Tài liệu Bài 1: Khối đa diện và thể tích của chúng pdf

“ _ Hình đa diện là hình có các mặt là các miền đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau: + Hai miền đa giác bắt kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh c

“ _ Hình đa diện là hình có các mặt là các miền đa giác phẳng thỏa mãn hai

điều kiện sau:

+ Hai miền đa giác bắt kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một

đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung N «

`)

- Mỗi cạnh của mỗi miền đa giác đều là cạnh chung của đúng hai |

f

- Hình đa diện và miền trong của nó gọi là khối đa diện — -

2 Bài 1: Khối đa diện và thẻ tích của chúng

1 Nhắc lại một số khái niệm và công thức (tt) b) Thẻ tích của khối đa diện

* _ Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)

» _ Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên các đường thẳng SA, | SB, ‘SC lấy

V ẹ._SA' SB' SC' `3

Venee SA SB SC’ i

<> eS

ey Bài 1: Khối đa diện và thê tích của chúng

A

2 Cac bai toan ap dung

Bài 1 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng

a và các mặt bên tạo với đáy một góc ơ

Kẻ SH L (ABC) Do hình chóp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC

Gia str AH cắt BC tại K thì K là trung điểm của BC Ta có

BC ¡ AK,BC | SK = BC 1 (SAK) => SKH = ơ

Do tam giác ABC đều nên:

a

2 Cac bai toan ap dung (tt)

Bài 2 Tính thế tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết cạnh đáy bằng

a và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng ơ

Kẻ SH ¡ (ABCD) Do hình chóp đều nên H là tâm của hình vuông ABCD

Từ giả thiết ta suy ra SAH = ơ Do đó

ey Bài 1: Khối đa diện và thể tích của chúng

a

2 Cac bai toan ap dung (tt)

Bài 3 Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1

Xác định x sao cho thể tích của tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhát

= AMSyco + =BMSye5 ở 2ABSS,cọ,

-

AB = 2a, AD = DC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M,

N là trung điểm của SA và SB Chứng minh MNCD là hình chữ nhật và tính thế tích của khối chóp S.CDMN theo a

(Đề thi cao đẳng năm 2008)

SA = 2a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thẻ tích của khối chóp

A.BCNM

(Đè thi đại học, khối D năm 2006)

Sh SSMS SB SB? 5 Tương tự ta có ONS

AD =a2, SA = a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N làn lượt là trung điểm

của AD va SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thẻ tích của khối tứ diện ANIB

(Đề thi đại học, khối B năm 2006)

Xét hai tam giác vuông ABM và BCA có:

AB BC V2

=> AABM đồng dạng với ABCA

=> BM L_AC

Mat khac: SA | (ABCD) > SA 1 BM

Bài 1: Khối đa diện và thẻ tích của chúng

A

2 Cac bai toan ap dung (tt)

Bài 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh day bang a, mat bên tạo với đáy một góc 60° Mat phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 30° cắt các cạnh SC, SD tương ứng tại M, N

a) Tính diện tích tứ giác ABMN theo a

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABMN theo a

(Đề thi đại học Sư phạm TPHCM năm 2000)

Do AB song song với CD nên MN song song với CD

Gọi E, F là trung điểm của AB và CD

Ta có AB ¡ (SEF) nên SEF = ((SAB),(ABCD)) = 60”

Do hình chóp S.ABCD đều nên SE = SF

Suy ra tam giác SEF déu

Gọi H là giao điểm của SF với MN ta có: :

HEF = ((P),(ABCD)) = 30° D = A

Suy ra EH là đường phân giác của tam giác SEF Do đó, H là trung điểm

của SF Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SCD AM

<> eS

SH | (ABMN)

1 1 a 33a? /3a°

Suy uy ra V SABMN ~ 3 =—SHS ABMN =—.~ 3° 5° = 16

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có SA = a, SB + SC = m (m > 2a),

Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a va m

Áp dụng định lý hàm số cosin lằn lượt cho các ASAB, ASBC, ASCA ta có:

AB2 = SA? — SA.SB + S2 ‘

BC? = SBZ - SB.SC + SC?

CA? = SC2 - SC.SA + SA°

Do tam giác ABC vuông tại A nên:

Trên các tia SB, SC lấy các điểm M, N sao cho SM = SN = SA = a

=

Ta có tứ diện SAMN là tứ diện đều nên: AH =

Vậy thẻ tích của khối chóp S.ABC là:

a

2 Cac bai toan ap dung (tt)

Bài 9 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng a

BAD = 60°, BAA’ = 90°, DAA’ = 120°

Tinh thê tích của khối hộp da cho theo a

2 Bài 1: Khối đa diện và thẻ tích của chúng

Suy ra AA'BD vuông tại B Gọi H là trung điểm a Ẻ &

của A'D thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác A'BD Do AA' = AB = AD C* D

nén AH | (A’BD) va AH =a.cos60° = > ~*~

Suy ra: V, so = SAHS,„øo = ~ AH A'BBD = = s = ; aJ2a= ae

Vậy thể tích của khối hộp da cho là V = g a v2 _ 832 k, |

a

2 Cac bai toan ap dung (tt)

Bai 10 Cho lang tru dtrng ABC.A’B’C’ co day là tam giác vuông, AB = BC = a

AB' vuông góc với A'C Tính theo a thê tích của khối lăng trụ đã cho

Áp dụng định lý Pitago cho ASAB' ta có \

SB’? = SA? + AB’? = 4x? + a? = x? + 2a? + x? + a?

phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp

A ABC

(Trích đề thi đại học, khỗi A năm 2008)

Bài giải

Ta CO: Vasc ape = 3-Ve aga: A

Goi O là tâm của hình bình hành ABB'A B

Theo giả thiết ta có CO ¡ (ABBA)) \}

a

2 Cac bai toan ap dung (tt)

Bài 13 Cho hình hộp chữ nhat ABCD.A’B’C’D' cé AB = a, AD = b, AA’ =c

Gọi M là trung điểm của B'C' Mặt phẳng (MAC) chia khối lập phương thành hai phần Tính thể tích mỗi phần theo a, b, c

Gọi V, là thế tích của khối đa diện ABCMNB' và ` ™~

V, là thể tích của khối ACDNMC'D'A | "L7 F