Chỉ số chính quy castelnuovo mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều ..... Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có thể chặn trên cho chỉ số chính qui Castelnuovo-

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ

MÔĐUN KHUYẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Vành và môđun phân bậc 5

1.2 Độ dài môđun 7

1.3 Chiều Krull 9

1.4 Dãy chính qui 10

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 11

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 13

CHƯƠNG 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 15

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford 15

2.2 So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều 18

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

của M được đưa ra bởi Grothendieck đóng một vai trò quan trọng trong Đại số

giao hoán và Hình học Đại số (Xem, chẳng hạn [3]) Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là

có thể chặn trên cho chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford  d  

 

d

người ta cũng quan tâm đến môđun khuyết

qui Castelnuovo-Mumford reg(M) điều khiển thành phần phân bậc dương của tất

cả các môđun đối đồng điều địa phương i  

âm Chú ý rằng trong các bài báo của M Brodmann và một số nhà Toán học khác

đã xét đến vấn đề khi nào  i   

m j

thực tế, một kết quả của [2] sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các kết quả của [8] Trong [8] đưa ra hai loại chăn trên cho  i  

phần 2 ([8]) chứng minh rằng có thể dùng bậc đồng điều để chặn cho

 

 i 

Bậc đồng điều đã được đưa ra bởi Vasconcelos [11] và người ta có thể dùng

nó để chặn reg M (xem [4], Định lý 2.4) Đối với trường hợp vành có chặn đơn  

giản: reg S hdeg S trong đó S là vành thương của R Định lý 2.2.3 ([8]) nói

rằng reg K M i  d h deg S , với mọi i Kết quả này bổ sung mối quan hệ giữa

chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford và bậc đồng điều

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại chi tiết các vấn đề trong

bài báo [8] của Lê Tuấn Hoa và E Hyry

Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn sẽ được chia thành 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số

khái niệm cơ sở cuả Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn như: Vành và

môđun phân bậc, chiều, độ sâu của môđun, hàm và đa thức Hilbert,

Chương 2 Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Mumford

2.2 So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS Đào Thị Thanh Hà - Trường Đại học Vinh Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự hướng dẫn của cô Em xin trân trọng cảm ơn tới ban giám hiệu cùng quí Thầy Cô khoa Toán của Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này

Do đây là lần đầu tiên thực hiện công việc nghiên cứu, nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện

Đồng Tháp, ngày 09 tháng 09 năm 2014

Tác giả Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

R là vành phân bậc dương hay -phân bậc

(ii) Môđun M trên vành -phân bậc được gọi là môđun -phân bậc nếu

i

i



  xét như nhóm cộng, và R M i j M i j , với mọi , i j

(iii) Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R , thì mọi phân tử x của R i

(hoặc M ) là phần tử thuần nhất bậc i Kí hiệu i deg x = i Ta qui ước bậc của  

phần tử 0 là một số nguyên tuỳ ý Như vậy, nếu aR, xM là các phần tử thuần nhất thì

Từ định nghĩa ta suy ra R là một vành con của 0 R và mỗi thành phần phân bậc M i

x x x   x Với x kM k, i k j i j; , 

k của x Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng các thành phần phân

bậc

Cho S là vành con của vành R(không nhất thiết phân bậc) Khi đó người ta gọi R

là S -đại số Nếu a1, ,a nR , kí hiệu S a 1, ,a là tập hợp các tổ hợp tuyến tính n

là các biến độc lập Nếu tồn tại a1, ,a nR để RS a 1, ,a n thì R được gọi là S

-đại số hữu hạn sinh

1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương

0

i



  được gọi là vành phân bậc

chuẩn trên R nếu 0 RR R0 1

1.1.3 Ví dụ Xét vành đa thức n biến Rk x 1, ,x n Gọi R t là tập hợp các đa thức thuần nhất bậc t, khi đó

0 t

t



  và tích của hai đa thức thuần nhất bậc t và s

là đa thức thuần nhất bậc t + s Do đó k x 1, ,x n là vành phân bậc Hơn nữa

 1, , n

cả các đa thức thuần nhất bậc nhất

môđun con phân bậc nếu nó thoã mãn một trong ba điều kiện tương đương sau

(i) N sinh bởi các phần tử thuần nhất

(ii) Với mỗi xN, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N

(iii) N i N M i



  

nếu N M là môđun con thuần nhất, thì môđun thương M

1.1.7 Ví dụ Cho M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R Cho p Kí hiệu

 

M p là môđun M nhưng với phân bậc M p i M p i

Khi đó M p cũng là môđun phân bậc trên R Ta nói   M p là môđun dịch  

chuyển của M với p là số dịch chuyển

1.1.8 Định nghĩa Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R Đồng

cấu môđun :f M N được gọi là đồng cấu thuần nhất (hay phân bậc) nếu với mọi i ta có f M i  N i

1.1.9 Mệnh đề (i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Kerf và ảnh

Imf của nó là các môđun con thuần nhất

(ii) Nếu có dãy khớp

1.1.10 Định nghĩa Một tập sinh của R-môđun phân bậc bao gồm các phần tử

thuần nhất được gọi là tập sinh thuần nhất

Đối với iđêan thuần nhất cũng như môđun phân bậc, số phần tử sinh của mọi tập

sinh thuần nhất tối tiểu nói chung là như nhau Cụ thể ta có:

1.2.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun

đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun không và chính nó

1.2.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm một

1.2.3 Ví dụ (i) Một không gian véc tơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều

dài hữu hạn Một không gian véc tơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó

có chiều d

(ii) Vành số nguyên là một -môđun không có dãy hợp thành

1.2.4 Định lý (Jordan-Holder) Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài

n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành

Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau

1.2.5 Định nghĩa Độ dài của các dãy hợp thành tuỳ ý của R-môđun M được gọi là

không có dãy hợp thành thì ta qui ước độ dài l R M   và gọi nó là môđun có độ

6 20

là một dãy khớp ngắn của các R-môđun và R-đồng cấu Khi đó

(i) R-môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu cả L và N đều có độ dài hữu

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

được gọi là độ cao của p và kí hiệu là ht p  Nghĩa là

  sup

ht p  độ dài các xích nguyên tố với p0  p 

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của I được định nghĩa

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều

Krull của vành R, kí hiệu là dim k R hoặc đơn giản là dimR

Cho M là một R-môđun, kí hiệu

dimM

1.3.2 Ví dụ a) Nếu K là một trường thì chiều Krull của K là 0 vì K chỉ có hai

iđêan là (0) và K, và (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của K Vậy chiều Krull của K

là dimK K 0

là p với p là số nguyên tố Hơn nữa mọi iđêan p với p nguyên tố là iđêan cực

đại Từ đó xích nguyên tố của có độ dài lớn nhất có dạng

1.4.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun

(i) Phần tử xR x, 0 được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử

, 0

mM m sao cho xm0

(ii) Phần tử xR được gọi là M-chính qui nếu M xM và x không là ước của

0 đối với M

(iii) Một dãy x1, ,x t các phần tử của R được gọi là dãy chính qui của M hay

0, , t

M

x x M  và x không là ước của 0 của môđun i

, 1, 2, , , i

thì dãy x1, ,x được gọi là dãy M-chính qui cực đại nếu không tồn tại y t I để

một vành địa phương và I R là một iđêan Khi đó độ dài của hai dãy M-chính qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Vì vậy ta có định nghĩa sau

chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth m M hay  ,  depth M và được gọi là độ  

sâu của môđun M

1.4.4 Chú ý Cho M là R-môđun, ta luôn có

 

phần tử x m được gọi là m-lọc chính qui nếu

0 :M x mM xm0

là môđun có độ dài hữu hạn, kí hiệu l0 :M x 

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết

1.5.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là

1.5.2 Mệnh đề

(i) Nếu N là một môđun con của M thì

1.5.3 Định nghĩa Môđun con N cuả M được gọi là môđun con nguyên sơ nếu

N  Khi đó ta nói N là môđun con p -nguyên sơ

1.5.4 Định nghĩa Cho N là môđun con của M N được gọi là có phân tích nguyên

sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng

N N  N (*) Trong đó N là môđun con i p -nguyên sơ, i i1,2, ,r Phân tích nguyên sơ  *được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu p từng đôi một phân biệt và không i

thể bỏ đi môđun N nào trong phân tích trên i

1.5.5 Định lý Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N có phân tích nguyên sơ, và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn

1.5.6 Định Lý Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R Khi đó

nếu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu gọn

1

r i i

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sử R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun

  là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái

1.6.3 Định nghĩa Xét giải nội xạ của môđun M

và gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I

là hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là i 

Chương 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo– Mumford

Trong suốt luận văn ta cho Rk x 1, ,x n là vành đa thức phân bậc chuẩn, trong

đó k là trường vô hạn, và cho mx1, ,x n Với R-môđun phân bậc tuỳ ý N, đặt

(chúng ta qui ước beg N   và end N  nếu N = 0.)

2.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Số

m

được gọi là chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford của M

Chú ý rằng nếu I R là iđêan thuần nhất khác 0, thì

là dãy khớp ngắn các R-môđun phân bậc Khi đó

(i) reg B maxreg A reg C ,   ,

(ii) reg A maxreg B reg C ,  1 

Chú ý rằng một phần tử thuần nhất x m được gọi là M–lọc chính qui nếu

xp  p As Ms \ m Điều này tương đương với điều kiện môđun 0 :M x có độ dài hữu hạn Từ giả thiết

trường k là vô hạn, luôn tồn tại phần tử lọc chính qui đối với hữu hạn các môđun hữu hạn sinh

Giả sử x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính Khi đó

Từ đây ta có bổ đề sau (xem  6 , Mệnh đề 20.20 và  8 , Bổ đề 2)

2.1.4 Bổ đề Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính

trong đó d là số chiều của môđun M

Hàm Hilbert h M n và đa thức Hilbert p M n có quan hệ bởi công thức

Được gọi là chỉ số chính qui của M

2.1.6 Bổ đề Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính Khi đó

reg M max reg M xM/ ,end H m M ,

(ii) reg M maxreg M xM /   ,ri M ,

(iii) Nếu M là một môđun Cohen-Macaulay có chiều d thì reg M ri M d

Chứng minh

(i) Dựa theo Bổ đề 2.1.4 và (1)

(ii) Từ công thức Grothendieck-Serre

Giả sử jreg M xM /  Từ reg M1  j, cho bởi (2)

cách đệ quy theo chiều như sau:

1 0

i d d

Để chứng minh Định lí 2.2.3 ta cần một vài kết quả bổ trợ

Thì có dãy khớp ngắn các môđun phân bậc

Để ngắn gọn hơn, trong chứng minh chúng ta thường dùng kí hiệu sau

Trong phần tiếp theo luôn giả thiết x là phần tử tuyến tính tồng quát, ở đây ta hiểu x

là phần tử lọc chính qui đối với M, tất cả các môđun i 

K M và tất cả các môđun khuyết được nhắc lại trong [11], Định nghĩa 2.12 Đây là tập hữu hạn các môđun

mà các phần tử như thế luôn tồn tại

Với 2  i d 1 Bằng giả thiết quy nạp chúng ta có

1

1

i

j j

d

j d

1 1



Bổ đề 2.2.6 được chứng minh hoàn chỉnh

rằng d 1và i1 Đặt 0 

(i) Với 1 i d Từ depth M 0, công thức của hdeg M trong Định nghĩa 2.2.1

có thể viết lại như sau

1 1

1

1

d

d j j

d

j j

i

j j

i

j j

d

j d

j d

j d

j d

Từ hdeg M hdeg M ,deg M deg M và beg M beg M ,bất đẳng thức trên cho ta

 i  deg  deg   

Như vậy (i) đã chứng minh xong

(ii) Chúng ta thực hiện qui nạp theo d

Nếu d = 1, thì M là một môđun Cohen-Macaulay Từ (4) ta có

Ta phân biệt hai trường hợp:

- Giả thiết depth M 0 Từ  11 và Định lý 2.13 ta có

Tổng kết ta đạt được

 d 1 deg  deg    

- Bây giờ ta xét trường hợp depth M 0

Từ hdeg M hdeg M ,deg M deg M và beg M beg M ,

Định lý 2.2.3 được chứng minh xong

2.2.7 Chú ý Từ ý tưởng bậc đồng điều Vasconcelos cũng đưa ra lớp các hàm,

được gọi là bậc mở rộng Deg M (Xem    11 và  12 , trang 263) Lớp này chứa

Luận văn đã trình bày lại một số kết quả sau

1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui

[1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính – Cơ sở Groebner, NXB ĐHQG Hà

Nội

Tiếng Anh

[2] M Brodmann, C Matteotti and N D Minh (2003), Bounds for

cohomological deficiency functions of projective schemes over Artinian rings

Vietnam J Math 31, no 1, 71–113

[3] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings Cambridge Studies

in Advanced Mathematics, 39 Cambridge University Press, Cambridge

[4] L R Doering, T Gunston and W V Vasconcelos (1998), Cohomological

degrees and Hilbert functions of graded modules Amer J Math 120, no 3, 493–

504

[5] D Eisenbud (1995), Commutative algebra With a view toward algebraic

geometry Graduate Texts in Mathematics, 150 Springer-Verlag, New York

[6] D Eisenbud and S Goto (1984), Linear free resolutions and minimal

multiplicity J Algebra 88, no 1, 89–133

[7] D T Ha and L T Hoa (2008), Castelnuovo - Mumford regularity of some

modules, Communication in Algebra, 36, pp, 992 - 1004

[8] L T Hoa and E Hyry (2006), Castelnuovo-Mumford regularity of canonical

and deficiency modules, J Algebra, 305, no 2, 877–900

[9] P Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra and

Buchsbaum-Ringe, Lecture Notes in Mathematics, 907, Springer-Verlag,

Berlin-New York

[10] P Schenzel (2004), On birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay

canonical modules, J Algebra 275, no 2, 751-770