Ứng dụng phương pháp ma trận mật độ trong làm lạnh nguyên tử bằng laser

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ XUÂN HẢI ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER... ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUY

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ XUÂN HẢI

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Vật lý và công nghệ cùng các thầy giáo, cô giáo thuộc chuyên ngành Quang học đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Đinh Phan Khôi đã hướng dẫn tôi thực

hiện luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Huy Công và PGS.TS Vũ Ngọc Sáu đã đọc và góp ý chỉnh sửa luận văn

Tôi xin cảm ơn các bạn học viên chuyên ngành Quang học khóa 21 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên Trường THPT Quỳ Hợp 3 cùng những người thân trong gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Vinh, tháng 5 năm 2015

Tác giả

Lê Xuân Hải

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn ……… 1

Mục lục ……… 2

MỞ ĐẦU ……… 3

NỘI DUNG

Chương 1 MA TRẬN MẬT ĐỘ 1.1 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser ……… 4

1.2 Ma trận mật độ ……… …… 7

1.2.1 Khái niệm ma trận mật độ ……….… 7

1.2.2 Phương trình ma trận mật độ ……… 8

1.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử ……… 10

1.3.1 Quang lực ……… 10

1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên ……… 12

1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động ……… 15

Chương 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER 2.1 Các kỹ thuật hãm chuyển động của nguyên tử ……… 21

2.1.1 Dùng chirp tần số laser ……… 24

2.1.2 Thay đ i tần số d ch chuyển nguyên tử b ng t trường ……… 25

2.1.3 Thay đ i tần số d ch chuyển nguyên tử b ng điện trường ……… 26

2.1.4 Thay đ i độ d ch Doppler b ng ánh sáng khuếch tán ……… 27

2.2 Làm lạnh Doppler ……… 29

2.2.1 Nguyên lý ……… 29

2.2.2 Giới hạn làm lạnh Doppler ……… 31

KẾT LUẬN ……… 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 36

Để mô tả hệ ở trạng thái trộn lẫn, chúng ta sử dụng khái niệm ma trận mật độ thay cho hàm sóng

Trong khuôn kh luận văn cao học “ Ứng dụng phương pháp ma trận mật

độ trong làm lạnh nguyên tử bằng laser”, trước tiên, chúng tôi trình bày t ng quan

về tương tác giữa hệ nguyên tử và trường laser, phương pháp dùng ma trận mật độ

để mô tả hệ nguyên tử trong trạng thái trộn lẫn Tiếp theo, chúng tôi khảo sát ứng dụng cụ thể trong quang học lượng tử đó là sự làm lạnh nguyên tử b ng laser

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm hiểu phương pháp ma trận mật

độ, sự làm lạnh nguyên tử b ng laser

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn này là tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser, phương pháp ma trận mật độ, sự làm lạnh nguyên tử b ng laser

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn áp dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết bao gồm: Phương pháp giải tích và Cơ học ma trận

NỘI DUNG Chương 1

MA TRẬN MẬT ĐỘ 1.1 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser

Xét hệ nguyên tử có hai trạng thái 1 và 2 ứng với các năng lượng riêng 1 và 2

 được đặt trong trường laser có tần số    2 1 như trên hình 1.1[3]:

Hình 1.1 Sơ đồ nguyên tử hai mức tương tác với trường laser

Vì chúng ta giả thiết r ng nguyên tử chỉ có hai mức năng lượng, theo nguyên lý chồng chất trạng thái, hàm sóng của hệ lượng tử hai mức tương tác với trường có thể được viết dưới dạng :

( )t c t1( ) 1 c t2( ) 2 , (1.1)

ở đây các hệ số c1(t), c2(t) phụ thuộc vào thời gian Phương trình Schrodinger mô tả

sự tiến triển theo thời gian của hệ là:





 , (1.2) với

H = H0 + H I (1.3)

Trong biểu thức (1.3), H0 và H I tương ứng là thành phần Hamilton của nguyên tử tự

do và Hamilton tương tác giữa nguyên tử và trường

Trong gần đúng lưỡng cực điện, các thành phần Hamilton này có dạng :

H0  1 1 1 2 2 2 , (1.4)

H I  d E.  (d12 1 2 d21 2 1 )E, (1.5) với d12 d21  1d 2 là phần tử ma trận của mômen lưỡng cực điện d ch chuyển giữa hai trạng thái 1 và 2 ; E là độ lớn của vectơ cường độ điện trường của sóng

ánh sáng được lấy trung bình trong phạm vi kích thước nguyên tử

Giả thiết cường độ trường ánh sáng được biểu diễn dưới dạng phức:

với E0 là biên độ dao động của vectơ cường độ điện trường Lúc đó, các phương trình mô

tả sự thay đ i của các hệ số c1 và c2 được viết thành:

c1  i1 1c  i c2 cost, (1.7)

c2  i2 2c  i c1 cost (1.8) trong đó:

21 0

d E

  , (1.9)

được gọi là tần số Rabi cộng hưởng

Vì trường kích thích có tần số cao nên các hệ số c1(t) và c2(t) là các đại lượng biến thiên nhanh theo thời gian Do đó việc giải bài toán d ng đối với chúng sẽ không áp dụng được Để sử dụng được nghiệm d ng, chúng ta đặt :

Thay vào các phương trình (1.7) và (1.8) ta được:

21 2 1

   , các số hạng chứa i( 21 )t

e   sẽ dao động rất nhanh (cỡ 1015 Hz) so với các số hạng chứa i( 21 )t

e   Lúc đó, các số hạng biến thiên nhanh trong (1.12) và

(1.13) được loại bỏ (gọi là phép gần đúng sóng quay) Kết quả ta được:

2 2



    , (1.18)

được gọi là tần số Rabi suy rộng

Các hệ số tích phân a1, a2, b1 và b2 được xác đ nh t điều kiện ban đầu:

ứng với hệ số khai triển c i, ta có [3]:

n

i i i

c



 (1.28)

Phần tử của ma trận mật độ được đ nh nghĩa là:

ij    i j     i j c c i j, (1.29) hay dưới dạng toán tử:

   (1.30)

T điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta rút ra điều kiện chuẩn hóa cho ma trận mật độ:

Tr      (1.31) Các phần tử n m trên đường chéo chính ii  c i 2 đặc trưng cho độ cư trú của nguyên tử ở trạng thái i ; các phần tử n m ngoài đường chéo ij c c i j đặc trưng

cho độ kết hợp giữa trạng thái i và j

Với đ nh nghĩa ma trận mật độ, giá tr kỳ vọng của một toán tử A được viết:

Nhân trái hai vế của phương trình trên với  đồng thời sử dụng các biểu thức đ nh

nghĩa (1.29) và (1.30) chúng ta biến đ i đưa về được [3]:

Phương trình (1.34) chưa bao hàm sự phân rã giữa các trạng thái do phát xạ tự phát Khi cần mô tả hệ kèm theo ảnh hưởng phân rã tự phát ta đưa vào khái niệm ma trận tích thoát có các phần tử được xác đ nh:

 nm n  m  n nm, (1.35) với n và δ mn tương ứng biểu diễn tốc độ phân rã ở trạng thái n và hàm delta

, (1.36) trong đó:

d dt

d dt

1.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử

1.3.1 Quang lực

Trong sự tương tác giữa nguyên tử với trường laser, do m i photon có động lượng

và spin xác đ nh nên sự hấp thụ, phát xạ sẽ dẫn đến động lượng và mômen góc của nguyên tử b thay đ i Trong trường hợp tán xạ/khúc xạ cũng hoàn toàn tương tự Dưới tác dụng của quá trình tán xạ/khúc xạ, photon tới (tác dụng lên hệ nguyên tử/vi hạt) khác photon tán xạ/khúc xạ nên phần chênh lệch động lượng đó được truyền cho nguyên tử/vi hạt Xét dưới góc độ động lực học, điều này dẫn đến

nguyên tử sẽ ch u tác dụng của một quang lực Về mặt hình thức, chúng ta có thể biểu diễn quang lực F tác dụng lên nguyên tử theo giá tr kỳ vọng của toán tử lực Fˆ

theo cơ học lượng tử [3]:

Lúc đó, sử dụng gần đúng lưỡng cực điện ta có thể xác đ nh quang lực tác dụng lên nguyên tử là [3]:

Trong khi dẫn ra biểu thức (1.49), chúng ta đã sử dụng gần đúng sóng quay để loại

bỏ các số hạng dao động với tần số laser Chúng ta cũng thấy r ng, quang lực phụ thuộc vào các trạng thái riêng của nguyên tử (phụ thuộc vào độ kết hợp quang học 21

 giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích) Để thấy rõ điều này, chúng ta phân tích  / z thành các phần thực và phần ảo [3]:

với i là số thuần ảo, q r và q i tương ứng là phần thực và phần ảo của đạo hàm logarit

cơ số e của Ω Khi trường có dạng E z( )E z0( ) expi z( )cc thì phần thực của đạo hàm logarit tương ứng với gradient của biên độ E z0 ( ) và phần ảo tương ứng với gradient của pha  ( )z Lúc đó, biểu thức của quang lực trở thành [3]:

F  q     i q     (1.51)

Phương trình (1.51) biểu diễn quang lực tác dụng lên nguyên tử trong trường hợp

t ng quát nên có thể được sử dụng để tìm quang lực cho bất kỳ trường hợp riêng nào miễn là tìm được nghiệm của phần tử ma trận mật độ 21

1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên

Để dẫn ra biểu thức quang lực tác dụng lên các nguyên tử đứng yên trong trường

laser, trước hết chúng ta xét trường laser có dạng sóng chạy với cường độ điện

trường được xác đ nh bởi [3]:

0   

( ) 2

i kz t

E

E z  e  cc (1.52)

Trong sự tính toán tần số Rabi, phép gần đúng sóng quay dẫn đến thành phần tần số

dương của E(z) b triệt tiêu Do đó gradient của tần số Rabi trở nên t lệ với

gradient của thành phần tần số âm còn lại, vì vậy q r 0 và q i k Đối với một sóng

chạy như vậy thì biên độ là một h ng số nhưng pha luôn thay đ i, do đó dẫn tới q i

khác không

Trong trường hợp nguyên tử n m trong trường sóng đứng thì ta có thể xem đây là t

hợp của hai sóng chạy (1.52) lan truyền ngược chiều nhau Lúc đó, điện trường t ng hợp b ng hai lần và được cho bởi [3]:

   0

E z E kz e cc (1.53) Trong phép gần đúng sóng quay, tính toán chi tiết tần số Rabi Ω rồi thay vào biểu thức (1.50) ta được q r  ktg( z)k và q i  0 Trong trường hợp này cũng chỉ có thành phần tần số âm được giữ lại sau khi sử dụng phép gần đúng sóng quay, tuy nhiên gradient lại không phụ thuộc vào thành phần này Vì vậy, một sóng đứng thì có gradient biên độ nhưng không có gradient pha

Sử dụng tần số Rabi để giải hệ các phương trình ma trận mật độ (1.39)-(1.42) ở điều kiện d ng, ta thu được nghiệm 21 rồi thay vào (1.51) ta thu được biểu thức quang lực [3]:

T biểu thức (1.54) ta thấy, số hạng thứ nhất t lệ với độ lệch tần số δ, số hạng thứ

hai t lệ với tốc độ phân rã 

Ta xét ý nghĩa của số hạng thứ hai trong (1.54) b ng cách giả thiết trường laser cộng hưởng với d ch chuyển nguyên tử Lúc đó, độ lệch tần số b ng không, số hạng thứ nhất sẽ triệt tiêu nên biểu thức quang lực trở thành:

0

0

s k F

tử sau nhiều chu trình hấp thụ/phát xạ tự phát được gọi là quang lực tán xạ cộng hưởng (ký hiệu bởi F tp) và được viết thành:

22

tp p

F  k  (1.56)

Sử dụng biểu thức về tốc độ tán xạ p, ta có:

0

2 0

/ 2

tp

ks F

Để xét ý nghĩa của số hạng thứ nhất trong (1.54) ta để ý r ng, số hạng này được sinh ra do sự xê d ch mức năng lượng của các trạng thái cơ bản và kích thích

Độ d ch mức năng lượng phụ thuộc vào cường độ điện trường của chùm laser Với

sóng đứng được tạo bởi hai chùm laser lan truyền ngược chiều sẽ tạo thành gradient biên độ Độ d ch năng lượng của nguyên tử biến thiên theo không gian sinh ra quang lực khác với lực ở (1.56) nên được gọi là quang lực gradient hay quang lực lưỡng cực (kí hiệu là F lc) Lực này t lệ với gradient của độ d ch năng lượng, trong giới hạn cường độ sáng yếu thì quang lực lưỡng cực tác dụng lên nguyên tử được cho bởi:

 1

2

lc

E F

  (1.58)

Đối với sóng đứng có sự phân bố gradient cường độ thì    z q r trong giới hạn

bão hòa thấp (s << 1) Lúc đó, lực gradient tính theo (1.58) tương ứng với thành

phần thứ nhất trong biểu thức (1.54) Vì vậy, biểu thức quang lực trong số hạng thứ nhất của (1.54) trở thành:

 

0

2 2

vào biểu thức (1.59) ta thấy quang lực F lc phụ thuộc vào độ lệch tần số δ, tức là phụ thuộc vào tần số của chùm laser Khi δ < 0, quang lực hướng theo chiều tới v trí có cường độ trường cực đại, còn khi δ > 0 quang lực hướng theo chiều tới v trí có

cường độ trường cực tiểu Đặc biệt, khi tần số trường laser cộng hưởng với d ch chuyển nguyên tử (δ = 0) thì quang lực lưỡng cực b ng không

Do quang lực lưỡng cực được xác đ nh theo biểu thức (1.59) có tính chất của lực

bảo toàn nên ta có thể biểu diễn quang lực này dưới dạng gradient của thế năng U lc

được cho bởi:

2 2

0

2

1 log

  << s thì độ sâu của thế năng 0 U lc

tỉ lệ với δ chứa trong th a số thứ nhất Tuy nhiên, khi  2

   thì thế U lc sẽ giảm tới giá tr độ d ch mức năng lượng E1 trong (1.61)

Về mặt hình thức, biểu thức quang lực (1.60) có dạng tương tự lực điện tác dụng lên lưỡng cực điện đặt trong điện trường không đồng nhất, vì vậy F lc được gọi là quang lực lưỡng cực hoặc quang lực gradient

1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động

Làm lạnh nguyên tử thực chất là làm giảm chuyển động nhiệt b ng laser nên đòi hỏi quang lực phải phụ thuộc vào vận tốc của các nguyên tử Thực tế, chúng ta có thể xem vận tốc của nguyên tử là một nhiễu loạn nhỏ nên đạo hàm của tần số Rabi có thể được viết:

Tương tự, lấy đạo hàm phương trình

1 1

s    và Ω là số phức phụ thuộc vào z nên s0/  z 2q s r 0 Trong (1.63a,b),

vì w và 21 được xét ở trạng thái d ng nên w/ t và 21/ t triệt tiêu Tuy nhiên, việc tìm nghiệm giải tích của các phương trình (1.63a,b) vẫn rất khó trong trường hợp t ng quát Vì vậy, chúng ta chỉ giới hạn xét hai trường hợp đặc biệt là sóng đứng và sóng chạy dưới đây

vào vận tốc của nguyên tử (ký hiệu là F0), số hạng thứ hai phụ thuộc tuyến tính vào

vận tốc nên đóng vai trò lực hãm ứng với hệ số tắt dần β (hoặc có thể gọi là hệ số hãm)[3]

Khi đó, ta có thể viết lại (1.64) thành:

F F0v, (1.65)

với

0

2 1

k s F

2 2 0

s

 



  (1.67)

T biểu thức (1.65) và (1.67) ta thấy, để quang lực đóng vai trò là lực hãm (ngược

chiều với vận tốc) thì hệ số β phải dương Điều này được thỏa mãn khi độ lệch tần

số δ phải âm, nghĩa là tần số laser phải bé hơn tần số cộng hưởng của nguyên tử

đứng yên Dưới tác dụng của quang lực hãm, hàm phân bố vận tốc Boltzmann sẽ b nén hẹp lại [3]

Maxwell-Hình 1.2 Sự thay đổi của hệ số tắt dần β theo δ tại một số giá trị của tham số s 0

Với tr số của độ lệch tần số nhỏ (│δ│ << ) và cường độ yếu (s0 << 1) thì hệ số

hãm β tỉ lệ thuận với s0 và δ Tuy nhiên, đối với độ lệch tần số lớn hơn nhiều so với

 và cường độ sáng lớn hơn nhiều so với I bh thì hệ số hãm β đạt tới giá tr cực đại

nào đó rồi giảm dần do quy luật tăng δ2 trong mẫu số của (1.67) Hình 1.2 minh họa

cho sự thay đ i của hệ số tắt dần β theo độ lệch tần số tại một số giá tr của tham số

bão hòa [3]

Giá tr cực đại của β đạt được khi δ = - /2 và s0 = 2 là:

2 max k 4

  (1.68)

Ta đ nh nghĩa tốc độ hãm  b ng hệ số hãm chia cho khối lượng nguyên tử  =β/m

Lúc đó, t biểu thức (1.68) suy ra giá tr cực đại của tốc độ hãm:

2 2 ax

trong đó ω r = 2ħ2k2m là tần số giật lùi (sau một lần phát xạ/hấp thụ một photon)

Đối với kim loại kiềm, tốc độ hãm max cỡ 104 − 105s-1 Kết quả này cho thấy, phân

bố vận tốc của nguyên tử kim loại kiềm có thể nén được trong phạm vi cỡ 10-100μs Hơn nữa, do quang lực được xác đ nh theo phương trình (1.65) luôn có

thành phần F0 không phụ thuộc vận tốc nên không thể hãm chuyển động của các

nguyên tử tới một vận tốc không đổi

1.3.3.2 Trường hợp sóng đứng

B ng cách làm tương tự như trường hợp sóng chạy với chú ý trường hợp sóng đứng

thì qi = 0 nên ta tìm được phân bố lực hãm theo vận tốc do đó có thể tìm được

qr = -ktg(kz) (1.71) Trong giới hạn s << 1, chúng ta có thể đưa (1.70) về dạng:

2 0

Số hạng thứ nhất trong (1.72) biểu th thành phần quang lực không phụ thuộc vào

vận tốc và có dạng hình sin trong không gian với chu kì  2 nên giá tr trung bình

của nó theo không gian sẽ b triệt tiêu