Một số bất đẳng thức thường gặp trong lý thuyết xác suất và thống kê

Chẳng hạn như, bất đẳng Chebyshev, bất đẳng thức Schwarz và Jensen thường được sử dụng trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Cramer-Rao đóng vai trò cơ bản trong Toán học thống kê.. Lự

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG I 4

BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 4

ĐỐI VỚI BIẾN CỐ XÁC SUẤT 4

1.1 Các bất đẳng thức từ công thức cộng xác suất 4

1.2 Các bất đẳng thức đối với hiệu đối xứng 8

CHƯƠNG II 12

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI 12

HÀM PHÂN PHỐI 12

2.1 Các bất đẳng thức đối với phân phối chuẩn tắc 13

2.2 Bất đẳng thức kiểu Slepian 16

2.3 Bất đẳng thức kiểu Anderson 21

2.4 Bất đẳng thức kiểu Khatri-Sidak 21

2.5 Xác suất góc của vectơ chuẩn tắc 23

2.6 Xấp xỉ chuẩn của phân phối Binomial và Poison 24

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỞ ĐẦU

Trong hầu hết các ngành của khoa học định lượng, bất đẳng thức đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển và được coi là quan trọng hơn đẳng thức Điều này thực sự đúng trong lĩnh vực xác suất thống kê Chẳng hạn như, bất đẳng Chebyshev, bất đẳng thức Schwarz và Jensen thường được

sử dụng trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Cramer-Rao đóng vai trò cơ bản trong Toán học thống kê Lựa chọn hoặc thiết lập một bất đẳng thức thích hợp thường là một bước đột phá quan trọng trong các lời giải của một bài toán, một vấn đề, ví dụ như bất đẳng thức Berry-Esseen đã mở ra một cách để đánh giá tốc độ hội tụ của xấp xỉ chuẩn

Người mới bắt đầu nghiên cứu thường gặp hai khó khăn đó là: lựa chọn một bất đẳng thức thích hợp và trích dẫn một tài liệu tham khảo chính xác Hầu như các tác giả không nêu rõ tài liệu tham khảo cho các bất đẳng thức thường được sử dụng, chẳng hạn như bất đẳng thức Jensen Schwarz, bổ đề Fatou,… Rắc rối cho những người mới bắt đầu nghiên cứu là một bất đẳng thức có thể có nhiều tên gọi khác nhau và các nguồn tài liệu tham khảo khác nhau Chẳng hạn như, bất đẳng thức Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy, Cauchy Schwarz hoặc bất đẳng thức Minkoveski-Bnyakovski Các bất đẳng thức Bennet, Hoeffding và Bernstein có mối quan hệ rất gần gũi và chặt chẽ và được trích dẫn trong một số tài liệu khi các tác giả sử dụng bất đẳng thức Điều này có thể do một tác giả sử dụng một bất đẳng thức và các tác giả tiếp theo chỉ đơn giản là sao chép dạng của bất đẳng thức đó và sử dụng nó mà không kiểm tra các tài liệu tham khảo ban đầu Tất cả các điều này có thể gây trở ngại lớn cho chúng ta trong việc nghiên cứu

Mục đích của bài khóa luận này là trình bày một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng trong lý thuyết xác suất Với mục đích đó chúng tôi chọn tên

đề tài khóa luận là ”Một số bất đẳng thức thường gặp trong Lý thuyết xác suất và thống kê” Khóa luận được chia làm 2 chương

Chương 1 Bất đẳng thức cơ bản đối với các biến cố

Chương 2 Bất đẳng thức đối với hàm phân phối

Mặc dù đã cố gắng, nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Người viết khóa luận rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và người đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn và tác giả của nó có được cái nhìn sâu sắc hơn về vấn đề

CHƯƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐỐI VỚI BIẾN CỐ XÁC SUẤT

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bất đẳng thức cơ bản được đề cập nhiều trong các cuốn sách về lý thuyết xác suất như Feller (1968), Loéve (1977),…Chúng tôi sử dụng các ký hiệu như sau:  là không gian các biến cố sơ cấp,  là  -đại số các tập hợp con của ,  là độ đo xác suất của các biến cố trong  (, , ) được gọi là một không gian xác suất Các biến cố trong  được ký hiệu là A A1, 2, hoặc A B, Với hai biến cố

A, B, ky hiệu A B, AB(hoặc A B), A B và A B lần lượt là hợp, giao, hiệu và hiệu đối xứng của A và B c

A là biến cố đối của biến cố A và  là

ký hiệu biến cố không thể

1.1 Các bất đẳng thức từ công thức cộng xác suất

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử A A1, 2, ,A n là n biến cố Khi đó,

1 1

1

1

1 1

( 1)

k k

Từ (1) và giả thiết ta có:

1 1

( 1)

Từ đó suy ra mênh đề đúng với n 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp biến cố A1 , ,A n được gọi là hoán đổi được nếu

xác suất của các giao các biến cố chỉ phụ thuộc vào số các biến cố có trong phép giao, có nghĩa là với bất kỳ số nguyên 1    i1 i j n và 1  i j n,

 1 2 

j

i i i j

P A A A  p

Hệ quả 1.1.3 Từ công thức cộng xác suất, ta có được 2 đẳng thức sau

i) Khi A1 , A n hoán đổi được, ta có:

1

1 1

Khi n 2, theo công thức cộng xác suất, ta có

Do đó, bất đẳng thức bên trái được chứng minh

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử A B, là các biến cố Khi đó ta có các bất đẳng thức

1 )

Trước hết ta chứng minh i) Ta có:

Mệnh đề 1.1.7 (Bất đẳng thức Bonferroni) Giả sử P[m] là xác suất có đúng

m biến cố trong số các biến cố A1, ,A đồng thời xảy ra; n P m là xác suất có ít nhất m biến cố trong số các biến cố A1, ,A đồng thời xảy ra Đặt: n

 1 1

1

m m

Như vậy bất đẳng thức bên trái của mệnh đề 1.1.6 được chứng minh

1.2 Các bất đẳng thức đối với hiệu đối xứng

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử  n 1;  n 1

A  B  là dãy các biến cố Khi đó ta có bất

đẳng thức sau

Mệnh đề 1.2.3 Giả sử  A n là dãy các biến cố độc lập Khi đó:

1 1

k k

     

P AD P A P D Chứng minh Ta có

=

=

=

.

c c c c c c c c c c c c c c c c c c c P AD P ADB P ADB P AB P AB P AD B P A P B P AB P D B P A D B P A P B P AB P D B P A B P A P B P B P D B P A P BD P A P B D P A P D                 Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.5 Giả sử A0  ,    A n và B n là hai dãy các biến cố Nếu có một trong hai điều kiện sau: a) B n độc lập với A A n n c1 A o c với mọi n 1 b) B n độc lập với A A A n, n n c1,A A A n n c1 n c2, với mọi n 1 thì   1 1 1 inf n n n n n n n P A B P B P A                   Chứng minh Với trường hợp a),         1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1

inf

n

n

n









.

Với trường hợp b),

1

n

c

 



Vậy mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.2.6 Cận dưới của hợp Giả sử  n1

2

n

i n

i

i n i

i

A X

i N

về biến ngẫu nhiên đó Giả sử F X( )x là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

X Khi đó, chúng ta tính được các thông tin về X như là

Giả sử là biến ngẫu nhiên Khi đó hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

 ký hiệu là F x( ) và được xác định bởi

F x P  x Nếu biến ngẫu nhiên  liên tục thì hàm mật độ xác suất của  là một hàm đo được p(x) và thỏa mãn

lần lượt là hàm phân phối và hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc N(0;1)

Phân phối nhị thức với hai tham số n và p có hàm xác suất được xác định bởi

2.1 Các bất đẳng thức đối với phân phối chuẩn tắc

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử a, b là 2 số thực (a<b),  ( ); ( )x  x lần lượt là hàm phân phối, mật độ của phân phối chuẩn tắc được xác định bởi (2.1) Khi đó ta

Mệnh đề 2.1.2 Với mọi số thực x,  ( ); ( )x  x lần lượt là hàm phân phối, mật

độ của phân phối chuẩn tắc được xác định bởi (2.1) Khi đó,

x

x x

x

x x x

 Như vậy với mọi x 0,

2 2

2 2

11

x x  

với mọi x  1

Mệnh đề 2.1.3 Với mọi số thực x,  ( ); ( )x  x lần lượt là hàm phân phối, mật

độ của phân phối chuẩn tắc được xác định bởi (2.1)

Chứng minh Thực hiện tích phân từng phần nhiều lần bất đẳng thức (2.2)

được suy rộng, với bất kỳ số nguyên k 0 à xv  0,

1 j 2 1 !

j j

j x







 không hội tụ với x 0

Mệnh đề 2.1.4 Giả sử X Y,  là một vectơ chuẩn ngẫu nhiên hai chiều với phân phối

0 1

0 1

r N

Nếu    1 r 0 ta có bất đẳng thức ngược lại

Chứng minh Tích phân từng phần ta được:

Chứng minh Hàm mật độ của X1 , ,X n có thể được viết ở dạng hàm đặc trưng:

2 1

n j j

* 1

2

nm nm R

Giả sử A ij Z ijx ij, B i0  A v B i1 à ij  A i c1 A A ij c i j, 1

Ta có thể thử lại

 1 2 1

Từ đó ta suy ra trường hợp a),  Q uv  0.

Đối với trường hợp b, không mất tính tổng quát, ta lấy z u z1m và z v z2m.

Khi đó, j1 hoặc j2 nhỏ hơn m 1, ta thu được kết quả chặt chẽ hơn:

Từ đó ta suy ra được trường hợp b),  Q uv 0.

Giả sử X và Y lần lượt là ma trận phương sai của X X11 , ,X1m, ,X n1 , X nm

Chú ý Như một hệ quả, từ các giả thiết (1), (2), (3),

min max ij min max ij

phân (Anderson, 1955): Đối với tập lồi đối xứng D của N

, hàm f x  không

âm trong N thỏa mãn:

(i) f x  f x ;

(ii) với bất kì u 0, x f x:  u là tập lồi;

(iii) D f x dx    (theo ý nghĩa của tích phân Lebesgue)

xác định dương của X, từ (2.3) ta suy ra điều cần chứng minh

Mệnh đề 2.3.2 Giả sử X v X1 à 2là các vectơ Gaussian có giá trị trung bình bằng 0 và các ma trận phương sai 1 à 2 tương ứng Nếu  1 2 là nửa xác định dương và D là tập lồi tự đối xứng thì:

P X D P X D Chứng minh Giả sử Y là vectơ Gaussian có giá trị trung bìn bằng 0 và ma

trận phương sai  1 2 tương ứng, và độc lập với X1 Khi đó X2 và

kì x x1, 2 N, g x   1 g x2  h x   1 h x2  0; X là vectơ chuẩn tắc trong N và

Hệ quả 2.4.2 Giả sử X1 , ,X N là vectơ Gaussian có giá trị trung bình bẳng

2.5 Xác suất góc của vectơ chuẩn tắc

Mệnh đề 2.5.1 Giả sử X X1 , ,X N là một vectơ Gaussion có giá trị trung bình bằng 0 trong N

với ma trận phương sai   a ij thỏa mãn

.

i i

phương sai T, g là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa độc lập của Y, và Y1, ,Y g N, độc

lập với nhau Từ mệnh đề 2.3.1, ta có với mỗi i, P Y i  i i y  i là hàm không giảm của y Sử dụng bất đẳng thức (2.4) ta có:

     

1 1

1 1

d d

i i

N

i i i i g i

N

i i i

2.6 Xấp xỉ chuẩn của phân phối Binomial và Poison

Mệnh đề 2.6.1 (DeMoivre-Laplace) Cho n 1, 2, ,giả sử k k n là số nguyên không âm và đặt    1 2

k

xx  knp npq  , với q  1 p, 0  p 1. Nếu  1 6

x  n thì tồn tại các hằng số dương A, B, C sao cho:

Chứng minh Điều kiện  1 6

x  n có nghĩa là k n p Từ công thức Stirling

n k k

1 log 1 2

1

1 2

3 2

2

x

x p O

1 2

 

3 2

x k   o  khi   , khi đó tồn tại các hằng

số dương A, B, C sao cho:

log 1 2

1

1 2

k

k k

KẾT LUẬN

Dựa trên một số tài liệu tham khảo, bài khóa luận đã trình bày được một số nội dung sau:

Trong Chương 1 Bất đẳng thức cơ bản đối với các biến cố, chúng

tôi trình bày các bất đẳng thức suy ra từ công thức cộng xác suất, các bất đẳng thức đối với hiệu đối xứng

Chương 2 Bất đẳng thức đối với hàm phân phối Trong chương này

chúng tôi trình bày bất đẳng thức đối với hàm phân phối của phân phối chuẩn

tắc, Bất đẳng thức kiểu Slepian, bất đẳng thức kiểu Anderson, Bất đẳng thức

kiểu Khatri-Sidak và trình bày Định lý DeMoivre-Laplace về xấp xỉ phân phối Poisson bởi phân phối nhị thức

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Anderson T W., The integral of a symmetric unimodal function over a

symmetric convex set and some probability inequalities Proc Amer Soc., 6:

170-176, 1955

[2] Chow Y S, Teicher H., Probability Theory: Independence

Interchangeability, Martingales 2nd ed New York: Springer-Verlang, 1997

[3] Chung K L., A Course in Probability Theory 2nd ed New York:

Academic Press, 1974

[4] Feller W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications 3rd

ed New York: Wiley, 1968

[5] Khatri G G., On centain inequalities for normal distributions and the

applications to simultaneous confidence bounds Ann Math Statist., 38:

1853-1867, 1967

[6] Slepian D., The one-side barrier problem for Gaussian noise Bell System

Tech J., 41: 463-501, 1962

[7] Sid´ak Z., On multivariate normal probabilities of rectangales: their

dependence on correlation Ann Math Statist., 39: 1425-1434, 1968

[8] Zhengyan Lin, Zhidong Bai, Probability Inequalities, Springer, 2009