SỬ DỤNG PHẦN mềm MAPLE để GIẢI các bài TOÁN về NGUYÊN hàm và TÍCH PHÂN

KHOA TOÁN --- PHẠM THỊ HÒA NHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3 GV HƯỚNG DẪN:

KHOA TOÁN -

PHẠM THỊ HÒA NHI

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

GV HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

HUẾ, 10/2014

ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN -

PHẠM THỊ HÒA NHI

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

GV HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

HUẾ, 10/2014

iii

LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình học phổ thông, môn Toán là một môn học khó không những đối với người dạy mà còn cả người học Với sự phát triển của khoa học công nghệ, có rất nhiều phần mềm ra đời như: Cabri 2D & 3D, Mathematica, GSP…hỗ trợ đắc lực trong việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy và học môn Toán, đem lại chất lượng và hiệu quả học tập tốt hơn

Maple cũng là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong hầu hết các nội dung của môn Toán trong nhà trường phổ thông Với khả năng tính toán, minh họa của mình, Maple là một công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu, giảng dạy và học tập môn toán

Với mong muốn đem lại cho các bạn độc giả tài liệu nghiên cứu, sử dụng phần mềm maple trong dạy và học Toán, trong khuôn khổ nội dung của bài tập lớn này, tôi xin đề cập đến việc sử dụng phần mềm Maple 16 để giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân trong chương trình học phổ thông Hi vọng đây là tài liệu thiết thực, hữu ích cho những ai quan tâm trong việc ứng dụng công nghệ thông tin để dạy-học chuyên đề Nguyên hàm-Tích phân

Do thời gian thực hiện còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung từ phía độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn

Huế, 10/2014 Người thực hiện Phạm Thị Hòa Nhi

1

MỤC LỤC

Chương I: Giới thiệu về Maple 2

I Giới thiệu về Maple 16 2

II Làm việc với Maple: 2

III Một số quy ước, kí hiệu và chú ý trong Maple: 6

Chương 2: Cơ sở lí thuyết 8

I Nguyên hàm: 8

II Tích phân: 8

Chương 3: Ứng dụng của Maple trong các bài toán Nguyên hàm-Tích phân 10

I Tính nguyên hàm, tích phân: 10

II Ứng dụng Maple trong các bài toán ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay: 12

1 Vẽ đồ thị trong Maple: 13

2 Tính diện tích hình phẳng: 14

3 Thể tích khối tròn xoay: 16

KẾT LUẬN 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

2

Chương I: Giới thiệu về Maple

I Giới thiệu về Maple 16

Maple là một hệ thông tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ của công ty Warterloo Maple Inc (http://www.maplesoft.com) Maple ra đời năm 1991 đến nay đã phát triển đến phiên bản 18 Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy đươc trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt, đặc biệt

có trình trợ giúp (help) rất dễ sử dụng Maple cung cấp ngày càng nhiều các công

cụ trực quan, các gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tính toán ở trường phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn Với phần mềm này, người học có thể giải quyết các bài toán với sự giúp đỡ của nó, giúp cho việc tự học, tự kiểm tra, tự nghiên cứu được thuận lợi hơn

II Làm việc với Maple:

Sau khi cài đặt thành công, biểu tượng của Maple sẽ được đặt trên màn hình Destop, kích đúp chuột vào biểu tượng để vào giao diện làm việc của Maple Maple

có hai chế độ giao diện chính đó là “Document” và “Worksheet” Các chức năng

và đặc tính của Maple trên hai chế độ này là như nhau, chúng chỉ khác nhau ở một điểm chủ yếu là vùng nhập dữ liệu vào

a Chế độ Document:

Là chế độ mặc định khi khởi động Maple Chế độ này sử dụng khối văn bản

(document block) là vùng nhập dữ liệu mặc định Một khối văn bản được xác định bởi hai tam giác nằm trên cột phía bên trái (Markers) của trang làm việc

Nếu không thấy cột Markers thì vào menu View\Markers Bằng cách sử dụng menu ngữ cảnh (context menu) trong chế độ làm việc này, bài toán có thể giải dễ

dàng nhờ một vài lệnh gợi ý trong menu và cú pháp để giải bài toán sẽ bị ẩn Ví dụ:

3

b Chế độ Worksheet:

Chế độ này sử dụng dấu nhắc lệnh trong vùng nhập dữ liệu Dấu nhắc lệnh có dạng

Khi sử dụng menu ngữ cảnh trong chế độ này, tất cả các cú pháp sẽ được hiển thị Ví dụ:

Để làm việc ở chế độ Worksheet, vào menu File chọn New\ Worksheet Mode

*) Một trang làm việc (Worksheet) của Maple có thể bao gồm những thành phần

cơ bản như sau:

1 Cụm xử lí (Execution Group)

2 Lệnh và kết quả tính toán của Maple

3 Mục (Section)

4 Đồ thị (Graph)

5 Siêu liên kết (Hyperlink)

6 Văn bản và đoạn văn bản (Text và paragraph)

c Nhập công thức ở chế độ 2-D:

Trong Maple, định dạng mặc định cho việc nhập các biểu thức toán là chế độ 2-D Cách hiển thị các biểu thức giống như cách viết bình thường trong sách vở Việc nhập công thức toán ở chế độ 2-D có thể thực hiện bằng bàn phím và cú pháp lệnh

hoặc cũng có thể dùng các bảng công thức (Palettes)

- Các thao tác cơ bản:

Việc nhập các biểu thức toán như: 𝑥 𝑦, 𝑥2− 𝑥, … hoàn toàn tự nhiên và được thực hiện theo thứ tự đã biết trong môi trường 2-D Math

 Nhập phân số:

1 Nhập số

4

2 Nhấn phím /

3 Nhập mẫu số

4 Nhấn phím mũi tên phải (→) để ra khỏi mẫu số

 Nhập số mũ

1 Nhập cơ số

2 Nhấn phím ^

3 Nhập vào số mũ

4 Nhấn phím mũi tên phải (→) để ra khỏi việc nhập mũ

 Nhập phép nhân

1 Nhập thừa số thứ nhất

2 Nhấn phím (*), hiển thị trong 2-D Math là dấu chấm “.”

3 Nhập vào thừa số thứ hai

Ngoài ra, trong quá trình làm việc trên Maple, ta gặp các thanh công cụ khác như

hình minh họa dưới đây:

Text tools (thanh công cụ xử lí văn bản)

Math tools (thanh công cụ cho phép chọn các chế độ nhập công thức toán)

Drawing tools (thanh công cụ vẽ hình)

2-D Plot tools (thanh công cụ vẽ đồ thị 2 chiều)

5

3-D Plot tools (thanh công cụ vẽ đồ thị 3 chiều)

Animation tools (thanh công cụ thao tác với hình ảnh động)

 Nhập các biểu thức đầu vào:

+ Môi trường Math:

là môi trường mặc định trong giao diện Maple với cách hiển thị các biểu thức đầu

vào ở dạng 2-D Lưu ý khi nhập công thức ở môi trường Maple Input thì cuối công

thức phải có dấu “;”

Ở môi trường 2-D Math ta có thể nhập công thức từ các bảng công thức dễ dàng

hơn mà không phải nhớ cú pháp lệnh Điều này làm giảm các sai sót và cản trở về

ngôn ngữ

+ Lênh và các gói lệnh:

Maple có trên 4000 lệnh thuộc đủ các lĩnh vực của toán học và lập trình nhiều

lệnh của Maple được gọi là lệnh cấp cao (top-level command) được lưu trữ trong

các gói lệnh (packages)

Các lệnh của Maple: Thông thường, những lênh cơ bản hay gặp có sẵn khi khởi

động Maple và có thể dùng bất kì lúc nào Ví dụ: solve, int, exp, sin, cos,… Để có

thể xem toàn bộ danh sách các lệnh thường dùng ta có thể tham khảo Index of

functions trong phần trợ giúp

6

Các gói lệnh (packages): Các gói lệnh là nơi chứa các lệnh Thông thường, để

dùng một lệnh ta phải biết gói lệnh chứa nó và gọi gói lệnh ra trước bằng một trong hai cách sau:

Dùng lệnh: with(<tên gói lệnh>);

Từ menu Tools chon Load Package và chon gói lệnh cần dùng Một số gói lênh

thường dùng:

plots: chứa các lệnh về vẽ đồ thị hàm số

plottools: chứa các lệnh liên quan đến dạng hình học của các vật thể

Student: gồm các lệnh cho việc tính toán cơ bản trong chương trình học của sinh

viên

…

d) Hệ thống trợ giúp của Maple:

Hệ thống trợ giúp là nguồn tài nguyên giúp ta học các cú pháp lệnh và các thuộc tính của nó một cách dễ dàng

Để vào hệ thống trợ giúp của Maple ta chọn menu Help\Maple Help hoặc nhấp

chuột vào biểu tượng trên thanh công cụ Ngoài ra, để tra cứu một lệnh nào đó thì ta có thể thực hiện nhanh trên giao diện là việc bằng cách đặt con trỏ tại lệnh

cần tra cứu và nhấn phím F2 hoặc dùng lệnh :?<từ cần tra cứu”, rồi nhấn enter

III Một số quy ước, kí hiệu và chú ý trong Maple:

 Các hàm sơ cấp(sin, In…) được viết trực tiếp trong dòng lệnh, nhưng phải lưu ý là biến số phải để trong ngoặc đơn; hàm tang không viết là tg(x) mà viết là tan(x), hàm arctang(x) không viết là arctg(x) mà viết là arctan(x), hàm cotang(x) không viết là cotg(x) mà viết là cot(x), hàm e x viết là exp(x),

số e viết là exp(1); căn bậc hai của x viết là sqrt(x).

 Số 𝜋 có dùng kí hiệu “pi” hoặc “Pi”, do Maple phân biệt chữ hoa và chữ

thường nên khi viết, chẳng hạn sin(pi) và sin(Pi) sẽ cho kết quả trên màn

hình khác nhau về hình thức

7

 Mỗi lệnh được viết trên một dòng với độ dài tùy ý; có thể ngắt dòng bằng

cách nhấn tổ hợp phím Shift+Enter

 Cần viết các lệnh theo thứ tự trước sau, vì lệnh sau có thể dùng kết quả của lệnh trước

 Để xem gợi ý lệnh hay kí hiệu ta nhấn phím Esc hoặc nhấn tổ hợp phím

Ctrl+space

 Dữ liệu trong Maple có thể được trích xuất thành các định dạng khác như

Latex hay HTML bằng cách File\Export

 Để xóa các biến trong bộ nhớ, ta dung lệnh restart

8

Chương 2: Cơ sở lí thuyết

I Nguyên hàm:

Cho hàm số 𝑓 xác định trên 𝐾, 𝐾 là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng nào đó Hàm 𝐹 được gọi là nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 nếu 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) với mọi 𝑥 thuộc 𝐾

Định lí: Giả sử hàm số 𝐹 là một nguyên hàm của hàm số 𝑓 trên 𝐾 Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số 𝑦 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 cũng là một nguyên hàm của 𝑓 trên

𝐾

+ Ngược lại, với mỗi nguyên hàm 𝐺 của 𝑓 trên 𝐾 thì tồn tại một hằng số 𝐶 sao cho 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 với mọi 𝑥 thuộc 𝐾

Từ định lí ta thấy, nếu 𝐹 được gọi là nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 thì mọi nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 đều có dạng 𝐹(𝑥) + 𝐶 với 𝐶 ∈ ℝ Vậy 𝐹(𝑥) + 𝐶 với 𝐶 ∈ ℝ là họ tất

cả các nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾

Họ tất cả các nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 được kí hiệu là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Vậy

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑣ớ𝑖 𝐶 ∈ ℝ

Vậy (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)′ = 𝑓(𝑥)

Một số tính chất của nguyên hàm:

Nếu 𝑓, 𝑔 là hai hàm số liên tục trên 𝐾 thì:

∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

với mọi số thực 𝑘 ≠ 0 ta có ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥

II Tích phân:

1 Khái niệm:

Cho hàm số liên tục trên 𝐾 và 𝑎, 𝑏 là hai số bất kì thuộc 𝐾 Nếu 𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 thì hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) được gọi là tích phân của 𝑓 từ 𝑎 đến

𝑏 và kí hiệu là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏

9

Người ta còn kí hiệu 𝐹(𝑥)|𝑎𝑏 để chỉ hiệu số 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Vậy nếu 𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓 trên 𝐾 thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 =𝐹(𝑥)|𝑎𝑏

trong đó: 𝑎, 𝑏 là hai cận tích phân, số 𝑎 là cận dưới, số 𝑏 là cận trên, 𝑓 là hàm số dưới dấu tích phân, 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 là biểu thức dưới dấu tích phân và 𝑥 là biến số lấy tích phân

Định lí: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [a,b] Khi đó, diện tích

S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏

2 Ứng dụng của tích phân:

2.1 Tính diện tích hình phẳng:

Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [𝑎, 𝑏] Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑎𝑏

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 là 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝑎𝑏

2.2 Thể tích của vật thể:

Cho một vật thể trong không gian tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục 𝑂𝑥 tại hai điểm 𝑎, 𝑏 Gọi 𝑆(𝑥) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 𝑂𝑥 tại điểm có hoành độ bằng 𝑥 (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏)

Giả sử S=S(x) là một hàm số liên tục Người ta chứng minh được rằng thể tích V của vật thể B là: 𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏

Thể tích khối tròn xoay: Một hình phẳng quay xung quanh một trục nào đó tạo nên

một khối tròn xoay

Tải bản FULL (25 trang): bit.ly/2KK7Xup

Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

10

+ Cho 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm trên [𝑎, 𝑏] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V của khối tròn xoay đó là:

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓𝑎𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥

+ Cho 𝑥 = 𝑔(𝑦) liên tục, không âm trên [𝑐, 𝑑] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số 𝑥 = 𝑔(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V của khối tròn xoay đó là:

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑔𝑐𝑑 2(𝑦)𝑑𝑦

Chương 3: Ứng dụng của Maple trong các bài toán Nguyên hàm-Tích phân

I Tính nguyên hàm, tích phân:

Để tìm nguyên hàm hoặc tích phân xác định của hàm số 𝑓(𝑥), ta sử dụng lệnh int

Lệnh Int sẽ cho ra công thức của tích phân

int( expression , x , options )

int( expression , x=a b , options )

Trong đó:

- expression: biểu thức đại số

- x: biến lấy tích phân

- a, b: cận lấy tích phân

- options: tùy chọn

Tải bản FULL (25 trang): bit.ly/2KK7Xup

Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

11

Bên cạnh đó, các kỹ thuật tích phân như đổi biến số hoặc tích phân từng phần cũng

được Maple tích hợp trong gói lệnh IntegrationTool

Ví dụ:

4869672