy

(3-5)

3.2.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Ta viết 3 phương trình cân bằng mô men của phân tố, chẳng hạn phương trình

Σmx =0 ta được : Σmx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0

Suy ra là : τyz = τzy

Tương tự ta có:

Hệ thức trên biểu thị định luật đối ứng của các ứng suất tiếp

3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)

൞������ = �= �����

��� = ���

(Hình 3-4)

(3-6)

Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li = cos(ν, xi).Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên các trục tọa độ.

Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi

+

= +

+

= +

+

* 3 3

33 2

32 1

31

* 2 3

23 2

22 1

21

* 1 3

13 2

12 1

11

f l

l l

f l

l l

f l

l l

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG

Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pν1 , pν2 , pν3 Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là li.

(3-7)

= +

+

= +

+

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 13

13 2

12 1

11

v v v

p l

l l

p l

l l

p l

l l

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

33 32

31

23 22

21

13 12

11

3 2 1

l l

l

p p p

v v v

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

( ) ( ) ( )2

3

2 2

(3-9)

(3-10)

Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp

- Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất

trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó

- Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt

- Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét Như vậy trạng thái ứng suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường

3 3 2

2 1

2 2 22

2 1

vv v

23 22

21

13 12

11

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

σ

(3-14)

D

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ

33 32

31

23 22

21

13 12

tb

T

σ σ

σ

σθ

0 0

0 0

0 0

σtb= (σ11 +σ22 +σ33 ) /3 gọi là ứng suất pháp trung bình

Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng

(3-15)

(3-16)

3.5 PHƯƠNG CHÍNH, MẶT CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH

- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0

- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính

- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính

Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνi trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:

Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là:

khai triển (2.19) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σ là :

σ3 - I1σ2 +I2σ -I3=0Trong đó :

> σ3 Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:

൞

൞�� − �1൞.� + ��� � + ��� � = 0

��� � + ൫�� − �1൯.� + ��� � = 0

�2 + �2 + �2 = 1

Giải hệ (3-22) đối với l,m,n ta được các giá trị : l1 , m1 , n1 đây là cô sin chỉ

phương của phương chính thứ 1 tương ứng với ứng suất chinh σ1

Phương trình xác địn ứng suất chính là:

σ 3 - 8 σ 2 + 7 σ + 24 = 0 (a)

Nghiệm của (a) là :

σ 1 = 6,275 kN/cm2 ; σ 2 = 3,0kN/cm2 ; σ 3 = 1,275 kN/cm2

Xác định các phương của ứng suất chính

Phương trình thứ nhất ( tương ứng với σ 1 = 6,275 kN/cm2)

Thay σ 1 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có :

൞ ൞4 − 6,275൞.� + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൞0 − 6,275൞.� + 2 � = 0

� 2 + � 2 + � 2 = 1 hay

൞−2,275 � + 2 � + 1 � = 02 � − 6,275 � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1

l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645

Phương chính thứ hai ( tương ứng với σ 2 = 3,0 kN/cm2)

Thay σ 2 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có :

൞ ൞4 − 3൞.� + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൞0 − 3൞.� + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1 hay

൞1 � + 2 � + 1 � = 02 � − 3 � + 2 � = 0

� 2 + � 2 + � 2 = 1

Giải hệ phương trình (b) ta được :

l2 = ± 0,707 ; m2 = ± 0,000 ; n2 = ± 0,707

Ví dụ 2-2: Cho ten xơ ứng suất �� = ൞2�

2 2�� �3

� 3 −2� � 2 ൞ (kN /cm 2 ) Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z =4 Bài giải :

Tại điểm P ten xơ ứng suất sẽ là : �� = ൭88 80 −21

Các thành phần ứng suất của ứng suất toàn phần pv viết dưới dạng ma trận là

ەە

ۈەەۇ

2 3

44

τv = p2v-σ2

v = (6,566)2-(3,566)2 = 5,52 kN/cm2

2 +(-1) +2 2 +(-1) +2 2 +(-1) +2

Cho ten xơ ứng suất

Hay là: σ3 - 14,33.σ +4,513 =0

Giải phương trình nhận được ta có 3 giá trị chính là:

3,933 kN/cm2 ; 0,315 kN/cm2 ; -3,618 kN/cm2

Xác định các phương chính của ten xơ độ lệch

Phương chính tương ứng với giá trị 3,933 tìm được từ phương trình

൱൱1,33 − 3,933 ൱.� + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൱−2,67 − 3,933 ൱.� + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1hay ൱−2,603 � + 2 � + 1 � = 02 � − 6,603 � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1

Nghiệm của phương trình này là : ±0,577; ± 0,392; ± 0,717

Phương chính tương ứng với giá trị 0,315 tìm được từ phương trình :

൱൱1,33 − 0,315 ൱.� + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൱−2,67 − 0,315 ൱.� + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1hay

൱1,015 � + 2 � + 1 � = 02 � − 2,985 � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1Nghiệm của hệ phương trình này là: -0,705; ±0,003; ±0,709;

Phương chính tương ứng với giá trị -3,618 tìm được từ phương trình

൱൱1,33 + 3,618 ൱.� + 2 � + 1 � = 0

2 � + ൱−2,67 + 3,618 ൱.� + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1

hay ൱ 2 � + 0,948 � + 2 � = 0

�2 + �2 + �2 = 1 Nghiệm của hệ phương trình này là: -0,399; 0,900; -0,171;

3.6 Ứng suất tiếp cực trị

Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45

so với các trục ứng suất chính

; 2

; 2

; 2

1 3

3 max

3 2

2 max

2 1

1 max

σ

σ τ

σ

σ τ

σ σ

Bài 3.1 Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi tenxơ:

)/

(421

202

12

4

2

cm kN

( 2

2 0

2

2 2

2 2

3

3 2

cm kN

y z

z

z xy

z xy

x T

Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z=4

Bài tập chương III

) /

( 4 2 1

2 0

1- Viết tenxơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính, phương chính của tenxơ lệch

2- Tìm ứng suất tiếp lớn nhất

Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất tại điểm O của vật thể đàn hồi:

) /

( 1 3

2

3 1

2

2 2

4

2

cm kN

A

β

O x

y

y

B

Bài 3.5

Trên hình vẽ biểu diễn mặt cắt ngang

của thân đê (AOB) chịu tác dụng của áp

lực nước trên bờ OB

1- Hãy viết các điều kiện biên biết:

2- Giả sử tính được ứng suất trong thân đề là:

zy yz

zx xz

z

yx xy

y

x

x tg

y p tg

x tg

tg p

y

ττ

ττ

γτ

τ

β

γβ

γβ

σ

γσ

Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất trên thỏa mãn các phương trình cân bằng Tìm tải trọng tác dụng nên các bờ OA, OB

HẾT CHƯƠNG III