BÀI TẬP HÌNH HỌC ĐẦU TIÊN TRONG ĐỜI Đinh Văn, Lâm Hà, 25/8/2020 Lưu ý :Trong file này sẽ không có lời giải của hầu hết các bài toán và chỉ có hình vẽ của chúng để gợi ý cho các bạn đọc
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC ĐẦU TIÊN TRONG ĐỜI
Đinh Văn, Lâm Hà, 25/8/2020
Lưu ý :Trong file này sẽ không có lời giải của hầu hết các bài toán và chỉ có hình vẽ của chúng để gợi ý cho các bạn đọc về các điểm dấu kín cũng như giúp cho việc tự tìm tòi mày mò các lời giải hay ho hơn cho bài toán cũng như đỡ bí tắc khi gặp khó khăn
1, Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B,C cố định và A di chuyển trên cung
lớn BC J là tâm bằng tiếp đỉnh.AJ cắt (O) tại K Đường tròn đường kính JD
cắt (O) tại K Trên BK,CK lấy M,N sao cho MB=MJ, NJ=NC Chứng
minh rằng MN đi qua một điểm cố định
Hint : Bài toán chủ yếu thiên về biến đổi góc nhưng t cần phải nhận ra được điểm có định cần tìm là S- Trung điểm BC và sử dụng được điểm A’ bị dấu trong đề bài và nên biết về đường đối trung ( về định nghĩa và vài tính chất liên quan) nếu không làm không ra đâu
2, Cho tam giác ABC có D chuyển động trên BC Đường tròn (D,DA) cắt lại CA,AB tại E,F
Gọi M,N là trung điểm BE,CF Chứng minh rằng (DMN) đi qua một điểm cố định
Trang 2Hint: Chú ý về các điểm bị đề bài dấu, Bài này không cho quá nhiều dữ kiện nên ta phải dựng thêm và khi đó sẽ sử dụng định lý pascal để chứng minh nó thẳng hàng phục vụ mục đích chứng minh đồng viên bằng biến đổi góc
3,Tam giác ABC có L,M,N lần lượt là trung điểm BC,CA,AB.Đường tròn qua B,M tiếp xúc BC cắt LM tại
E, Đường tròn qua C,N tiếp xúc LN tại F MN cắt EF tại K.Chứng minh rằng
AK vuông góc với đường nối trực tâm tam giác BC và trực tâm tam giác LMN
Hint: Chú ý rằng O là trực tâm tam giác LMN và bài này từ giả thiết đến yêu cầu chứng minh đều khiến ta liên tưởng đến trục đẳng phương và đường tròn Ơle với tâm là trung điểm OH Gợi ý biến đổi :Gọi E' là giao của ML và B'C'
Ta có /B'EM=(C'L-B'M)/2=/NC'L-/B'C'M=/MC'L-/B'C'M=/LNM
suy ra NFME' nội tiếp suy ra E trùng E' tượng tự F trùng F'
Trang 3C',F,B',E thẳng hàng
4,Cho tam giác ABC có tâm nội I D chuyển động trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa I thỏa mãn /BDC=/BIC DB,DC cắt CI,BI tại M,N
1, Chứng minh rằng trung điểm T của MN Chuyển động trên một đường thẳng cố định
2,Trên đường thẳng D vuông góc với IT lấy E,F sao cho TE//AB,TF//AC Chứng minh rằng trung tuyến đỉnh T của tam giác TEF đi qua một điểm có định
1,
2,
Hint: ở ý 1, thì ta khá là khó nhận ra được đường thẳng cố định là DE và câu 1 cũng sử dụng tới một
bổ đề khá là quen thuộc và dễ chứng minh:”Tam Giác ABC ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc AB,AC tại E,F IC cắt EF tại U thì BU vuông góc với IC và IB cắt EF tại V thì CV vuông góc với IB” và sau đó thì chúng ta chỉ cần một vài biến đổi tỉ số đơn giản đưa về menelaus là xong bài
Ý 2 thì nhìn và có vẻ sẽ khá cồng kềnh như từ các yếu tố song song và vuông góc nhưng từ những điều đó ta nghĩ ngay tới hàng điểm điều hòa và từ có có thể chỉ ra A là điểm cố định cần tìm ( à thực
ra đó mới là ý tưởng chứ tôi chưa có thời gian để ngồi ngẫm cũng như đã ngẫm mà chưa ra nên hi vong bạn đọc có thể giúp thôi hoàn thành việc chứng minh nó)
5,Cho tam giác ABC, D thay đổi trên phân giác /BAC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và ABD cắt AB,AC tại E,F.Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp đỉnh K của tam giác KBE và tam giác KCF Chứng minh răng trung trực IJ đi qua một điểm cố định
Trang 4Thật sự thì ban đầu tôi cũng chả biết làm mặc dừ cũng học hình khá lâu và cũng có một tí kinh nghiệm nhưng vẫn bị bài toán này hành lên hành xuống cho đến khi gặp được” bản chất ”của nó
Trang 66, Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F Lấy M,N thuộc BC sao cho EM,FN // AD Lấy K sao cho MK//BI,NK//CI Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK đi qua trung điểm EF
Bài này thực chất ra không khó Chỉ cần chúng ta ngồi một tí là có thể nhận ra bài này cái “key” của
nó là nằm ở đâu Với tôi có lẽ là việc chỉ ra đường thẳng nối trung điểm EF với M,N lần lượt đi qua trung điểm IB,IC nhưng tôi không chứng minh được nó và phải nhờ các idol trên Gr trao đổi toán trên facebook và sau đây tôi xin được để lại lời giải đó tại đây ( vì tôi lười trình bày lại) và tôi cũng hi vọng bạn đọc có thể sáng tạo ra các cách giải mới hay ho hơn (P/s: cách giải của thầy khá thú vị và khiến tôi phải thẩm đi thẩm lại khá nhiều lần mới hiểu được tinh hoa trong nó)
7,Cho tam giác ABC có đường tròn bàng tiếp đỉnh B tiếp xúc BC,CA,AB tại E,H,M và đường tròn bàng tiếp đỉnh C tiếp xúc CB,BA,AC tại F,K,N Gọi G là giao điểm của HK và MN.(GHN) cắt (GKM) tại T Chứng minh TB=TC
Trang 7Hint: Chú ý hình gây ra sự lú cực mạnh cho mấy ai chưa biết tới chuyển đổi mô hình trong hình học
và với trường hợp đó thì nên đọc bài viết sau của thầy Đào Sơn Trà : https://geosiro.com/?p=6404
Đọc xong sẽ có thêm hiểu biết và có thể làm bài này nhẹ nhàng, dễ hiểu hơn
À thật ra còn ý 2 nhưng đã bị tôi lược đi vì nó có thể gây mù cực mạnh cho những ai mới bắt đầu học hình
Thêm một tí gợi ý cho bài hình là K,N đối xứng qua JbJc, H,M đối xứng qua JbJc nên G thuộc JbJc (nhớ chứng minh) còn việc chứng minh tiếp là của các bạn nhá
8,Cho hình thâng cân ABCD nội tiếp (O) có đáy lớn BC Trung tuyến đỉnh A của tam giác ABC cắt (O) tại L DL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác (BOC) tại G nằm trên cung BC chứa O Kẻ DH vuông góc BC,GH cắt lại (BOC) tại K Gọi M,N là giao của KB,KC với (KAC) và (KAB) Chứng minh rằng BM=CN Thật sự thì tôi chưa giải được bài toán này vì có lẽ khá khó để chỉ ra được BM=CN chỉ với các phép biến đổi tỉ số thông thường và tôi trong quá trình ngẫm nghĩ được tìm tòi được một số kết quả khá hay mà có lẽ nó sẽ có một lợi ích quan trong trong việc giải quyết bài toán
Và có lẽ khi nào có kết quả tôi sẽ cập nhật sau cho các bạn
9, Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi E là giao của AB và CD,F là giao của AD và BC
Dựng hình bình hành ECFK Trên EF lấy H sao cho /BAH=/DAK Gọi G là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng /AHG=/CHG
Trang 8Hint : bài này không khó và có nhiều cách giải nhưng mấu chốt làm là phải chỉ ra được H là điểm Miquel bằng cách chứng minh tứ giác nội tiếp Các bạn có thể có nhiều cách giải hay hơn từ đó còn cách giải của tôi khá cồng kềnh khi gọi 2 điểm mặc dù nó không quá xấu nhưng sẽ gây khó hiểu cho mấy bạn mới học hàng điểm khi chưa nhanh nhạy trong cấu hình tứ giác toàn phần
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Có A0,B0,C0 lần lượt là trung điểm cung BAC,CBA,ACB Gọi D,E,F lầ lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC,CA,AB.A0E cắt (O) và B0D tại M,P A0F cắt (O) và C0D tại N,Q Đường tròn qua A,O là trung điểm L của MN cắt lại O tại K Chứng minh rằng A0K.QE.PF đồng quy
Bổ đề Cho tam giác ABC Đường tròn đi qua A,O và trung điểm M của BC cắt (O) tại K thì AK là đường đối trung của tam giác ABC
Chứng minh:
Trang 9Quay lại bài toán:
