Chứng minh rằng tứ giác ABH’C nội tiếp được Bài2 Từ một điểm M trên đường kéo dài của một dây cung AB của đường tròn O, kẻ các tiếp tuyến MC và MD C,D là tiếp điểm , phân giác góc ACB cắ[r]
Trang 1A.ĐẠI SỐ
I LÝ THUYẾT
Câu1: Nêu tính chất của hàm số y=ax❑2và nhận xét về đồ thị của hàm số y=ax❑2
Áp dụng: Hàm số y= x22 đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào ?
Hàm số y= -2x2 đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào ?
Câu2: Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số.
Áp dụng: Phương trình mx❑2+ 5x - 3 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn khi nào ?
Câu3: Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Áp dụng: Với giá trị nào của m thì phương trình mx❑2+ mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt ?
Câu4: Viết công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai?
Áp dụng: Với giá trị nào của m thì phương trình x❑2- 6x + 4m= 0 có nghiệm kép?
Câu5: Phát biểu và chứng minh định lý Vi-Ét
Áp dụng: Cho phương trình : 2x2 – 6x + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức : x1
1
+ 1
x2 và x12+x22
Câu6: nêu nghiệm của phương trình ax❑2+ bx + c = 0 khi a+b+c=0 và khi a-b+c=0
Áp dụng: Không tính Δ hãy nêu nghiệm của các phương trình sau: x2 – 5x + 4= 0 và 2x2 –7x - 9 = 0
Câu7: Nêu định nghĩa phương trình trùng phương, Cách giải phương trình trùng phương ?
Áp dụng: Giải phương trình sau: x4 +5x2 – 6 = 0
Câu8 : Hãy nêu cách phân tích tam thức bậc hai ax❑2+ bx + c thành nhân tử khi biết tam thức có hai nghiệm x1 và x2 Áp dụng: Hãy phân tích tam thức 2x2 –7x - 9 thành nhân tử ?
II BÀI TẬP
BÀI1) Giải các phương trình sau:
a) 7x2 + 5x =0
b) -3x2 + 15=0
c) 5x2 – x + 2 = 0
d) -3x2 +2x +8 =0
e) 2x2 – 5x +1 =0
f) 13x2− 2 x −2
3=0
g) x❑2− 2(1+√2) x+2+2√2= 0 h) (1-√2¿x2
+(√2 −3) x+2=0
i) -2x❑2−(√3 −5)x +√3 −3=0
j) (x❑2+x+1) (x❑2+x+2) -12= 0 (*)
k) (y❑2− 5¿− 5√y2−5=6 (*) l) (x+1).(x+2).(x+3).(x+4)=8 (*)
m) x32+48
x2=10 (
x
3−
4
x) (*) n) (y − 1 y +2 ¿2−5( y +2
y − 1)+6=0 (*) o) (x❑2
− 5 x +7¿2− 4 x2+20 x −25=0 (*) p) x+53 − x −3
5 =
5
x −3 −
3
x +5 (*)
BAÌ2) a) Vẽ đồ thị hàm số y=x22 ; b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y= -x+m cắt pa rabol y=x22tại
2 điểm phân biệt A và B ; c) Tính tọa đôï A và B khi m=32
BÀI3) Cho (P): y= x42 và đường thẳng y= x+m (d) Với giá trị nào của m thì:
a) (P) không cắt (d)
b) (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
c) (d) tiếp xúc với (P)
BÀI4) Cho hàm số y= a x❑2
a) Xác định a biết đồ thị đi qua điểm A(3;3) Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định được
b) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m0) và đi qua điểm (1;0)
c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng tiếp xúc với pa ra bol y=x32 Vẽ đường thẳng trong trường hợp đó và tính tọa độï của tiếp điểm
Trang 2BAØI5:* Cho (P): y= x42 Laôp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieơm(-1;-2) vaø tieâp xuùc vôùi (P)Tìm tóa ñoô tieẫp ñieơm ,veõ ñöôøng thaúng vaø(P)
BAØI 6: Cho phöông trình mx❑2-2(m-1)x +(m+1) = 0 (1) (m laø tham soâ )
a) Vôùi giaù trò naøo cụa m thì phöông trình (1) coù hai nghieôm phađn bieôt
b) Vôùi giaù trò naøo cụa m thì phöông trình (1) coù nghieôm duy nhaât
BAØI7: Cho phöông trình 4x❑2-2(a+b)x +ab = 0 (1)
a) Giại phöông trình (1) khi a=1 ; b=√2
b) CMR: Phöông trình (1) luođn coù nghieôm vôùi mói a,b
c*) Gói x❑1 vaø x❑2 laø 2 nghieôm cụa phöông trình (1) CMR: x12+x22=a2+b2
4
BAØI8 * : Cho phöông trình 2(√2+1¿x2
+3 mx −3 m− 2√2 −2=0 (m laø tham soâ )
a) CMR phöông trình luođn coù nghieôm x=1
b) Tìm m ñeơ phöông trình coù nghieôm keùp
BAØI9) Cho phöông trình x❑2-4mx+3m+1= 0 (m laø tham soâ )
a) Tìm m ñeơ phöông trình coù nghieôm x=1
b) Tìm m ñeơ phöông trình coù nghieôm keùp Tìm nghieôm keùp öùng vôùi m vöøa tìm
c*) Bieât raỉng phöông trình coù 2 nghieôm x❑1 vaø x❑2 CMR: 4(x❑1x❑2-1)=3x❑1+3x❑2
BAØI 10: Cho phöông trình x❑2-10x+m= 0 (m laø tham soâ )
Bieât phöông trình coù moôt nghieôm baỉng -2 Tìm nghieôm coøn lái roăi tìm m
BAØI 11) Cho phöông trình 2x❑2+mx-3= 0 (m laø tham soâ )
Bieât phöông trình coù moôt nghieôm baỉng 12 tìm nghieôm coøn lái roăi tìm m
BAØI12*: Cho phöông trình x❑2-(m+1)x+m= 0 (m laø tham soâ )
a) Tìm m ñeơ toơng laôp phöông caùc nghieôm cụa phöông trình baỉng 9
b) Giại phöông trình trong tröôøng hôïp toơng bình phöông caùc nghieôm ñát giaù trò nhoû nhaât
BAØI13 : Cho phöông trình m x❑2-(2m+3)x+m-4= 0 (m laø tham soâ )
a) Tìm m ñeơ phöông trình coù hai nghieôm phađn bieôt
b*)Tìm heô thöùc lieđn heô giöõa hai nghieôm maø khođng phú thuoôc vaøo m trong tröôøng hôïp pt coù hai nghieôm
BAØI14*: Cho phöông trình x❑2-ax+a-1= 0 coù 2 nghieôm x❑1 vaø x❑2
a) Khođng giại phöông trình haõy tính M= 3 x1 2+3 x22−3
x12x2+x22x1 Tìm heô thöùc lieđn heô giöõa x❑1 vaø x❑2 maø khođng phú thuoôc vaøo m
b) Tìm a ñeơ toơng caùc bình phöông 2 nghieôm ñát giaù trò nhoû nhaât
Baøi 15*) Cho phöông trình baôc hai x2 – ( m+1)x + m =0 coù hai nghieôm laø x1 vaø x2 Khođng giại phöông trình haõy tính giaù trò cụa caùc bieơu thöùc sau theo m
a) x1
1
+1
x2 ; b) x12+x22 ; c) (x1 + x2 )3 ; d) x1 –x2 ; e) x12− x22 ; e) x13 + x23 ; f) x13 - x23
BAØI16: Cho phađn thöùc A= x2+2 x − 3
x2+x − 2 a) Ruùt gón A ; b) Tìm xz ñeơ A z
BAØI17* Cho phöông trình ( m-2) x❑2-2mx+2m-3= 0 Tìm m ñeơ phöông trình coù nghieôm keùp Tính nghieôm keùp aây öùng vôùi m vöøa tìm
BAØI18* : CMR phöông trình ax❑2+(ab+1)x+b= 0 luođn coù nghieôm vôùi mói avaø b Tìm avaø b ñeơ phöông trình coù moôt nghieôm duy nhaât x=12
BAØI19*) Cho haøm soâ y=(m+1) x-2m-1 (d)
a) CMR ñoă thò haøm soâ luođn caĩt ñoă thò haøm soâ y= x❑2-3x+3 (P)
b) CMR ñöôøng thaúng (d) luođn ñi qua moôt ñieơm coâ ñònh
Trang 3c) Trong tröôøng hôïp (d) tieâp xuùc vôùi (P).Tính tóa ñoô tieâp ñieơm
BAØI20*
a)Haõy laôp phöông trình baôc hai ñeơ caùc nghieôm cụa noù laø nhöõng soâ 10 −1
10+6√2 b)Vôùi giaù trò naøo cụa a toơng caùc nghieôm cụa phöông trình x❑2+(2 −a − a2
)x − a2= 0 baỉng 0 c) Xaùc ñònh m ñeơ ñöôøng thaúng y=x+m+1 táo vôùi trúc tóa ñoô moôt tam giaùc coù dieôn tích baỉng 8
BAØI21*) Cho phöông trình 3x❑2+7x+4 = 0 khođng giại phöông trình , gói α ; β laø caùc nghieôm cụa noù Haõy laôp phöông trình baôc hai coù heô soâ baỉng soâ vaø caùc nghieôm cụa noù laø β −1 α ∧ β
α −1
BAØI22*) Cho phöông trình ax❑2+bx+c= 0 (a0) coù hai nghieôm x❑1 vaø x❑2
a) Tính theo a,b,c caùc bieơu thöùc A= (5x1− 3 x2¿ ¿) ; B= x1
x2−3 x1+
x2
x1−3 x2❑❑
b) cho a=m ; b= -2(m+2) ; c= 3m+4.Tìm heô thöùc lieđn heô giöõa x❑1 vaø x❑2 khođng phú thuoôc vaøo m
BAØI 23*) Cho phöông trình x❑2+2x-5 = 0 coù 2nghieôm x❑1 vaø x❑2 khođng giại phöông trình haõy laôp phöông trình baôc hai coù caùc nghieôm laø y1=x12+x22; y2=x13+x23
BÀ24*) Xaùc ñònh heô soâ a,b cụa phöông trình x❑2+ax+b= 0 bieât raỉng hieôu caùc nghieôm soâ baỉng 5 vaø hieôu caùc laôp phöông cụa chuùng baỉng 35
BAØI25*) Cho phöông trình x❑2-10x-m❑2 = 0 (1)
a) CMR pt(1) luođn coù 2 nghieôm traùi daâu vôùi mói m0
b) CMR nghieôm cụa pt(1) laø nghòch ñạo caùc nghieôm cụa pt m❑2x❑2+10x-1 = 0 vôùi m0
c) Vôùi giaù trò naøo cụa m thì pt(1) coù hai nghieôm thoûa maõn heô thöùc 6x❑1 + x❑2 =5
BAØI26) a) Tìm hai soâ x, y bieât x❑2+y2=13 vaø x.y=6
b*)Cho pt baôc hai x❑2+bx+c= 0 coù hai nghieôm x❑1 vaø x❑2 khaùc 0 laôp pt baôc hai coù hai nghieôm laøx1
x2∧ x2
x1
BAØI 27 *) Cho pt x❑2-(m-1)x- m❑2 +m-2= 0
a) CMR pt luođn coù hai nghieôm traùi daâu vôùi mói m
b) Gói hai nghieôm cụa pt la ø x❑1 vaø x❑2 Tìm giaù trò cụa m ñeơ x12+x22ñát giaù trò nhoû nhaât
BAØI28) Cho pt x❑2+px-16= 0
a) CMR pt luođn coù hai nghieôm phađn bieôt
b) * Xaùc ñònh p ñeơ tư soâ caùc nghieôm cụa pt baỉng -4
BAØI29*) Cho pt 2x❑2+(m+2)x-7+ m❑2 = 0 Tìm giaù trò döông cụa m ñeơ pt coù hai nghieôm traùi daâu
Vaø nghieôm ađm coù GTTÑ baỉng nghòch ñạo cụa nghieôm kia
BAØI30*) Cho caùc pt ax❑2+2bx+c= 0 ; bx❑2+2cx+a= 0 ; cx❑2+2ax+b= 0 ( a,b,c khaùc 0) CMR ít nhaât moôt trong caùc pt tređn coù nghieôm
BAØI31*) Tìm m ñeơ hai pt x❑2+mx+1= 0 (1) vaø x❑2-(m+1)x-2m= 0 (2) coù ít nhaât moôt nghieôm chung
BAØI32*) a) Cho pt m x❑2-2(m-2)x +3(m-2)= 0 tìm m ñeơ pt coù hai nghieôm cuøng daâu
b) Cho pt 3 m x❑2+2(2m+1)x +m= 0 tìm m ñeơ pt coù hai nghieôm ađm
Toaùn laôp phöông trình
Dáng1: Toaùn cođng vieôc laøm (Laøm chung, laøm rieđng)
Baøi1) Hai ñoôi cođng nhađn cuøng laøm moôt cođng vieôc thì xong trong 4 giôø Neẫu moêi ñoôi laøm moôt mình thì ñeơ
laøm xong cođng vieôc aây,ñoôi thöù nhaât caăn thôøi gian ít hôn ñoôi thöù hai laø 6 giôø Hoûi moêi ñoôi laøm moôt mình xong cođng vieôc aây trong bao lađu?
Baøi2) Hai lôùp 9a vaø 9b cuøng laøm trong 4 giôø thì ñöôïc 2/3 cođng vieôc neâu laøm rieđng thì moêi lôùp phại maât
bao lađu môùi xong cođng vieôc Bieât raỉng lôùp 9a laøm xong tröôùc lôùp 9b laø 5 giôø
Baøi3*) Hai ñoôi xađy döïng cuøng laøm chung moôt cođng vieôc döï ñònh laøm xong trong 12 ngaøy Hó cuøng laøm
vôùi nhau trong 8 ngaøy thì ñoôi I chuyeơn ñi laøm vieôc khaùc ,ñoôi II tieâp túc laøm vôùi naíng suaât gaâp ñođi neđn ñoôi
Trang 4II đã làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên
Dạng2: Toán chuyển động
Bài4)Một ôtô dự định đi quãng đường AB dài 60km trong thời gian nhất định Trên nữa quãng đường đầu
do đường xấu nên thực tế ôtô chỉ đi với vận tốc ít hơn dự định 6 km/h để đến B đúng dự định ôtô phải đi quãng đường còn lại mỗi giờ nhiều hơn dự định 10 km tìm thời gian dự định đi 60 km
Bài5) Hai tỉnh A và B cách nhau 240 km hai ôtô cùng xuất phát đi từ A đến B ôtô thứ 2 xuất phát sau
ôtô thứ nhất 1 giờ, vận tốc ôtô thứ 2 hơn vận tốc ôtô thứ nhất là 10 km/h ô tô thứ 2 đuổi kịp ô tô thứ nhất
ở chính giữa quãng đường Tìm vận tốc của mỗi ô tô
Bài6) Một ca nô xuôi khúc sông dài 80 km rồi ngược về 48 km thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian
ngược dòng là 1 giờ và vận tốc khi xuôi dòng lớn hơn khi ngược dòng là 4 km/h tìm vận tốc ca nô khi xuôi dòng và khi ngược dòng
Bài7) Một người đi xe đạp từ A đến B dài 78km Sau đó 1 giờ người thứ hai đi xe máy từ B đến A Hai
người gặp nhau tại C cách B 36 km.Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết rằng vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 45 km/h
Bài8) Hai người đi xe đạp khởi hành 1 lúc từ A đến B cách nhau 66km và đi ngược chiều nhau Sau 3 giờ
họ gặp nhau.Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng thời gian đi hết quãng đường AB của 2 người hơn kém nhau 1 giờ 6 phút
Bài9*) Hai người đi xe đạp có cùng vận tốc, khởi hành cùng một lúc từ A đến B Sau khi đi được 2/3 đoạn
đường, người thứ nhất bị hỏng xe phải dừng lại 20 phút để sửa, sau đó đón ô tô trở về A, còn người thứ hai vẫn tiếp tục đi và đến B sau người thứ nhất đến A là 40 phút Tìm vận tốc của người đi xe đạp, biết quãng đường AB dài 60 km và vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe đạp là 30km/h
Bài 10*) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km Sau khi đi được 2 giờ người đó nghỉ 15 phút,
rồi sau đó phải tăng vận tốc thêm 4 km một giờ và đến B đúng giờ đã định Tìm vận tốc lúc ban đầu của người đi xe đạp
Bài11*) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km với vận tốc không đổi Nhưng sau khi
đi được 1 giờ vì đường xấu nên người đó phải giảm vận tốc mỗi giờ 2 km nên đã tới B chậm hơn dự định
15 phút Tìm vận tốc dự định của người đó
Bài 12*) Hai người khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều nhau từ hai đầu đoạn đường AB dài 18km
và gặp nhau sau 2 giờ Người đi từ A mỗi km đi nhanh hơn 3 phút so với người đi từ B Hỏi mỗi người đi với vận tốc là bao nhiêu
Dạng3: Nội dung phân chia sắp xếp:
Bài 13) Thực hiện kế hoạch trồng cây của nhà trường mỗi lớp 9a và 9b trồng 1600 cây bạch đàn Mỗi giờ
lớp 9a trồng nhiều hơn lớp 9b 80 cây nên lớp 9a trồng xong trước lớp 9b là 1 giờ Hỏi mỗi lớp đã trồng hết số cây dự dịnh trong bao lâu
Bài 14) Một đoàn xe chở 30 tấn hàng về kho Khi bắt đầu khởi hành được bổ sung 2 xe nữa nên mỗi xe
chở ít đi 0,5 tấn Hỏi đoàn xe lúc đầu có bao nhiêu chiếc
Bài 15*) Trong hội trường chỉ có 320 chỗ ngồi, nhưng số người tới tham gia hhội nghị hôm đó có tới 420
người nên phải thu xếp để để mỗi dãy ghế thêm được 4 người và phải đặt thêm một dãy ghế nữa mới đủ Hỏi trong hội trường lúc ban đầu có bao nhiêu dãy ghế
Bài 16*) Anh công nhân A làm mỗi sản phẩm nhanh hơn anh công nhân B là 6 phút Hỏi trong 7 giờ mỗi
người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng sau 7 giờ anh A làm nhiều hơn anh B là 8 sản phẩm
Dạng4: Toán có nội dung hình học :
Bài 17) Một hình chữ nhật có chu vi 90 m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi 15m thì
được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính các cạnh hình chữ nhật đã cho
Trang 5Bài 18*) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm một lói đi xung quanh vườn ( Thuộc
đất của vườn) rộng 2 m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m2 Tính kích thước của vườn
Bài 19*) Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30m, chiều rộng 20m
thành từng hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng cây liên tiếp
Dạng5: Toán cấu trúc số
Bài 20) Cho một số gồm hai chữ số Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và
thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
Dạng6: Toán về phần trăm:
Bài 21) Dân số một khu phố trong hai năm tăng từ 30.000 nghười đến 32 448 người Hỏi trung bình hàng
năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu phần trăm
Bài 22*) Hai lớp 9A và 9B có 105 học sinh; Lớp 9A có 44 học sinh tiên tiến, Lớp 9B có 45 học sinh tiên
tiến, biết tỉ lệ học sinh tiên tiến của lớp 9A thấp hơn 9B là 10% Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến của mỗi lớp, và mỗi lớp có bao nhiêu học sinh
Dạng7: Toán có nội dung lí, hóa học
Bài 23) Cho một chất lỏng có khối lượng là 8g và một chất lỏng khác có khối lượng là 6g và khối lượng
riêng nhỏ hơn 200kg/m3 Nếu đem hai chất lỏng trộn vào nhau thì được một hổn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 Hãy tìm khối lượng riêng của mỗi chất
B) PHÂN MÔN HÌNH HỌC
I LÝ THUYẾT
Câu1: Nêu định nghĩa góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Aùp dụng: Cho đường tròn (O) Tính số đo của các góc ở tâm chắn các cung 1/8 dường tròn, ¼ đường tròn Câu2: Phát biểu và chứng minh các định lý về số đo các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây,
góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn
Aùp dụng: Tính số đo của các góc nội tiếp chắn các cung 1/8 dường tròn, ¼ đường tròn, ½ đường tròn Câu3: Nêu mối quan hệ về số đo giữa các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc ở tâm khi cùng
chắn một cung trong một đường tròn
Aùp dụng: Cho đường tròn (O) và góc nội tiếp BÂC = 300 Tính số đo góc BÔC
Câu4: Phát biểu kết luận quỹ tích cung chứa góc αvà nêu trường hợp đặc biệt khi gócα=90❑0
Aùp dụng: Cho tứ giác ABCD sao cho DÂC =DB❑C Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
Câu5: Thế nào là tứ giác nội tiếp, phát biểu và chứng minh định lý về tính chất về góc đối diện của một
tứ giác nội tiếp
Aùp dụng: Cho một tứ giác nội tiếp ABCD có Â=350 Hỏi số đo góc C bằng bao nhiêu độ
Câu6: phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện nội tiếp của một tứ giác
Aùp dụng: Hãy giải thích vì sao mỗi tứ giác sau đây là nội tiếp được hoặc không nội tiếp được
Hình chữ nhật, hình thang cân, hình bình hành, hình thang vuông, hình thoi
Câu7: Đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp đa giác đều có đặc điểm chung gì ?
Aùp dụng: Viết công thức biểu thị mối quan hệ giữa độ dài cạnh và các bán kính của các đường tròn đó
đối với tam giác đều, hình vuông, lục giác đều
Câu8: Viết công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, hình quạt tròn, muốn tính
diện tích hình viên phân , hình vành khăn ta làm thế nào ?
Aùp dụng: Cho đường tròn (O; 2cm) và A, B thuộc đường tròn sao cho AÔB = 600 Tính diện tích hình viên phân tạo bởi cung và dây AB
Câu9: Viết công thức tính DTXQ và Thêû tích của hình trụ, hình nón, nón cụt, hình cầu
Trang 6Aùp dụng: Cho hình trụ có bán kính đáy là r, chiều cao là 2r, một hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao
là 2r, và một hình cầu có bán kính r
a) Khi đặt hình nón hoặc hình cầu vào hình trụ ta có thể mô tả như thé nào ?
b) So sánh diện tích xung quanh và thể tích của các hình trên (Mối quan hệ giữa chúng)
II BÀI TẬP
Bài1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Vẽ các đường cao AD, BE, CK của tam giác cắt nhau tại H.
a) Hãy tìm và chứng minh trong hình có 6 tứ giác nội tiếp được
b) Chứng minh rằng DA, EB và KC là các phân giác của tam giác DEK
c) Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh rằng tứ giác ABH’C nội tiếp được
Bài2) Từ một điểm M trên đường kéo dài của một dây cung AB của đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến
MC và MD (C,D là tiếp điểm) , phân giác góc ACB cắt AB ở E CMR:
a) MC=ME
b) DE là phân giác của góc ADB
c) Gọi I là trung điểm của AB CMR tứ giác MCID nội tiếp được đường tròn
d) IM là phân giác của góc CID
Bài3*) Cho đường tròn (O) , dây CD vuông góc với đường kính AB tại H Trên tia đối của tia DC lấy
điểm M Đường thẳng MB cắt đường tròn tại F
a) Chứng minh FA, FB là phân giác trong và phân giác ngoài của góc CFD
b) Gọi I là giao điểm của CD và FA Chứng minh rằng IDIC =MD
MC c) Tiếp tuyến với đường tròn tại F cắt DM tại J Chứng minh JI=JM
d) MA cắt đường tròn tại E Chứng minh rằng 3 điểm B,I,E thẳng hàng và JE=JF
Bài4) Cho nửa đường tròn đường kính AB C là điểm thuộc nửa đường tròn Trên AC kéo dài về phía C
lấy AD=AB , trên AB lấy AE=AC DE cắt BC tại H AH cắt nửa đường tròn tại K
a) * CMR DÂH = BÂH
b) CMR: Tứ giác ACHE nội tiếp được
c) CMR: 3 điểm B,K,D thẳng hàng
Bài5) Cho nửa đường(O) tròn đường kính AB Kẻ dây AC, gọi M là điểm chính giữa cung AC H là giao
điểm của MO và AC Trên nửa mp chứa tia BM có bờ là đường thẳng BC, vẽ tia Cx song song với BM và cắt OM kéo dài tạiD
a) CMR: OM // BC và tứ giác MBCD là hình bình hành
b) Đường thẳng AM cắt CD tại K, KH cắt AB tại P Chứng minh rằng:
* Tứ giác PHCB nội tiếp đựợc
AP.AB=AH.AC
Bài6) Cho nửa đường tròn đường kính AB =2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C,D là 2 điểm
di động trên nửa đường tròn Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và E)
a) Chứng minh BDAB=BF
DF b) Chứng minh tứ CEFD nội tiếp được đường tròn
c) Khi C,D di động trên nửa đường tròn.Chứng minh AC.AE=AD.AF có giá trị không đổi
d) Cho góc BOD bằng 30❑0, góc DOC bằng 60❑0 Tính diện tích của tứ giác ACDB
e) Tính diện tích của mỗi hình viên phân tạo bởi cung và dây AC; cung và dây CD; cung và dây DB
Bài7) Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, CD là đường kính thay đổi Gọi d là tiếp tuyến
với đường tròn tại B và AC, AD lần lượt cắt d tại P,Q
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được trong đường tròn
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC
Bài8) Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB>AC, đường cao AH Trên nửa mp bờ BC chứa điểm A , vẽ
nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F
Trang 7a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh AE.AB=AF.AC
c) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong đường tròn
d) Biết góc B bằng 30❑0;BH=4 cm.Tính diện tích hình viên phân tạobởi dây BE và cung BE
Bài9) Cho tam giác cân ABC (AB=AC) nội tiếp trong đường tròn (O) Các đường cao AG,BE,CF gặp
nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Chứng minh AF.AC=AH.AG
c) Chưng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn (I)
d) Cho bán kính đường tròn (I) là 2cm, góc BAC bằng 50❑0 Tính độï dài cung FHE của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IFHE ( Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài10) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB cố định Qua A và B vẽ các tiếp tuyến với nưả đường
tròn (O) Từ một điểm M tùy ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 với nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tương ứng là H và K
a) Chứng minh tứ giác AHMO nội tiếp được trong đường tròn
b) Chứng minh AH+BK=HK
c) Chứng minh Δ HAO~ Δ AMB và HO.MB=2R❑2
d)* Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn sao cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ nhất
Bài11) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tia OA cắt đường tròn ( O’) tại C ; Tia O’A
cắt đường tròn (O) tại D CMR:
a) Tứ giác OO’CD nội tiếp đường tròn
b) Năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn
Bài12) Cho hình vuông ABCD, điểm M trên cạnh AB Đường thẳng qua C và vuông góc với CM cắt các
tia AB và AD lần lượt tại E và F,tia CM cắt đường thẳng AD tại N Chứng minh:
a) Các tứ giác AMCF và ANEC nội tiếp được đường tròn
b) CM+CN=EF
Bài13) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) có góc BAC bằng 45❑0, BP và CD là
2 đường cao
1) CMR: a) Năm điểm B,D,P,C,O cùng thuộc một đường tròn
b) DO//BP
2)Tính DP theo R
Bài14) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là một điểm tùy ý trên cạnh AB QuaI kẻ IN vuông góc với CD
tại N và kẻ IM vuông góc với AC tại M
a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp được đường tròn
b) Chứng minh rằng MA.MN= MB.MI
c) Cho biết AB=5cm, BC=2 cm xác định vị trí của điểm I trên cạnh AB để AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC
Bài 15*) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AH, BK, CL Từ H dựng HE vuông góc với
AB, HF vuông góc với AC Từ K dựng KD vuông góc với BC và KQ vuông góc với AB
a) Chứng minh rằng FD // AB
b) Chứng minh tứ giác AQDC nội tiếp được
Bài16) Cho hình thang ABCD đáy lớn AD, đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn (O); AB và CD kéo dài cắt
nhau tại I Các tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau tại K
a)Chứng minh rằng 5 điểm B, O, K, D, I cùng thuộc một đường tròn b) CMR : IK//BC
Bài17) Một hình nón cụt bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm, đường sinh bằng 13 cm.
a) Tính bán kính đáy nhỏ
Trang 8b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt.
Bài18) Từ một khúc gỗ hình trụ , người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất Biết thể tích phần
gỗ tiện bỏ đi là 200π (cm3)
a) Tính thể tích hình nón
b) Gỉa sử chiều cao của hình nón là 12 cm Tính diện tích xung quanh của hình nón
Bài19: Cho đường tròn (O) và một điểm P cố định ở ngoài đường tròn Đường thẳng d thay đổi luôn đi
qua P và cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AB
HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ : Phầøn đại số
Bài1 : Câu j: Đặt t = x2 +x +1; Câuk) Đặt t=
√y2− 5; Câul) Nhân (x+1)với(x+4)và
(x+2)với(x+3) rồi đặt t=x2 +5x+4 ; Câum) Đặt y=
(x
3−
4
x) => y2 =(3x −4
x)2 rồi suy ra 3y2=x32+48
x2− 8
=> x2
3 +
48
x2=3 y2+8
Từ đó có pt: 3y2 -10y+8=0 ; Câu1n) Đặt t=y − 1; y +2
Câu0) Đặt t=x2-5x+7; Câup) Quy đồng mẫu thức
riêng mỗi vế đưa về dạng : A B=A
C ⇒¿
Bài 3;4;5: Phương pháp giải:
+Viết phương trình hđgđ của (P) và (d)
+(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi pthđgđ có hai
nghiệm phân biệt Δ>0
+(d) tiếp xúc(P) khi pthđgđ cónghiệm kép Δ=0
+(d) không cắt (P) khi pthđgđ vô nghiệm phân
biệt Δ<0
Bài6) a) Khi m0 và Δ’>0 ; b) Khi m=0
Bài7b) Chứng minh Δ’0 với mọi a; b ; Câuc)
x12+x22=(x1+x2)2 -2x1x2
Bài 12a) x13+x23=(x1+x2)(x12 -x1x2 +x22) ; Câub)
x12+x22=m2+11 => m=0
Thế x=1/a vào pt(2) => m2.1
a2+10.
1
a − 1=0 Vậy
1/a là nghiệm của pt(2).Tương tự cm 1/b là nghiệm
của pt(2)
c) Giải hệ {6 x1+x2=5
x1+x2=10
x1 x2=− m2 suy ra m
Bài 26a) Đưa về tìm 2 số x2 và y2 biết S=x2 +ø y2
=13 và P=x2 ø y2 =36
b) x1+x2 = - b và x1x2 = c Tính S=x1
x2+
x2
x1 vàP =
x1
x2.
x2
x1=1
Bài 27a) a=1>0 còn c = - m❑2 +m-2=-( m❑2
-m+2)=
= -(m-1/2)2-7/4<0 với mọi m; a và c trái dấu
nên Δ>0
Bài13b) 4(S-2) =3(P-1) Bài15) x12+x22=(x1+x2)2 -2x1x2 ; Câud) Tính (x1- x2)2=
x1 +x2-2x1x2 = (x1+x2)2 -4x1x2 Rồi => x1- x2
Bài16) A= x+3 x+2=x +2+1
1
x +2
Bài18) a=0; x=1/2 => b
Bài19) a) Lập PTHĐGĐ của (d) và (P) và C/m Δ0 với mọi
m b)Lấy m làm nhân tử chung rồi cho x=2 suy ra y=1 ta thấy với mọi m thì x=2 và y=1 => Điểm cố định là (2;1)
Bài 20) Tính S và P
c) (m+1)(-m-1)=8 => m
Bài 21) α +β= −73 ; α β=4
3 ; Tính S=
23
21 và P=
2 7
Bài 22) a) A= 64 ac −15 b2
a2 ; B = b2− 8 ac
7 ac −3 b2 ; Câu b) Lập S – P = - 1
Bài23) Tính S= -24 và P= - 532 Bài 24) x13-x23=(x1-x2)(x12 +x1x2 +x22) =35 5[(x1+x2)2
-x1x2]=35 => (x1+x2)2 -x1x2=7 => a2-b =7 Mặt khác x1-x2 =5 => (x1-x2)2=25 => (x1+x2)2 -4x1x2 =25 hay a2-4b =25; Rồi giải hệ
¿ ¿
¿
¿
¿
a2− 4 b=25
a2− b=7 suy ra a và b
Bài25) a) CM Δ>0 và P<0
b)Giả sử avà b là 2 nghiệm của pt (1) => a❑2-10a-m❑2 =
0
Câub) Giải hệ sau{ Δ' ≥ 0 m ≠ 0
P>0 ;S <0
⇔m ≤− 2−√3 hoặc m>0
Toán lập phương trình:
Bài1) Chọn ẩn x là thời gian đôi I thì Lập được phương
trình sau: 1x+ 1
x +6=
1
4 ĐS Đội I:6h, Đội II:12h
Bài2)Chọn ẩn x là thời gian lớp 9A thì Lập được
phương trình sau: 1x+ 1
x +5=
1
6 ĐS 9A:10h, 9B:15h
Bài3) Chọn ẩn x là thời gian đôi I , y là thời gian đội II
Trang 9Mặt khác P=x1x2 =c<0 theo cmtrên
b)x12+x22=3(m-4/6)2+11/3 11/3 => Min =11/3
khi m=2/3
Bài28) b) Giải hệ { x1
x2=− 4
x1+x2=− p
x1 x2=− 16
suy ra p
Bài29)a) a=2 ; c= -7+m2 Để Pt có hai nghiệm trái dấu
thì c<0 hay -7+m 2 => −√7<m<√7 Giả sử x 1 <0 và
x 2 >0 Ta có x1 =x12 =>
|x1x2|=1⇔|− 7+m2
2 |=1⇒ 7 −m2
=2⇒m2
=5⇒m=±√5
Vì m>0 nên chọn m=√5
Bài30) Tính Δ’ 1 +Δ’ 2 +Δ’ 3 và chứng minh Δ’ 1 +Δ’ 2 +Δ
’ 3 0 suy ra có ít nhất 1 pt có Δ’0
Δ’ 1 +Δ’ 2 +Δ’ 3 = [(a-b) 2 + (b-c) 2 + (c-a) 2 ] :2
Bài 31) Giả sử x0 là nghiệm chung thì ta có :
x0❑2+ mx0+ 1 = 0 (1) và
x0❑2-(m+1)x0 -2m= 0 (2)
Trừ từng vế rồi suy ra ù x0= -1 hoặc m=-1/2
Lần lượt thế x0= -1 vào 2 pt ta thấy m=2 còn
thế m=-1/2vào 2 pt thì thấy 2pt vô nghiệm
Vậy m=2 và x0= -1
Bài32) a) Giải hệ sau{ Δ' ≥ 0 m ≠0
3 (m− 2)
m >0
⇔−1<m<0
Bài13) Gọi x là thời gian lớp 9A thì lập được
phương trình sau1600x −1600
x +1=80; ĐS: 9A:4h;
9B :5h
Bài14) PT: 30x −30
x+ 2=0,5; ĐS: 10 chiếc xe
Bài 15) Gọi x là số dãy ghế lúc đầu thì lập
được phương trình 420x+1 −320
x =4; ĐS: 20dãy
Bài16) Gọi x là số sản phẩm anh A trong 7h
thì lập được phương trình saux −87 −7
x=
1
10; ĐS:A:28; B:20
Bài 17) Gọi x là chiều rộng thì lập được
phương trình sau 2x(30-x)=x(45-x) ; ĐS : Rộng
15m; dài 30m
Bài 18) Gọi x là chiều dài thì lập được phương
trình sau (x-4)(136-x)=4256 ; ĐS:Dài 80m;
Rộng 60m
Bài19) PT: (20
x +1)(
30
x +1)=35; ĐS: 5m
thì Lập được hệ phương trình sau :
1
x+
1
y=
1 12 8
x+
15
y =1
ĐS: Đội I:28ngày; Đội II 21Ngày
Bài4) Gọi x là vận tốc dự định thì lập
phương trình sau30x −6+30
x+ 10=
60
x
ĐS : x=30km/h suy ra thời gian dự định là 60:30=2h
Bài5)Gọi x là vận tốc ôtô thứ nhất thì lập được phương
trình sau120x −120
x+10=1 ĐS: Oâtô1: 30km/h ; ôtô2: 40km/h
Bài6) Gọi x là vận tốc ca nô khi xuôi dòng thì lập được
phương trình sau80x −48
x − 4=1
ĐS: Vxuôi dòng=20km/h; ngược dòng 16km/h hoặc Vxuôi dòng=16km/h; ngược dòng 12km/h
Bài7) Gọi vận tốc người đi xe đạp là x thì lập được
phương trình sau42x −36
x +4=1
ĐS: Vận tốc xe đạp =14km/h ; Vận tốc xe máy =18km/
h Thời gian xe đạp= 3h ; xe máy 2 h
Bài 8) Gọi x là vận tốc của người thứ nhất, y là vận tốc
của người thứ hai thì lập được hệ phương trình sau
x + y=22
6
y −
6
x=
1
10 ĐS V1=12km/h; V2=10km/h
Bài9) PT: 60x −(40
x +
1
3+
40
x+30)=
2
3 ; ĐS: 10km/h
Bài10) PT: 2+1
4+
36 − 2 x
36
x ; ĐS: 12km/h
Bài11) PT: (1+20 − x
x − 2 )−
20
x =
1
4 ; ĐS: 10km/h
Bài12) Gọi x phút là thời gian người từ Ađi 1km thì lập
được phương trình 120x +120
x+3=18ĐS: VA=5km/h ;
VB=49km/h
2) Phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn:
+Chứng minh nhiều tứ giác nội tiếp được mà các đường tròn ngoại tiếp có 3 điểm chung hoặc đôi 1 có 3 điểm chung
+Lần lượt chứng minh nhiều điểm cùng nhìn một đoạn dưới 1 góc không đổi
+ Chứng minh nhiều điểm cùng cách đều một điểm cố định
3) PP Chứng minh hệ thức hình học dạng:
AB.CD=MN.PQ hoặc AB.CD=MN 2
+Chứng minh hai tam giác đồng dạnổnồi dùng các tỉ số đồng dạng để suy ra hệ thức
Trang 10Bài 20) HPT: x+y=10 x+ y6
Xy+25=10y+x ; ĐS: 54
Bài21) PT: 300x+300x+3x2=2448 ; ĐS: 4%
Bài 22) Gọi x% là tỉ lệ HSTT lớp 9A thì lập được
phương trình
44: x% +45:(x+10)%=105 ; ĐS: 9A: 80% và
55HS ; 9B : 90% và 50HS
Bài 23) PT: x+200 0 , 008 − 0 , 006
0 , 014
700 ; ĐS:
600kg/m3 và 800kg/m3
PHÂN MÔN HÌNH HỌC
Chú ý một số phương pháp chứng minh
thông dụng :
1) Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:
+ Tổng hai góc đối diện=2v
+Hai đỉnh cùng phía nhìn hai đỉnh còn lại dưới
một góc không đổi(hai góc bằng nhau)
+Chứng minh 1 góc ở 1 đỉnh bằng với góc kề
bù với góc ở đỉnh đối diện
+Hình thang cân nội tiếp được là hình thang
cân
-Chú ý vận dụng được các góc nội tiếp (góc
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây) cùng chắn 1
cung hoặc 2 cung bằng nhau) cũng như các hệ
quả góc nội tiếp, và tổng hai góc đối diện=2v
thẳng song song, vuông góc, 2 tam giác bằng
nhau, hai tam giác đồng dạng và vận dụng
được các kết luận vừa chứng minh đó cho các
câu sau của bài tập Ví dụ:
+2 đường thẳng song song => các góc đồng vị,
so le trong bằng nhau,
+Hai tam giác bằng nhau => các cạnh và góc
tương ứng bằng nhau
+Hai tam giác đồng dạng => Các góc tương
ứng bằng nhau, tỉ số các đường cao tương ứng
bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số 2 diện tích bằng
bình phương tỉ số đồng dạng (chú ý viết đúng
thứ tự các đỉnh của các góc bằng nhau)
2)Yếu tố cố định là yếu tố cho trước theo đề
và có số đo không đổi
Ví dụ: cho đoạn thẳng AB cố định tức là độ
dài AB không đổi, cho đường tròn đường kính
AB cố định tức là độ dài đường kính không
đổi, tâm cố định
3) Luôn luôn chú ý phải vận dụng kết quả vừa
chứng minh ở câu trên vào việc chứng minh
các câu còn lại của một bài tập hình
+Có thể dùng tính chất của đường phân giác trong tam giác
+Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
4) PPchứng minh 3 điểm thẳng hàng :
+Chứng minh 3 điểm đó tạo thành 1 góc bẹt +Sử dụng tiên đề ơclic
+Dùng tính chất đồng quy của các đường cao, trung tuyến, phân giác trong tam giác
+Chứng minh 3 điểm cùng thuộc 1 trung trực của một đoạn thẳng
+Ch/minh 2 góc bằng nhau ở vị trí như đốiđỉnh
5) PPchứng minh tiếp tuyến:
+Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại mút của bán kính
+Chứng minh 2 góc bằng nhau mà cúng ở vị trí như là một góc nội tiếp và một góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
+Vẽ 1 tiếp tuyến và chứng minh đường thẳng đó trùng với tiếp tuyến vừa vẽ
Chú ý vận dụng tính chất 2 tiêùp tuyến cắt nhau
6)Các bài toán quỹ tích thường gặp:
+Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng(Các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng)
+Quỹ tích là đường phân giác của mọt góc (Các điểm cách đều hai cạnh của một góc )
+Quỹ tích là đường tròn (Các điểm cách đều một điểm cố định cho trước hoặc các điểm nhìn một đoạn dưới một góc vuông)
+Quỹ tích là cung chưa góc dựng trên một đoạn thẳng (làm dây cung): Các điểm cùng nhìn một đoạn dưới mọt góc bằng nhau
Một số ghi nhớ khác cần thiết:
1) Ghi nhớ PP chứng minh 2 góc bằng nhau, 2đường
c) c/m tgJFI cân tại J => JF = JI và tg JFM cân tại J =>
JF = JM d) c/m BE là đường cao thứ 3 của tg MAB => BE đi qua
I c/m JẸ=1/2 IM và FJ=1/2IM
BÀI 4) a) c/m tg ABC= tgADE => Ê =1v
c/m tg ACH =tg AEH => DÂH =BÂH c) c/m tg ABK =tgADK=> góc AKD=1v
BÀI5) a) c/m OM và BC cùng vuông góc AC
b) Tứ giác MKCH nội tiếp => góc MKH=góc MCH mà góc MCA = góc MBA => góc AKP = góc MBA, mà góc MBA + góc MÂB =1v nên
góc AKP + KÂP =1v => góc APK =1v
* c/m tg ABC đồng dạng tg AHP
BÀI 6) a) c/m tgvABF ~ tgv BDF