Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳngP qua một điểm vuông góc với đường thẳng.. Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT..[r]
Trang 1CÁC DẠNG TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP& ĐẠI HỌC Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.
2 Các dạng tốn.
vuơng gĩc với đường thẳng d.
0 0 0 HD
P d
Điểm đi qua M(x ;y ;z )
Cần nhớ: MP vuơng gĩc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuơng gĩc với đt d:
x 1 2t
z 2
Bài giải
HD
P d
Điểm đi qua A(2;2-1)
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) cĩ VTPT là n P a d 2; 3;0
2x 4 3y 6 0 2x 3y 2 0
Cần nhớ:
- Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến.
1 Kiến thức cần nhớ:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của n vuơng gĩc với (P), viết tắt là n (P) .
- Nếu hai vectơ a, b khơng cùng phương cĩ giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) cĩ một vectơ pháp tuyến là: nP a,b
- Phương trình tổng quát của mp cĩ dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z ) 0 0 0 cĩ vectơ pháp tuyến
P
cĩ dạng: A x x 0 B y y 0 C z z 0 0
Cần nhớ:
- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:
0 0 0
P
một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mp
Trang 2Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d:
Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n P a d 1;2; 2
x 2 2y 4 2z 2 0
x 2y 2z 8 0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n P AC 2;0;2
x + 2z = 0 x+z=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến.
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n P BC 0; 2;2
y+4+2z=0 y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trang 3Bài giải
HD
P
Điểm đi qua là trung điểm I(2;2;2)
- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB I 2;2;2
- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) cĩ VTPT là n P AB 2;2;2
y+4+2z=0 y+2z+4=0
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuơng gĩc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Kiến thức cần nhớ:
- Trục Ox cĩ VTCP là i 1;0;0
- Trục Oy cĩ VTCP là j 0;1;0
- Trục Oz cĩ VTCP là k0;0;1
- Mp (Oxy) cĩ VTPT: n i, j k 0;0;1
- Mp (Oxz) cĩ VTPT: n i,k j 0;1;0
- Mp (Oyz) cĩ VTPT: n j,k i 1;0;0
Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuơng gĩc với trục Ox.
HD
P
Điểm đi qua M(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) cĩ VTPT là n P i 1;0;0
x-1=0
Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến.
2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuơng gĩc với trục Oy.
HD
P
Điểm đi qua M(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) cĩ VTPT là n P j 0;1;0
Trang 4
y-2=0
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến.
3 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n P k 0;0;1
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C
HD
P
Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP AB,AC
Với
nP AB,AC 1;1;1
x 1 y z 0
x y z 1 0
Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN).
Bài giải
HD
P
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP OM,ON
Trang 5Với
nP OM,ON 2;0; 2
x 2z 0
song với mp(Q)
0 0 0 HD
P Q
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là n P n Q 2;2;1
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 3 0
Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
HD
P ABC
Ñieåm ñi qua M
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP AB,AC
Với
nP AB,AC 1;1;1
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0
Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là nABC AB,AC
.
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
Trang 6Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP i, j k 0;0;1
z-3=0
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP i,k j 0;1;0
y-2=0
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP j,k i 1;0;0
x-1=0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q)
HD
Ñieåm ñi qua A
Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0
Bài giải
HD
Ñieåm ñi qua A
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
Trang 7
Q
- Mặt phẳng (P) có VTPT là : nP AB,nQ 1;13;5
x-13y-5z+5=0
Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP AB,k
=(-2;1;0)
x+y+5=0
Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua O
- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:
- Mặt phẳng (P) có VTPT là nP OA,i
=(0;1;-1)
y-z=0
Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng.
Kiến thức cần nhớ:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song với đường thẳng hoặc
trùng với đường thẳng
- Đường thẳng d qua điểm M(x ;y ;z ) 0 0 0 có vectơ chỉ phương a d a;b;c
:
Có pt tham số:
0 0 0
Trang 8Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B
HD
AB
Ñieåm ñi qua A
Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ AB .
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).
Bài giải
HD
AB
Ñieåm ñi qua A
- Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3).
- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: a AB AB
=(1;-1;1)
- Pt tham số của AB là:
0 0 0
z 3 t
Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG.
Bài giải
HD
OG
Ñieåm ñi qua O
- Ta có G(2;3;4)
- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: a OG OG
=(2;3;4)
- Pt tham số của OG là:
0 0 0
Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).
HD
d P
Ñieåm ñi qua M
Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.
Trang 9Bài giải
HD
d P
Ñieåm ñi qua M
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d n P
=(1;-2;-1)
- Pt tham số của d là:
0 0 0
z 3 t
Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC).
Bài giải
HD
d ABC
Ñieåm ñi qua O
- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad nABC AB,AC
=(1;1;1)
- Pt tham số của d là:
0 0 0
z t
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua M
- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d k
=(0;0;1)
- Pt tham số của d là:
0 0 0
z 3 t