Ngọc huyền LB công thức giải nhanh hàm số

CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Vấn đề 01: Số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.. Trong các tiếp tuyến của  C tiếp tuyến tại điểm uốn là

CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Vấn đề 01: Số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Số điểm cực trị của hàm số y f x  bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y f x và số nghiệm đơn  

(nghiệm bội lẻ) của phương trình f x 0. Hay nói cách khác: Bằng tổng số điểm cực trị của hàm số

 



y f x và số lần đổi dấu của hàm số y f x  

2 Số điểm cực trị của hàm số y f x  bằng 2a1, trong đó a là số điểm cực trị dương của hàm số

 



y f x

3 Nếu hàm số y f x có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số   y f x và đường thẳng   y0 có tối đa n1 giao điểm Từ đó hàm số y f x  có tối đa 2n1 điểm cực trị

Vấn đề 02: Hàm số bậc ba y = f x =ax +bx +cx+d, a 0   3 2    có đồ thị   C

1 Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị:  y b23ac0

2 Hàm số đồng biến trên khi      



  



2

3 0, 0

0, 0

a b c và nghịch biến trên khi      



  



2

3 0, 0

0, 0

3 Đồng biến trên đoạn có độ dài :  

   

 2 1

0

a

x x và nghịch biến trên đoạn có độ dài :  

   

 2 1

0

a

4 Phương trình đường thẳng qua hai cực trị:   

2

a a , hay       . 

18

f x f x

y f x

a

5 Định lí Vi-et với hai điểm cực trị: 1 2 

3

b

a và 1 2

3

c

x x

a

6 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:  4e16e3

d

a , trong đó



 2 3 .

9

e

a

7 Nếu hàm số   3 2  

0

y f x ax bx cx d a có hai điểm cực trị là x x thì: 1, 2

a Hàm số y f x có n điểm cực trị: +   n 5 f x   1 f x2 0

+ n 3 f x   1 f x2 0

b Hàm số y f x có n điểm cực trị: +   n 5 PT y 0 có hai nghiệm dương phân biệt

+ n 3 PT y 0 có hai nghiệm x x : 1, 2 x1 0 x 2

8 Trong các tiếp tuyến của  C tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi , a0; và

là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi a0

9 Điều kiện để hàm số có

a hai điểm cực trị x x1, 2 trái dấu là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt trái

dấu, tức ac0

b hai điểm cực trị x x1, 2 cùng dấu

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, tức



    









2

1 2

0 3

c

P x x

a

* Nếu hai điểm cực trị cùng dấu dương thì bổ sung thêm điều kiện  1 2  2 0

3

b

a

* Nếu hai điểm cực trị cùng dấu âm thì bổ sung thêm điều kiện  1 2  2 0

3

b

a

c hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1  x2 là x1 x2   0

d hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1x2  là   

     





     



0 0

e hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn  x1x2 là   

     





     



0 0

10 Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

a A x y A; A và B x y B; B nằm cùng phía, hoặc

khác phía so với đường thẳng :ax by c  0

* Điều kiện nằm cùng phía

ax Aby Ac ax Bby B c 0

* Điều kiện nằm khác phía

ax Aby Ac ax Bby B c 0

b nằm cùng phía, hoặc khác phía so với trục Oy

* Điều kiện nằm cùng phía: Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu hay phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 cùng dấu (công thức 6.b)

* Điều kiện nằm khác phía: Hàm số có có hai điểm cực trị trái dấu hay phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 trái dấu (công thức 6.b)

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

e hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục Ox

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x và y CĐ.y CT 0;

hoặc đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân

biệt  Phương trình hoành độ giao điểm

 0

f x có ba nghiệm phân biêt

f hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua

đường thẳng :d y kx e  

(Gọi I là trung điểm AB thì I là điểm uốn của đồ

thị hàm số bậc ba)

là   ; 









I I

I x y d

AB d

2

2





y kx e b

a

9 Phương trình bậc 3 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi có một nghiệm là  

3

b x

a ; lập thành cấp

số nhân nếu một nghiệm là  3 d

x

a

10 Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc ba:

a Để xác định của a ta chú ý đến hình dáng của đồ thị hàm số Đồ thị đi lên ở bên phải thì a0.

Đồ thị đi xuống ở bên phải thì a0.

b Để xác định dấu của b ta chú ý vào vị trí của điểm uốn và hoành độ tương ứng là

3

b x a

 

c Để xác định dấu của c ta xét tích hai hoành độ cực trị 1 2

3

c

x x

a

 Nếu hai cực trị có hoành độ cùng

dấu thì ,a c cùng dấu và ngược lại nếu hai cực trị có hoành độ trái dấu thì , a c trái dấu

d Để xác định dấu của d ta xét vị trí tương giao của đồ thị với trục tung Oy, tại đó tung độ giao điểm chính là y d để xét dấu

y

x

K

x1x2 = c

3a

Giao Oy: y = d

Điểm uốn:

x = – b

3a

Hình dáng đồ thị cho dấu

của tham số a

O

Vấn đề 03: Hàm số bậc bốn trùng phương y f x     ax4  bx c, a 02   

1 Điều kiện có ba cực trị: ab0 (a b, trái dấu); và điều kiện có một cực trị: ab0

* Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu:  

 



0 0

a

b

* Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại:  

 



0 0

a

b

* Hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại:  

 



0 0

a

b

* Hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại:  

 



0 0

a

b

Với ab0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

tạo thành một tam giác cân tại A

2 Đặt BAĈ   thì cot2  3

b

a và



 



3 3

8 cos

8

3 Độ dài các cạnh:   42  ; 2 

16

4 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là           

0

5 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC được tính theo công thức 

4

abc R

S , bán kính đường tròn nội tiếp

là 

 

2S

r

a b c , trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.

6 Một số điều kiện về tam giác ABC

8a b 0

24a b 0

c Tam giác ABC có diện tích SABC S0 cho trước 3 2 5 

32a S b 0

y

A

O

g Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m 0 cho trước 2 

0 2 0

h Tam giác ABC có độ dài cạnh AB AC n  0 cho trước 2 2 4 

0

16a n b 8ab 0

4

b ac

6

b ac

b a ac

m Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành một hình thoi 2

2

b ac

n Tam giác ABC nhận O làm tâm đường tròn nội tiếp 3  

b a abc

o Tam giác ABC nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp 3  

b a abc

p Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC   3 2  2 

q Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng

r Tam giác ABC có các điểm cực trị cách đều trục hoành 2

8

b ac

7. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 9b2100ac

(thử lại m)

8 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần trên và diện tích phần dưới bằng nhau khi và chỉ khi 5b236ac (thử lại m)

Vấn đề 04: Hàm số phân thức y ax b , c 0;ad bc 0  

cx d





1 Tập xác định: \ ;

  

 

d D

c tiệm cận đứng: x d;

c tiệm cận

ngang: ya

c Điểm ;



d a I

c c là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

2 Hàm số đồng biến trên D nếu ad bc   0, d D

c và nghịch

biến trên D nếu ad bc 0, d D

c

   

3 Tiếp tuyến với tiệm cận

* Tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm phân thức cắt các tiệm

cận tại A và B thì M là trung điểm của AB

y

x

K

O

y

x

K

O

A

B

M

I

* Khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang: 





2

1

M

ad bc d

c cx d

* Tổng khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến hai đường tiệm cận: 



min 2 ad bc2

d

c





2

M

ad bc

IA

c cx d và IB 2 cx M d

c với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

* Diện tích tam giác IAB không đổi và S IAB 22 ad bc

* Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm E, F bất kì thuộc hai nhánh của đồ thị: 



min 2 2 ad bc2

EF

c

* Khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận

ngang k0 thì y x M 1

k

* Khoảng cách từ điểm M đến I là ngắn nhất thì y x M 1 và min 2 2

IM

c

* Điểm M thỏa mãn một trong các yếu tố: Tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ

nhất/ Khoảng cách IM ngắn nhất/ Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M đạt GTLN/ Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM/ Tam giác IAB vuông cân/ Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất/ AB nhỏ nhất/ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì

điểm M đó phải thỏa mãn tính chất        2  

1

* Các bài toán:

- Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của  C sao cho MN nhỏ nhất

- Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của  C sao cho tiếp tuyến của  C tại M, N song

song và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến lớn nhất

 Đều có chung một lời giải trắc nghiệm là giải phương trình y  1 Tìm được hoành độ của M, N

3 Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

* Tiệm cận ngang: y a

c

 Nếu tiệm cận ngang nằm trên Ox thì

0

ac còn nếu nằm dưới thì ac0

* Tiệm cận đứng x d

c

  Nếu tiệm cận đứng nằm trên Oy thì

0

cd còn nếu bên phải thì cd0

y

Vấn đề 05: Các kiến thức cơ bản về phương trình, bất phương trình

1 ax2bx c    0, x  0,a0 và ax2bx c    0, x  0,a0

2 ax2bx c    0, x 0  0,a0 hoặc a b c, , 0

2     

ax bx c x  0,a0 hoặc a b c, , 0

3 ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt dương khi  0,S0,P0

ax2  bx c 0 có hai nghiệm phân biệt âm khi  0,S0,P0

2

0

ax bx c  có hai nghiệm trái dấu khi P0

4 2

0

ax bx c  có hai nghiệm phân biệt x1x2   khi    1 2

2

        

2

0

2

2

0

ax   bx c có hai nghiệm phân biệt x1  x2 khi  0,x1 x2   0

ax2  bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1    x2 khi  

 

a f

a f

  





 

 trong đó   2

f x ax bx c

2

0

ax   bx c có hai nghiệm phân biệt x1  x2  khi  

 

a f

a f

  





 

ax2  bx c 0 có hai nghiệm phân biệt  x1  x2 khi  

 

a f

a f

  





 

ax2  bx c 0 có hai nghiệm phân biệt  x1x2  khi

 

 

1 2

2

a f

a f



  

  



   



5 m f x  có nghiệm trên D khi m minD f x ; maxD f x  ; m f x có nghiệm trên D khi   min  

D

và m f x có nghiệm trên D khi   max  

D

6 m f x , x D khi max  

D

m f x ; m f x x khi min  

D