a Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN b Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một đường tròn cố định c Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN... Tác g[r]
Trang 1GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH
Việc giải bài toán bằng nhiều cách cũng là một phương pháp học tương
đối hiệu quả Trong kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh THCS tỉnh Hà
Tĩnh năm học 2013 – 2014 có bài toán như sau:
Bài toán:
Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh CD sao cho CM = 2DM
Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD Gọi H là
chân đường vuông góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O và N lần lượt là
trung điểm của DE và BC
Chứng minh:
a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường tròn
b) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN
Sau đây tôi xin nêu một số cách giải cho câu b
Cách 1:
Gọi K là giao điểm của CE với AD
Ta có: Δ AED= ΔCED(c.g.c)
⇒ ΔADM=Δ CDK(g c g) ⇒∠MAD=∠ KCD
⇒∠ AMD=∠CKD
Mà ∠DKC=∠ KCB(so le trong)
nên ∠ AMD=∠KCB (1)
Gọi I là giao điểm của HE với BC, ta có:
CI
IB=
DE
EB=
DM
AB =
1
3 Suy ra I là trung điểm của CN
Khi đó Δ ENC cân tại E nên ∠ENC =∠KCB (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠ AMD=∠ENC
Do đó, tứ giác EMCN nội tiếp
Mà ∠NCM=900nên ∠MEN=900
Hay NE⊥ AM
Cách 2:
Đặt cạnh hình vuông bằng a Khi đó:
CN=a
2;CM=
2 a
3 ; MN=√CN2+CM2=5 a
6
Do đó: CN + CM + MN = 2a
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K, sao cho:
KB = DM Ta có: Δ ADM=Δ ABK, suy ra:
∠KAB =∠DAM do đó: ∠KAM=900
Ta có: Δ AKN= ΔAMN (c.c.c) ⇒∠MAN =∠KAN=450
I
K H
E
N
M D
C B
A
K
E
N
M D
C B
A
Trang 2Vậy tứ giác AENB nội tiếp
(Vì có ∠EAN =∠EBN=450)
Mà ∠ ABN=900nên ∠ AEN=900
Vậy NE⊥ AM
Cách 3:
Ta có: AF=2
3AN=
a√5 3
BF=1
3BD=
a√2 3
Suy ra AF
BF =
√10
2 (1) Lại có:
NF=1
3AN=
a√5
6
EF=BD − BF− ED
¿a√2−1
3a√2−
1
4a√2=
5 a√2 12
Suy ra: EFNF=√10
2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
AF
BF =
EF
NF Khi đó: Δ AFE và Δ BFNđồng dạng với nhau
⇒∠EAN =∠ EBN=450 Suy ra tứ giác AENB nội tiếp
Mà ∠ ABN=900nên ∠ AEN=900
Vậy NE⊥ AM
Cách 4:
Lấy các điểm K, P trên cạnh BC sao cho
BK = KN = NP = PC Kẻ NKI//NH//PE(hình vẽ)
Ta có: NH = AD+CM2 =5 a
6
IK = AB+NH2 =11a
12
EP= CM+ NH2 =9 a
12
NP = a4
Do đó: tan ENP=EP
NP=3
tan AMD=AD
DM=3
F
E
N
M D
C B
A
P K
I H E
N
M D
C B
A
Trang 3Suy ra ⇒∠ENP=∠ AMD
Suy ra tứ giác EMCN nội tiếp
Mà ∠NCM=900nên ∠MEN=900
Hay NE⊥ AM
Cách 5: Kẻ NK⊥ BD
Ta có: KN=1
4 AC=
a√2 4
KE=BD − BK− ED
¿a√2− a√2
4 −
a√2
4 =
a√2 2
Suy ra: KNKE = 1
2 Mà BNBA = 1
2
Do đó: Δ EKN và Δ ABNđồng dạng với nhau
⇒∠BAN =∠BEN.Suy ra tứ giác AENB nội tiếp
Mà ∠ ABN=900nên ∠ AEN=900
Vậy NE⊥ AM
Cách 6: Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác ANB
Ta có:
DE=BD
4 =
a√2
4 ⇒OE= a√2
4 AO=a√2
2
⇒AO
OE =2
DoAB
BN=2
⇒ Δ ABN ∞ Δ AOE
⇒∠ AEO =∠ANB
⇒ AEB =∠ANB
Suy ra tứ giác AENB nội tiếp
Mà ∠ ABN=900nên ∠ AEN=900
Vậy NE⊥ AM
Nhận xét: Thực chất đây là bài toán quen thuộc với những bạn thích học
toán, thậm chí bài toán có tính 2 chiều Chắc chắn còn có cách giải khác
nữa mong các bạn tiếp tục bổ sung
Trong cách 2 ta thấy CN + CM + MN = 2a Từ đây ta có thể phát biểu
bài toán tổng quát như sau:
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Điểm M trên cạnh CD sao cho
CM = m.a, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho CN = n.a Gọi E là giao
điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD
Biết rằng m+n+√m2
+n2 =2 m, n là các số hữu tỉ
Chứng minh:
O
K
E
N
M D
C B
A
O
E
N
M D
C B
A
Trang 4a) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN
b) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một đường tròn cố định
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN
Tác giả: Phan Đình Ánh
Giáo viên: Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh.
Điện thoại: 0986 381 089
Email: info@123doc.org