KHAI THÁC CÔNG NGHỆ GIA CÔNG bề mặt PHỨC tạp TRÊN máy TIỆN CNC2 TRỤC CHÍNH ec14eee1

Nghiên cứu, khai thác khả năng công nghệ của các máy tiện CNC 2 trục để gia công một số chi tiết dạng trụ có bề mặt phức tạp là một trong những hướng phát triển nhằm đáp ứng những yêu cầ

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Nội dung nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ GIA CÔNG CẮT GỌT CÁC BỀ MẶT PHỨC TẠP 3

1.1 TỔNG QUAN CÁC DẠNG BỀ MẶT TRONG GIA CÔNG CẮT GỌT 3

1.1.1 Các dạng bề mặt gia công 3

a, Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường tròn 3

b) Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường thẳng 4

c, Dạng bề mặt phức tạp 5

1.1.2 Cơ sở tạo hình bề mặt gia công 6

a) Động học gia công cắt gọt 6

b) Sơ đồ động học tạo hình 8

1.2 ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ CAD/CAM TRONG GIA CÔNG CÁC DẠNG BỀ MẶT PHỨC TẠP 10

1.2.1 Các khái niệm về phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/ CAM 10

a, Các cách biểu diễn đường cong 10

b, Biểu diễn các mặt 16

1.2.2 Các ma trận cơ bản 20

a, Ma trận cơ bản thứ nhất 20

b, Ma trận cơ bản thứ hai 21

c, Độ cong chuẩn 21

d, Độ cong chính 22

CHƯƠNG 2 - MÁY TIỆN CNC 2 TRỤC CHÍNH MAXXTURN 65 24

2.1 SƠ LƯỢC VỀ MÁY TIỆN 2 TRỤC CHÍNH MAXXTURN 65 24

b) Hệ tọa độ trên máy 27

2.1.3 Các mặt phẳng làm việc 29

a Mặt phẳng dọc trục (Turning) 30

b Mặt phẳng mặt đầu trục (Face) 30

c Mặt phẳng mặt ngoại vi (Peripheral surface) 31

2.1.4 Vùng làm việc 31

2.1.5 Đầu trục chính 2 (counter spindle) 33

a) Kết cấu 33

b) Các chu trình khi làm việc với trục chính 2 34

2.2 PHẦN MỀM ĐIỀU KHIỂN SHOPTURN 39

2.2.1 Một số bước thao tác cơ bản 39

a)Tạo một chương trình mới 39

b) Tạo một dòng lệnh mới 41

c) Mô phỏng chương trình và gia công chi tiết 44

2.2.2 Một số chu trình gia công trong phần mềm điều khiển shopturn 47

a) Di chuyển theo đường thẳng và đường tròn 47

b) Khoan lỗ (Drilling) 49

c) Tiện (Turning) 51

d) Chu trình tạo rãnh (Groove) 55

e) Chu trình phay (Milling) 57

CHƯƠNG 3 - THỰC NGHIỆM GIA CÔNG MỘT SỐ BỀ MẶT PHỨC TẠP TRÊN MÁY MAXXTURN 65 64

3.1 CHI TIẾT TRỤC ĐĨA XÍCH 64

3.2 CHI TIẾT CAM LỆCH 69

3.3 CHI TIẾT TRỤC LỤC GIÁC 73

3.4 CHI TIẾT TRỤC RÃNH 78

CHƯƠNG 4 - KẾT LUẬN 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

PHỤ LỤC 84

bảng

2.4 Bảng tham số khi di chuyển theo đường thẳng 48

hình vẽ

1.1 Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh thẳng 3 1.2 Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh gãy khúc 3

1.4 Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh thẳng 4 1.5 Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh gãy khúc 4 1.6 Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh cong 5

1.12 Vectơ pháp tuyến chuẩn và đường tròn mật tiếp 15

1.14 Đường cong trên bề mặt và mặt phẳng tiếp tuyến 18

2.2 Các bộ phận máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn 65 25

2.5 Các mặt phẳng gia công trên máy tiện Maxxturn 65 29 2.6 Các bước gia công thực hiện trên mặt phẳng dọc trục 30 2.7 Các bước gia công thực hiện trên mặt phẳng mặt đầu trục 31 2.8 Các bước gia công thực hiện trên mặt phẳng mặt ngoại

vi

31

2.9 Vùng làm việc 32

3.9 Chương trình gia công trục lục giác(tiếp theo) 77

3.13 Chi tiết trục rãnh gia công thực tế 81

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Công nghệ gia công trên máy CNC ngày càng được sử dụng phổ biến ở Việt Nam Với việc sử dụng các máy CNC, ngoài việc chất lượng sản phẩm được nâng cao, năng suất gia công cũng được cải thiện đáng kể thì việc gia công những bề mặt phức tạp trên những máy tiện cũng phát triển Từ đó, những sản phẩm tạo ra sẽ có giá cạnh tranh hơn nhưng vẫn thỏa mãn những yêu cầu khắc khe từ khách hàng Tuy nhiên, để duy trì được các yếu tố trên thì việc sử dụng công nghệ gia công phù hợp để đảm bảo chất lượng, đúng tiến độ là một trong những tiêu chí quan trọng bậc nhất

Nghiên cứu, khai thác khả năng công nghệ của các máy tiện CNC 2 trục

để gia công một số chi tiết dạng trụ có bề mặt phức tạp là một trong những hướng phát triển nhằm đáp ứng những yêu cầu trên Việc làm này góp phần giải quyết vấn đề trước mắt là tiếp cận công nghệ gia công tiên tiến và giảm bớt nguyên công trong gia công chi tiết dạng trụ

Xuất phát từ những lý do trên, tôi đã chọn để tài: "Khai thác công nghệ gia công bề mặt phức tạp trên máy tiện CNC 2 trục chính" làm luận văn tốt

nghiệp

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Khai thác khả năng công nghệ của máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn

65

- Khai thác phần mềm điều khiển ShopTurn của máy

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng:

Chế tạo các chi tiết có biên dạng phức tạp trên máy tiện Maxxturn 65 tại Viện CN cơ khí và tự động hóa, trường Đại học Bách khoa, ĐHĐN

Phạm vi:

- Máy tiện CNC 2 trục chính Maxxturn 65

- Phần mềm điều khiển Shopturn

- Gia công thực nghiệm một số chi tiết có biên dạng phức tạp

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết kết hợp với phương pháp thực nghiệm

5 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, đề tài bao gồm các chương:

Chương 1 Tổng quan về gia công cắt gọt các bề mặt phức tạp

Chương 2 Máy tiện cnc 2 trục chính Maxxturn 65

Chương 3 Gia công thực nghiệm một số chi tiết bằng phần mềm điều khiển shopturn

Chương 4 Kết luận

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ GIA CÔNG CẮT GỌT CÁC BỀ

a, Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường tròn

Thể hiện bề mặt được hình thành do đường sinh quay xung quanh đường chuẩn là đường tròn với đặc trưng cơ bản là có trục chuẩn đối xứng hoặc tâm đối xứng

- Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh thẳng:

Hình 1.1 Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh thẳng

- Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh gãy khúc:

Hình 1.2 Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh gãy khúc

- Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh cong:

Hình 1.3 Đường chuẩn là đường tròn, đường sinh cong

b) Dạng bề mặt có đường chuẩn là đường thẳng

Thể hiện bề mặt được hình thành do đường sinh quét dọc theo đường chuẩn là đường thẳng

- Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh thẳng:

Hình 1.4 Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh thẳng

- Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh gãy khúc:

Hình 1.5 Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh gãy khúc

- Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh cong:

Hình 1.6 Đường chuẩn là đường thẳng, đường sinh cong

Hình 1.7 Dạng bề mặt phức tạp

c, Dạng cánh

Ngoài ra, các chi tiết có các bề mặt tuy đơn giản nhưng lại có các yêu cầu về vị trí tương quan giữa các bề mặt rất cao như độ đồng tâm giữa các bề mặt trụ của trục khuỷu, các bề mặt rãnh dạng cong trên bề mặt trụ… cũng có thể được xem là bề mặt phức tạp

Hình 1.8 Dạng bề mặt trụ trục khuỷu

1.1.2 Cơ sở tạo hình bề mặt gia công

a) Động học gia công cắt gọt

- Tạo hình và tạo hình bề mặt cho chi tiết máy

Tạo hình là quá trình hình thành bề mặt thực của những cặp đối tượng có mối quan hệ động học ràng buộc hay tự do và dựa trên dữ liệu đầu vào của đối tượng này sẽ tìm ra dữ liệu của đối tượng kia Thông thường trong quá trình gia công mối quan hệ động học của cặp đối tượng là tự do Ví dụ: tiện mặt trụ tròn xoay đường sinh thẳng, phay mặt phẳng Tạo hình bằng bao hình mối quan hệ động học của cặp đối tượng là ràng buộc Ví dụ: phay lăn răng, xọc bao hình bánh răng

Đặc trưng của quá trình tạo hình là hình thành bề mặt khởi thủy bằng mối quan hệ đôi động học dụng cụ và chi tiết gia công

Các phương pháp gia công tạo hình bề mặt cho chi tiết gồm có: cắt gọt, rèn, dập, cán, ép

- Động học gia công

Động học gia công nghiên cứu chuyển động của dụng cụ và chi tiết trong quá trình cắt gọt, chèn ép gây biến dạng để tạo nên hình dạng, kích

thước của chi tiết máy Trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm, xây dựng các

sơ đồ động học gia công thích hợp nhất cho mỗi chi tiết máy ứng với các dạng gia công khác nhau để đạt năng suất gia công và độ chính xác gia công mong muốn

Sơ đồ động học gia công là biễu diễn các chuyển động tuyệt đối mà các cơ cấu máy truyền cho dụng cụ và chi tiết gia công trong quá trình gia công

- Sơ đồ động học gia công cơ bản

Trong quá trình gia công kim loại, lưỡi cắt và dụng cụ chuyển động theo những quỹ đạo khác nhau so với bề mặt của chi tiết Quỹ đạo này xác định mối quan hệ động học tương hỗ giữa dụng cụ và chi tiết

Sơ đồ động học gia công cơ bản được thiết lập trên cơ sở tổ hợp các chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Độ phức tạp của sơ đồ động học gia công phụ thuộc vào tổng số các chuyển động thành phần và đặc trưng tổ hợp Ta có thể chia sơ đồ động học gia công thành các nhóm:

 Một chuyển động thẳng

 Một chuyển động quay

 Hai chuyển động thẳng

 Hai chuyển động quay

 Một chuyển động thẳng, một chuyển động quay

 Hai chuyển động thẳng một chuyển động quay

 Hai chuyển động quay, một chuyển động thẳng

 Ba chuyển động quay

Động học gia công cơ bản là nhưng sơ đồ khởi thủy thiết lập mối quan

hệ xác định quỹ đạo chuyển động các điểm lưỡi cắt của dụng cụ Nó được sử dụng để tính toán chính xác thiết diện lớp cắt, lực cắt

- Động học tạo hình bề mặt

Động học tạo hình bề mặt nghiên cứu chuyển động tương đối giữa dụng cụ và chi tiết máy để tạo nên hình dạng bề mặt chi tiết máy Trong quá tình nghiên cứu, tìm cách phối hợp 2 chuyển động cơ bản là chuyển động thẳng đều và chuyển động quay đều để tạo nên hình dạng bề mặt cần thiết cho chi tiết máy, bằng các sơ đồ động học tạo hình bề mặt

Sơ đồ động học tạo hình dùng để xác định hình dạng bề mặt khởi thủy của chi tiết hay dụng cụ khi đã biết hình dạng của dụng cụ hay chi tiết

Các sơ đồ động học tạo hình bề mặt chủ yếu là tổng hợp của 2 chuyển động đều là tịnh tiến thẳng và quay, tổ hợp 3 chuyển động trở lên chưa được dùng Xét một số trường hợp cụ thể:

 Tổng hợp hai chuyển động tịnh tiến, chuyển động tức thời là chuyển động tịnh tiến

 Tổng hợp hai chuyển động quay, chuyển động tức thời là chuyển động quay hay xoắn vít Hai chuyển động quay có trục song song, cắt nhau hoặc chéo nhau

 Tổng hợp chuyển động quay và tịnh tiến, chuyển động tổng hợp tức thời là chuyển động quay hoặc xoắn vít Chuyển động quay và tịnh tiến

có thể vuông góc trục quay, làm với trục quay một góc khác 90o

Các sơ động học tạo hình có thể chia làm 04 bậc:

 Nhóm bậc 0: là các sơ đồ động học tạo hình, khi bề mặt tạo hình của vật thể trùng với bề mặt nguyên gốc đầu vào Ví dụ khi chuốt rãnh, đột

lỗ Trong trường hợp này chuyển động tương đối là chuyển động tự trượt, để xác định bề mặt khởi thủy không cần quan tâm đến chuyển động này

 Nhóm bậc 1: là sơ đồ động học có đặc trưng, cặp bề mặt của phần tự quay và phần đứng yên trùng nhau và tạo thành đường thẳng Ví dụ: tiện rãnh bằng dao tiện định hình, phay răng bằng dao phay định hình, phay thanh răng bằng dao phay môđun

 Nhóm bậc 2: là sơ đồ động học tạo hình có đặc trưng, chuyển tương hỗ của cặp bao hình là chuyển động quay tức thời Ví dụ: gia công bao hình bánh răng bằng dao xọc mô đun

 Nhóm bậc 3: là nhóm chứa các sơ đồ động học tạo hình, chuyển động tương hổ là chuyển động xoắn vít tức thời Tổng hợp của hai chuyển động quay, hai trục chéo nhau Ví dụ: phay bao hình bánh răng bằng dao phay lăn răng

Biểu diễn mạch tạo hình như sau:

Hình 1.9 Mạch tạo hình

Bề mặt 1 (Mặt định trước)

Điều kiện tạo hình

Bề mặt 2 (Mặt tạo hình)

Điều chỉnh liên kết Điều chỉnh hình học bề mặt 1

1.2 ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ CAD/CAM TRONG GIA CÔNG CÁC DẠNG BỀ MẶT PHỨC TẠP

Với công nghệ gia công truyền thống, việc gia công các bề mặt phức tạp sẽ cần phải dùng thêm các trang bị công nghệ phức tạp như các chi tiết mẫu, đồ gá hoặc các máy chuyên dùng Điều này dẫn đến việc gia công không đạt năng suất, hiệu quả kinh tế và tính linh hoạt thấp

Sự ra đời của máy CNC và công nghệ CAD/CAM đã giúp cho việc gia công các bề mặt phức tạp trở nên thuận lợi hơn, hiệu quả hơn Do vậy, có thể nhận định rằng, hiện nay công nghệ CAD/CAM/CNC đã gần như thay thế hoàn toàn công nghệ gia công truyền thống trong việc gia công các dạng bề mặt phức tạp

1.2.1 Các khái niệm về phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/ CAM

Các bề mặt sản phẩm, sản xuất trong công nghiệp khá đa dạng và phức tạp, vì vậy để thiết kế và chế tạo thuận lợi người ta đẫ sử dụng máy tính trợ giúp trong quá trình này Lĩnh vực thiết kế và mô tả bề mặt gia công trên máy tính được gọi là CAMM - Computer Aided Modeling Machining, nó đóng vai trò quan trọng trong hệ CAD/CAM/CNC Để mô tả, xây dựng các đường cong và bề mặt trên máy tính sử dụng mô hình toán học ta cần có những điều

cơ bản

a, Các cách biểu diễn đường cong

Đường cong là quỹ tích của điểm chuyển động theo quy luật nào đó Vết để lại của điểm chuyển động hình thành đương cong hình học Trong toán học biễu diễn đường cong bằng các phương trình toán học, có 3 cách biễu diễn một đường cong:

Đường cong ẩn

Đường cong tường minh

Đường cong tham số

Hình 1.10 Gốc tọa độ trùng tâm đường tròn

Để biễu diễn đường tròn bằng toán học dưới dạng phương trình bằng cách gắn hệ tọa độ Đềcac phẳng có gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn đơn

vị Từ khoảng cách giữa tâm đường tròn O(0,0) và điểm P(x,y) trên đường tròn bán kính 1 đơn vị, chúng có mối quan hệ giữa hai biến tọa độ biễu diễn như sau:

Phương trình ẩn, có dạng g(x,y) = 0

x2 + y2 = 1 hoặc x2 + y2 – 1 = 0 Nếu chỉ xét nửa trên đường tròn đơn vị thì công thức trên được viết lại và gọi dạng tường minh của đường cong:

y = (1- x2)

1 2

Gọi góc hợp thành giữa chiều dương trục OX với tia PO là góc θ, giá trị tọa

độ x,y là hàm của θ được gọi là phương trình tham số của đường tròn:

x = x(θ) = cos(θ) ; y = y(θ) = sin(θ), trong đó θ được gọi là tham số của đường tròn

Hình 1.11 Điểm M nằm bên trái tâm đường tròn đơn vị

Tham số khác của đường tròn đơn vị Chọn góc α được hợp thành giữa

PM và OX, trong đó M là giao điểm bên trái giữa trục OX và đường tròn, ta có:

đặt tgα = t Ta có x(t), y(t) như sau:

x = x(t)= 1- t

2

1+t2 ;

y = sin2α = 2tgα

1+tg2α nên y = y(t) =

2t1+t2

Các phương trình trên là phương trình tham số biễu diễn đường tròn đơn vị dưới dạng toán học và được gọi là dạng da thức tỉ lệ, vì mỗi phương trình được định nghĩa như là tỉ lệ của đa thức theo tham số t

Đường cong trong không gian 3D được biễu diễn dưới dạng phương trình tham số như sau:

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)

Để thuận lợi, chúng ta dùng ký hiệu vectơ khi biểu diễn đường cong trong không gian 3D theo hệ tọa độ Đềcac như sau:

r(t) = (x(t); y(t); z(t)) Trong mặt phẳng mỗi đoạn cong dễ dàng biểu diễn bởi một phương trình

ẩn hoặc tường minh ở một khoảng xác định của tham số Nhưng một đường cong trong không gian không thể biểu diễn bằng một phương trình, bởi vì đường cong được tạo ra nhờ giao của hai mặt vì vậy phương trình đường cong phải là phương trình chứa cả hai phương trình bề mặt viết dưới dạng ẩn có dạng g(x,y,z) = 0

- Tốc độ chảy đường cong : flow rate of a curve

Tốc độ chảy ṡ(t) của đường cong bằng độ lớn đạo hàm của vectơ ṙ(t):

ṡ(t) = |ṙ(t)|

Tốc độ chảy không là tính chất của đường cong nhưng cho phép dễ dàng biểu diễn đường cong dưới dạng tham số

- Véctơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong

Đặt độ dài s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), độ dài đường cong được xác định như sau:

s = ∫ |ṙ(t)|0s dt

Ký hiệu T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t), T được định nghĩa như sau :

T = ds

dt nên T =

ṙ(t)

|ṙ(t)|

- Độ cong của đường cong

Ta có s và T là tham số của đường cong, T là véctơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) thì độ cong k của đường cong được định nghĩa như sau:

''

(1+y'2)

2 3

trong đó: y'' = dy

'

dxvà y' =

dydx

- Véctơ pháp tuyến chính của đường cong

Lấy vi phân tiếp tuyến T theo t sau đó chuẩn hóa ta nhận được vectơ N, vectơ này được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong Vectơ N được xác định như sau:

N=

dT dt

|dT

dt|=

dT ds

|dT

ds|

Vectơ T là vectơ đơn vị nên T.T = 1 và vectơ pháp tuyến N trực giao với vectơ tiếp tuyến T Mặt phẳng xác định bởi T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp Vectơ thứ ba trực giao với cả vectơ N và T được gọi là vectơ trực giao kép B:

B = TxN

- Bán kính cong của đường cong

Đường tròn trong mặt phẳng mật tiếp đi qua một điểm trên đường cong r(t) thì được gọi là đường tròn mật tiếp Độ cong của đường cong r(t) tại điểm tiếp xúc với đường tròn mật tiếp bằng độ cong của đường tròn mật tiếp

Nếu gọi ρ là bán kính của đường tròn mật tiếp, bán kính cong của đường tròn khảo sát r(t) được tính theo công thức :

ρ = 1

k, trong đó k là độ cong

- Độ xoắn của đường cong

Độ xoắn τ của đường cong 3D được định nghĩa như sau:

τ = -dB

ds N Trong đó B và N tương ứng là vec tơ trực giao kép và vec tơ pháp tuyến chính

Hình 1.12 Vectơ pháp tuyến chuẩn và đường tròn mật tiếp

T r(t)

N

Đường tròn mật tiếp Mặt phẳng mật tiếp

Các phương trình biểu diễn tính chất của đường cong trong không gian 3D được gọi các phương trình Serret – Frenet, gồm các phương trình sau:

• Phương trình vectơ tiếp tuyến

|dTdt| =

dT ds

|dTds| hay |dT

ds| =

dTN.ds

thay vào biểu thức k = |𝑑𝑇

b, Biểu diễn các mặt

Bất kỳ vật thể vật lý nào cũng đều giới hạn bởi các mặt, ví dụ chi tiết thường gặp trong chế tạo máy là trục trơn Trục trơn được giới hạn bởi hai bề mặt : mặt phẳng và mặt trụ tròn xoay Phương trình toán học mô tả mặt của vật thể biểu diễn dưới các dạng sau: dạng ẩn, dạng tham số, dạng tường minh

- Mặt được biểu diễn bằng phương trình ẩn

Xét hình cầu bán kính r =1, tâm trùng với gốc của hệ tọa độ Đềcac Các điểm nằm bên trong hình cầu thỏa mãn phương trình:

- Mặt được biểu diễn bằng phương trình tham số

Trong hình học vi phân, mặt được định nghĩa là ảnh của phép ánh xạ từ một tập hợp các điểm lên một mặt phẳng vào không gian 3D và được mô tả như sau:

r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), trong đó u, v là tham số của mặt

Với hình cầu đơn vị như trên hình 1.13, bằng cách coi u, v tương ứng là các kinh độ và vĩ độ của mặt cầu ta có phương trình ẩn là:

r(u, v) = (cos v.cos u, cos v.sin u, sin v) với 0 ≤ u ≤ 2π và –π ≤ v ≤ 𝜋

2

- Mặt được biểu diễn bằng phương trình không tham số

Khi miền của mặt nằm trong tọa độ xy của hệ tọa độ Đềcac thì phần mặt được biễu diễn bởi phương trình r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) trở thành dạng phương trình không tham số với u ≡ x, v ≡ y:

R(u,v) = (u, v, z(u,v)) hoặc z = z(x,y) Nếu chỉ xét bán cầu trên của hình cầu đơn vị, phương trình biểu diễn dưới dạng không tham số như sau:

z = (1 – x2 – y2)12 với x2 + y2 ≤ 1 Nếu bề mặt được xácđịnh trên một vùng giới hạn thì nó được gọi là mảng mặt hay một mảng Sắp các mảng theo điều kiện nào đó để các mảng trở nên liên tục với nhau tạo thành một mặt, mặt này gọi là mặt ghép

- Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt

Khảo sát một đường cong tham số u(t) Trên miền mặt phẳng u, v của mặt tham số r(u,v) trên hình viết dưới dạng ma trận:

u(t) = |𝑢(𝑡) 𝑣(𝑡)|𝑇

khi đó ảnh của u(t) qua ánh xạ đường cong r(t) nằm trên mặt r(u, v) sao cho:

r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t), y(u(t), v(t), z(u(t), v(t))

Hình 1.14 Đường cong trên bề mặt và mặt phẳng tiếp tuyến

Nếu cho u(t) = t và v = v0 hoặc v(t) = t, u = uo thì phương trình là đương cong đơn tham số

- Vectơ tiếp tuyến của mặt

Đạo hàm riêng phương trình mặt r(u, v) theo u ta nhận được tiếp tuyến ru(u,v) và đạo hàm riêng r(u,v) theo v ta được tiếp tuyến thứ hai rv(u,v) Hai vectơ đơn tham số được xác định như sau :

- Vectơ pháp tuyến của mặt

Vectơ pháp tuyến đơn vị n là vec tơ vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến với mặt tại điểm khảo sát Vectơ pháp tuyến đơn vị được xác định bằng cách chuẩn hóa vectơ tích có hướng của vectơ tiếp tuyến ru(u,v), rv(u,v) chia cho độ dài của tích có hướng của hai vectơ ru(u,v), rv(u,v) :

n = ru x rv

|ru x rv|Vec tơ pháp tuyến đơn vị có vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát mặt

ví dụ, vec tơ pháp dùng để xác định khoảng cách từ mặt khảo sát ra(u,v) đến gốc tọa độ Khoảng cách mặt ra(u,v) tới gốc tọa độ được xác định như sau:

ra(u,v) = r(u,v) + dn(u,v) Vectơ pháp tuyến N của mặt ẩn g(x,y,z) = 0 cho bởi công thức:

Còn vectơ pháp tuyến đơn vị n xác định theo vec tơ pháp tuyến N của mặt được xác định như sau:

Trong đó A = [ru rv] và u̇ = du(t)

d(t) = (dudtdvdt) = [u̇ v̇]T và môđun của vectơ tiếp tuyến được tính như sau:

G = ATA = [ru.ru ru.rv

ru.rv rv.rv]

Do đó vectơ tiếp tuyến đơn vị T là: