Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 2 Một số khái niệm cơ bản về tenxơ cung cấp cho người học những kiến thức như: Tenxơ trong hệ tọa độ descrates vuông góc; Trường vô hướng hay tenxơ hạng không; Vec tơ hay tenxơ hạng nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ
Đại lượng vô hướng
Đại lượng có hướng
Đại lượng Tenxơ
Đại lượng
trong toán học
và trong cơ
học
Là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối lượng, …
Là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị
đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, …
Đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất,
…
Trang 2Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô
tả chúng
2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.
2.1.1 Hệ thống ký hiệu
- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:
- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3 Do
đó:
ai biểu thị một trong ba phần tử a1 , a2 , a3
aij biểu thị một trong chín phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33
aIjk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 , , a333
Hệ thống các phần tử như ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống
hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aij là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử
Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử
,
, , ij ijk
i a a a
2 n
Trang 32.1.2 Quy ước các chỉ số
Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến
3 Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác
-Thí dụ: aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = akbk
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3
-Thí dụ, ai là hệ thống gồm a1, a2, a3
2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng
-Một hệ được gọi là đối xứng nếu: ai b j=aj b i Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều
chỉ số, chẳng hạn aijk = a ikj thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k.
Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng
=
0
1
ij
với i#j
Trang 4Ký hiệu Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như
sau:
2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không
Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕ
Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕ x1 , x2 , x3 , t ) của toạ độ các điểm
trong miền không gian x1 , x2 , x3 xác định của hàm và t là tham số thời gian
Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇
Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇ nabla”
Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương ϕϕ
trình = ϕ
trình = ϕ const Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó
trên bề mặt sẽ là
−
=
1 1
0
ijk
e
khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị chẵn 1, 2, 3 khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 3
i i
e x
e x
e x
e x
grad
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∇
3
2 2
1 1
(2-1)
Trang 5Trong đó:
Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với:
Phương trình: gọi là phương trình điều hòa Nghiệm của phương
trình điều hòa gọi là hàm điều hòa
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
grad
e x grad
e x grad
e x grad
grad v
3 3
2 2
1
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
2
3
2
2
2
1 ∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
x x
x
2 3
2
2 2
2
2 1
2 2
x x
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∇
=
∇∇
=
0
(2-2)
(2-3)
(2-4)
Trang 6Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép Nghiệm của
phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép
Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0);
B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ
Bài giải:
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là:
Suy ra:
0
4 2
2 ∇ = ∇ =
1
= +
+
c
z b
y a
x
c
z b
y a
x
+ +
= ϕ
3 2
1
1 1
1
e c
e b
e a
(Hình 2-1)
Trang 7Do vậy:
Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều)
2 2
2
3 2
1
1 1
1
1 1
1
+
+
+
+
=
=
c b
a
e c
e b
e a grad
grad v
ϕ ϕ
3 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2
1 2 2 2
2 2
a c c
b b
a
ab e
a c c
b b
a
ca e
a c c
b b
a
bc v
+ +
+ +
+
+ +
+
=
Trang 82.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT
2.3.1 Các thành phần vectơ
Giả sử trong không gian thuộc hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) có các vec tơ
đơn vị là cho một vec tơ đặt tại điểm M Gọi các hình chiếu của vec tơ trên các trục
x,y,z tương ứng là ax, ay, az Ta có thể viết:
Các côsin chỉ phương của vec tơ ký hiệu là l,m,n
Ta có:
a a i a j a k = r+ ur+ ur ur
y
x z
a
ax
az
ay
a
cos( , ); cos( , ); cos( , )
(Hình 2-1)
(2-5) (2-6)
(2-7)
Trang 92.3.2 Biến đổi các thành phần của vec tơ khi xoay hệ trục tọa độ:
a,Bảng các cosin chỉ phương:
Giả sử xoay hệ trục (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec
tơ đơn vị tương ứng là: như hình vẽ
Ta có bảng cosin chỉ phương giữa hai hệ trục tọa độ như sau:i j kr ur, ,ur
z z'
y' y a
Hi`nh (1-2)
Trong đó là cosin góc hợp bởi các trục x’,y’,z’ với trục x,y,z.Từ điều kiện trực giao của các trục này ta có:
Bảng 2-1
(Hình 2-3)
Trang 10* Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’):
* Đối với hệ trục cũ (x,y,z):
(2-8)
(2-9)
Trang 11b/ Sự thay đổi của các thành phần vec tơ:
Gọi ( ) là hình chiếu của vec tơ trong hệ trục cũ
(Oxyz);( ) là hình chiếu của vec tơ trong hệ trục
mới (Ox’y’z’) thì ta có:
Theo định nghĩa ta lại có:
Hay là: Suy ra:
Hệ thức biểu diễn các hình chiếu của vec tơ trong hệ
tọa độ cũ (Oxyz)
(2-10)
Trang 12Một cách tương tự ta có thể tìm được các hình chiếu của
vec tơ trong hệ tọa độ mới (Ox’y’z’) như sau:
൞
�� = ��′ �1′ + ��′ �1′ + ��′ �1′
�� = ��′ �2′ + ��′ �2′ + ��′ �2′
�� = ��′ �3′ + ��′ �3′ + ��′ �3′ Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông
cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là
(C):
(2-11)
Trang 13Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C’):
Ma trận (C) và (C’) là hai ma trận trực giao
Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay một góc θ ngược
chiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa
đồ mới O’x’1x’2x’3 lúc đó Ox3≡ Ox’3 lúc đấy ma trận biến
Đổi hệ trục tọa độ có dạng:
' ' ', i, i
i m n l
[ ] [ ] [ ]T
C C
[ ]
=
' 3
' 3
' 3
' 2
' 2
' 2
' 1
' 1
' 1 '
n m
l
n m
l
n m
l C
[ ]
−
=
0 0
0
0 cos
sin
0 sin
cos
θ θ
θ
θ
C
(Hình 2-4)
Trang 14Chú ý: khi biến đổi hệ trục tọa độ thì véctơ a không thay đổi chỉ có các thành
phần của ve tơ a thay đổi
Bài tập chương II
Bài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một
ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:
Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:
Và véc tơ Tìm véc các thành
phần của vecto tổng trong phép biến
đổi hệ trục tọa độ
−
33 32
31
1 0
0
0 5
4 5
3
c c
c
−
−
2
1 2
1 2
2
2
2 2
2 0
2
1 2
1 2
2
(1 , 2 , 3),c( 2 , 1 , 1 )
b
c b
a = +
Trang 15HẾT CHƯƠNG II