Tìm hiểu về một số tính chất của tập lồi và hàm lồi trong không gian rn

Sinh viên các trường đại học khối KHTN, đặc biệt là sinh viên ngành toán đều được trang bị về tôpô-nền tảng của lí thuyết giải tích hiện đại trong đó có giải tích lồi.. Khóa luận này là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC

NGUYỄN THỊ BÍCH THẢO

TÌM HIỂU VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN THỊ TOÀN

NGHỆ AN 05/2014

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu……….1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ………3

1.1 Đại số tuyến tính ……….….……… 3

1.2 Các tính chất tôpô ……… ………4

1.3 Đạo hàm……… ………6

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN n … ……… ……… 8

2.1 Tập lồi……… ……….……… 8

2.2 Bao lồi và bao afin ……….………12

Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN n ……….………17

3.1 Hàm lồi………17

3.2 hàm lồi giá trị thực mở rộng………18

3.3 Tính nửa liên tục dưới và tính đóng………19

3.4 Đặc trưng của hàm lồi khả vi……….23

Kết luận ……….26

Tài liệu tham khảo…… ………27

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lí thuyết các bài toán tối ưu hóa, bài toán cực trị và các ngành toán có sử dụng công cụ giải tích Sinh viên các trường đại học (khối KHTN), đặc biệt là sinh viên ngành toán đều được trang bị về tôpô-nền tảng của lí thuyết giải tích hiện đại trong đó có giải tích lồi

Tuy nhiên, do chương trình đào tạo không cho phép nên sinh viên được học

về lí thuyết giải tích lồi còn rất ít Khóa luận này là một phần nguyện vọng của tác giả muốn tìm hiểu kĩ hơn về một số tính chất của tập lồi, hàm lồi trên cơ sở nền tảng kiến thức đã được học

Với những lí do như đã nêu ở trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Tìm

hiểu một số tính chất của tập lồi và hàm lồi trong không gian n ” cho khóa luận

này

Các khái niệm và tính chất của tập lồi và hàm lồi trong không gian n đã được nghiên cứu bởi các tác giả D P Bertsekas, R R Phelps, R T Rockafellar, Hoàng Tụy… Mục đích của khóa luận này là cung cấp đầy đủ hơn và chứng minh chi tiết hơn một số tính chất của tập lồi và hàm lồi trong không gian n.

Với mục đích trên, khóa luận được viết thành 3 chương:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Trình bày một số khái niệm và tính chất của tập lồi

Chương 3 Trình bày một số khái niệm và tính chất của hàm lồi

Phần lớn các kết quả thu được của khóa luận được tác giả D P Bertsekas đưa

ra trong tài liệu tham khảo [3] Các kết quả đó chưa chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt đã được tác giả chứng minh chi tiết dưới dạng Nhận xét, Ví dụ, Chú ý hoặc Mệnh đề Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì kiến thức của bản thân và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các quý Thầy giáo, Cô giáo và những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với

Cô giáo Nguyễn Thị Toàn là người đã hướng dẫn nhiệt tình cho tác giả trong quá trình nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong

tổ giải tích và trong khoa Sư phạm Toán học đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả học tập và hoàn thành khóa luận này

Vinh, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của đại số tuyến tính và giải tích thực được dùng trong các chương sau Vì các khái niệm, tính

chất này đã quen thuộc nên chúng tôi chỉ trình bày mà không chứng minh

(iv) Tập afin X trong n

là không gian con tịnh tiến, tức là tập X có cấu trúc:

 : ,

X   x S xx xS trong đó x là một vectơ trong n

và Slà không gian con của n Khi đó, S được gọi là không gian con song song của X.

1.1.3 Định nghĩa Cho A là ma trận đối xứng cỡ n n :

Ma trận A được gọi là xác định dương nếu x Ax T    0 x n, x 0

Ma trận A được gọi là nửa xác định dương nếu x Ax T    0 x n, x 0.

1.2 TÍNH CHẤT TÔPÔ

1.2.1 Định nghĩa Cho X là tập con của n.

(i) Điểm x là một điểm đóng của tập X nếu tồn tại dãy  x X hội tụ tới x.

(ii) Bao đóng của X là tập tất cả điểm đóng của X,ký hiệu: cl X

(iii) Tập X được gọi là đóng nếu X  cl X

(iv) Tập X được gọi là mở nếu phần bù x x: X là đóng

(v) Tập X được gọi là bị chặn nếu  c sao cho x c  x X.

(vi) Tập X được gọi là compact nếu X đóng và bị chặn

B x xx   là đóng và được gọi là hình cầu đóng tâm x.

1.2.3 Định nghĩa Cho X là một tập con của n.

(i) Lân cận của điểm x là tập mở U chứa x.

(ii) Điểm x được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại lân cận U của x nằm trong

(e) Tập A là tập con mở của n

nếu và chỉ nếu tất cả các phần tử của tập A là điểm trong

(f) Mỗi không gian con của n

1.2.5 Định nghĩa Cho X là một tập con của n

(a) Hàm f X:  n được gọi là liên tục tại điểm xX nếu lim    .

mỗi dãy  x k X mà hội tụ tới x

1.2.6 Định nghĩa Cho X là tập con của n

Nếu f X:  m là liên tục tại mỗi điểm nằm trong tập con của miền xác định X thì

f liên tục trên tập con đó

1.2.8 Mệnh đề Cho    x k , y k là các dãy vô hướng

(a) Ta có inf k: 0 lim inf k lim sup k sup k: 0 

Hơn nữa, nếu  x k hội tụ, giới hạn của  x k bằng giá trị vô hướng chung:

lim inf k lim sup k lim k.

(c) Nếu x k  y k k khi đó:

lim inf xk lim inf yk

k k ; lim sup k lim sup k.

(d) Ta có:

 

lim inf lim inf lim inf ,

lim sup lim sup lim sup



 (x i là thành phần ở vị trí thứ i của x) Giả sử rằng tất cả đạo hàm riêng tồn tại, gradient của f tại x được xác định bởi

f x

f x x

 (nếu giới hạn này tồn tại)

Nếu đạo hàm theo hướng của f tại một điểm x là tồn tại với mọi hướng y và

T

f x y là hàm tuyến tính theo y thì f là khả vi tại x. Loại khả vi như thế này được gọi là khả vi gradient

Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại  x Rn.

Nếu f là khả vi trên tập mở U và f x  là liên tục tại  x U thì f được gọi là khả

Ma trận Gradient của f , ký hiệu f x , là ma trận cỡ m n với cột thứ i là gradient

 

i

f x

 của f i Như vậy, f x    f1 x f m x .

Chuyển vị của f được gọi là Jacobian của f và là ma trận cột phần tử thứ ij là

1.3.1 Bổ đề Hàm f khả vi tại x khi và chỉ khi gradient f x  là tồn tại và thỏa mãn: T  T , 

f x

2.1.1 Định nghĩa Cho Clà tập con của n

được gọi là lồi nếu

b, Nếu C1 và C2 là các tập lồi của n thì tổng C1C2 cũng là một tập lồi của n.c, Nếu

C là một tập lồi của n và  R thì C cũng là một tập lồi của n.

Hơn nữa, nếu C là tập lồi và  1, 2 , 1, 2  0 thì   1  2C  1C  2C

d, Nếu C là một tập lồi thì bao đóng, phần trong của C cũng là một tập lồi của n.

e, Ảnh và nghịch ảnh của tập lồi dưới hàm afin là một tập lồi của n.

Suy ra x 1 y cl C Suy ra cl C  là một tập lồi

Chứng minh int C là tập lồi tức là chứng minh x y,  int C ,   0,1 mà  r 0sao cho B x r , và B y r ,  đều là con của C thì Bx 1 y r, C.

Thật vậy,    Bx 1 y r,  thì    x 1 y z x z   1 (yx) với

z r Do B x r , và B y r ,  đều là con của Cnên

             

Suy ra Bx 1 y r, C hay x 1 y int C .

Suy ra int C  là tập lồi của n.

e, Giả sử Clà tập lồi trong không gian ,n f x là hàm afin cho bởi:

Do Clồi nên x1  1 x2 C. Suy ra Ax1  1 x2 b AC b f C 

Vậy f C  là một tập lồi của n.

Giả sử C là tập lồi trong không gian R.n, ta sẽ chứng minh 1 

f C là một tập lồi của m.

2.1.5 Chú ý Một nón không nhất thiết phải lồi và không nhất thiết phải chứa gốc

0, mặc dù 0 luôn thuộc bao đóng của một nón khác rỗng

(e) Ảnh và nghịch ảnh của một nón dưới phép biến đổi tuyến tính là một nón

Chứng minh a, Giả sử C i,  i I là nón, ta sẽ chứng minh i

x C

d, Giả sử C là nón, ta sẽ chứng minh cl C là một nón

Thật vậy,  x cl C ,   0 mà  x k Csao cho x kx thì  x k C vàx kx. Vì C

là nón nên xC Suy ra x cl C hay cl C  là một nón

e, Giả sử C là một nón trong n và f là phép biến đổi tuyến tính xác định bởi:

2.2 BAO LỒI VÀ BAO AFIN

2.2.1 Định nghĩa Cho X tập con khác rỗng của n. Khi đó, x được gọi là tổ hợp

lồi các phần tử x1, ,x m của X nếu  i   0, i 1,m mà 1

m i

2.2.2 Mệnh đề Nếu X là tập lồi khác rỗng trong không gian n

thì tổ hợp lồi của

X cũng thuộcX.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp Ta chứng minh mệnh đề

đúng với m 3 Thật vậy, giả sử x x x1, 2, 3X;  1, 2, 3  0 sao cho

3

1

1

i i







 Ta sẽ chứng minh x1 1x 2 2x 3 3x là tổ hợp lồi của các phần tử của X và xX Ta có

Từ   ta có được xX Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp m phần tử

Giả sử khẳng định đúng cho mọi tổ hợp gồm mk, ta sẽ chứng minh nó đúng với

k i i

Suy ra đúng với tổ hợp m phần tử Vậy mệnh đề được chứng minh

2.2.3 Định nghĩa Cho tậpXlà tập con khác rỗng của n. Bao lồi của tập Xlà giao của tất cả các tập lồi chứa X, ký hiệu: conv X .

2.2.4 Nhận xét Bao lồi của tậpX là lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa X.

2.2.5 Mệnh đề Cho tập X là tập con khác rỗng của n Khi đó, tập tất cả các tổ hợp lồi của X là một tập lồi Hơn nữa, tập hợp này chính là bao lồi của X,tức là:

Chứng minh Dễ thấy tập tất cả tổ hợp lồi của X là lồi vì: x y, thuộc tổ hợp

2.2.7 Định nghĩa Cho X là tập con khác rỗng của .n Khi đó, x được gọi là tổ

2.2.9 Mệnh đề cone X  là nón lồi chứa phần tử 0

Suy ra x 1 y cone X .

 

cone X  0 Thật vậy, ta có 0  0x1  0x m với x iX,  i 1, ,m m Suy ra

 

0 cone X Vậy cone X  là nón lồi chứa phần tử 0

2.2.10 Chú ý cone X  không nhất thiết phải đóng thậm chí cả khi X là compact

Suy ra cone  X  x x1 , 2:x2   0   0, 0 là không đóng

2.2.12 Mệnh đề Nếu X chỉ chứa hữu hạn phần tử thì cone X đóng

  hay cone X  đóng

2.2.13 Mệnh đề Cho X là tập khác rỗng Ta có:

a, aff x =aff conv  X =aff cl  X .

b, cone X  cone conv  X .

c, aff conv  X  aff cone  X .

Chứng minh a, Ta có X  conv X (dễ thấy theo định nghĩa) tập affin chứa

 

conv X cũng chứa X suy ra aff X  aff conv  X  (1)

Ngược lại,  y aff conv  X  suy ra y thuộc tất cả các tập affin chứa conv X  suy

ra y x V (V là không gian con chứa conv X ) Suy ra V là không gian con chứa

X x Suy ra y thuộc xX tức là y thuộc tập afin chứa X hay y aff X . Suy ra

 

aff conv X  aff X 2

Từ (1) và (2) ta có aff conv  X =aff X .

Ta có X  cl X suy ra aff X  aff cl  X   3

Ngược lại,  y aff cl  X  suy ra y thuộc tập afin bất kì chứa cl X  suy ra y x V

(V là không gian con bất kì chứa cl X x) Suy ra V là không gian con chứa

.

X x Suy ra y thuộc tập affin bất kì chứa X hay aff cl  X  aff   X 4

Từ (3) và (4) ta có được: aff cl  X =aff X .

b, Ta có X  conv X suy ra tập các tổ hợp không âm của các phần tử của X cũng

là tập các tổ hợp không âm các phần tử của conv X  suy ra

Suy ra x cone X hay cone conv  X  cone   X 2

Tử (1) và (2) ta có: cone conv  X  cone X .

c, Ta có conv X  cone X (suy ra từ định nghĩa) suy ra tập afin chứa cone X 

cũng là tập afin chứa conv X  suy ra aff conv  X  aff cone  X .

2.2.14 Mệnh đề (xem [3], mệnh đề 1.3.1) (định lý Caratheodory)

Cho Xlà tập con khác rỗng của n.

a, Mỗi x trong cone x  có thể biểu diễn bởi tố hợp dương các vectơ x1, ,x m từ x

sao cho chúng là độc lập tuyến tính

b, Mỗi x trong conv X  có thể biểu diễn bởi tố hợp lồi của các vectơ x1, ,x m từ x sao cho x2x1, ,x mx1 là độc lập tuyến tính

Định lý Caratheodory có thể được sử dụng để chứng minh nhiều kết quả quan trọng khác, ví dụ mệnh đề sau:

2.2.15 Mệnh đề (xem [3] mệnh đề 1.3.2)

Bao lồi của tập compact là compact

2.2.16 Chú ý Bao lồi của tập đóng chưa hẳn là tập đóng

2.2.17 Ví dụ Cho tập đóng X là con của n

Chương 3

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN n

3.1 HÀM LỒI

3.1.1 Định nghĩa Cho Clà tập con lồi trong n.

(i) Hàm f C: R được gọi là lồi nếu:

(iii) Hàm f C: R được gọi là lõm nếu – f là hàm lồi

3.1.2 Chú ý Tập C lồi là điều kiện cần để hàm f C: Rlà lồi

3.1.3 Định nghĩa Cho C X, là các tập con của n

R sao cho tập Clà tập lồi khác rỗng là tập con của của tập X. Mỗi hàm f C: R được gọi là lồi trên C nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên C, tức là khi đó f hạn chế trên miền C thì f là hàm lồi

3.1.4 Định nghĩa Cho Clà tập con khác rỗng của n, f C: R và   Khi đó, các tập xC f x:    và xC f x:    được gọi là các tập định mức của hàm

.

f

3.1.5 Mệnh đề Nếu f là hàm lồi thì tất cả các tập định mức của f là tập lồi

Chứng minh Với mọi x y, C sao cho f x   và f y   Khi đó với

 0,1

  thì x 1 yC(do tính lồi của C), ta lại có

f x   y  f x    f y   (do tính lồi của f )

Suy ra: x 1 y x C f x:   hay tập định mức xC f x:    lồi

Tương tự, ta chứng minh được tập xC f x:   là lồi Thật vậy, với mọi ,

x yC sao cho f x   và f y  .Khi đó với   0,1 ta cũng có x 1 yC

(do tính lồi của C) và f x 1 y f x    1   f y   (do tính lồi của f ) Suy ra: x 1 y x C f x:   hay tập định mức xC f x:    lồi

3.1.6 Chú ý Tính lồi của tập định mức không kéo theo tính lồi của f.

3.1.7 Ví dụ: Cho hàm f xác định bởi f x  x Hàm này có tập định mức lồi nhưng hàm f không lồi

i I



 trong đó tập chỉ só I hữu hạn, hàm f có thể nhận giá trị  nếu hàm f i là hàm giá trị thực Khi đó, hàm f là hàm lồi trên tập con lồi C của n

nhưng không là hàm lồi trên toàn bộ n

Trong phần này chúng ta đưa ra một số tập sau:

X R là tập con của n 1

R xác định bởi: epi f   x, :xX,  R,f x  

Ta thấy dom f  có được bởi một phép chiếu của epi f  trên .

Điểm khác trong định nghĩa hàm lồi giá trị thực mở rộng là f có nhận thêm cả

2 giá trị  và  trên bất kì f x    1   f y phát sinh trong tất cả định nghĩa hàm giá trị thực trong trường hợp có liên quan đến việc tính  và 

3.2.1 Định nghĩa Cho C là tập con lồi của n. Hàm giá trị thực mở rộng

Khi đó, f có miền giá trị là dom f  và tập định mức AxC f x:    và

3.2.2 Định nghĩa Cho C và X là 2 tập con của n

R sao cho C là tâp lồi khác rỗng

và là tập con của X Hàm giá trị thực mở rộng f X:    ,  được gọi là lồi trên C

nếu f lồi khi miền giá trị của f bị giới hạn bởiC, nghĩa là nếu hàm f C:    , 

xác định bởi f x  f x  x C là hàm lồi

3.3 TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ TÍNH ĐÓNG

3.3.1 Định nghĩa Hàm giá trị thực mở rộng f X:    ,  được gọi là nửa liên tục dưới tạixX nếu   lim inf  k

(i), Tập định mức Ax: f x   là đóng với mỗi  

(ii), f là nửa liên tục dưới trên n.

(iii), epi f  là đóng

3.3.3 Chú ý Nếu đồ thị của hàm f X:    ,  là tập đóng thì f được gọi là hàm

đóng