DE VA DAP AN THI HSG CAP TINH MON TOAN 11 CHUYEN NAM 20132014

Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu.. Chứng minh rằng phương trình.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN

Ngày thi: 29/3/2014

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4, 0 điểm)

1) Giải phương trình  2  2 

3 4sin x 3 4sin 3 x  1 2 os10 c x

2) Giải hệ phương trình

2 2



  







y

x

x xy y

Câu 2 (6, 0 điểm)

1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn

bị lên tàu Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu

2) Tìm hệ số của số hạng chứa x13 trong khai triển

3

1

4

f x   x x  x

3) Cho các số thực dương a b a,  b và hai dãy số    u n ; v n xác định như sau:

*

;

2

n n

u a v b

u v







Chứng minh rằng hai dãy    u n ; v n có giới hạn hữu hạn và limu n limv n

Câu 3 (2, 0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2a4b11c0 Chứng minh rằng phương trình

2

0

ax bx c luôn có nghiệm thuộc khoảng  0;1

Câu 4 (6, 0 điểm)

1) Cho đường thẳng  có phương trình x  y 3 0 và đường tròn     2 2

: 2  1 1

độ điểm M nằm trên đường thẳng  sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ) và đường thẳng AB đi qua điểm E3;-2

2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có 3 0

= ; ' = ; 60

2

trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'

a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A')

b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN)

Câu 5 (2, 0 điểm) Cho x y,  thỏa mãn 4 8

3



x y Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S  x y

- HẾT -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và ký)

Giám thị 2 (Họ tên và ký)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NGÀY THI 29/3/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

1.1

(2.0 điểm)

Xét sinx 0 x k k, Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn

Xét sinx 0 x k k, (*)

Nhân hai vế của phương trình đã cho với sin x

0.5

Phương trình tương đương với

5 cos 6 sin 5 0

Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là 5

,

m k m n k

0.5

1.2

(2.0 điểm)

2 2



  







y

x

x xy y

2

thỏa mãn

2

2

0.5

Xét f t t 4 t trên 0;2 , chứng minh được ( )đồng biến trên

0.5

Thay vào (1) 42 2

2 2

4

g t

t nghịch biến trên ;0 0.5

g nên y 2và từ đó x = 1

2.1

(2.0 điểm)

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là 3

5 10

Số cách chọn một toa để xếp ba người này là 1

4 4

C

Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là 2

3

A 6

Vậy xác suất cần tìm là | | 2405 15

A

2.2

(2.0 điểm)

( ) (2x+1) (2x+1) (1 2x)

Ta có

21 21

21 0

(1 2 ) k2k k

k

Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của 13 21

(2x+1) là 13 13

212

Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển thành đa thức của 13 ( ) là

13 13 13 7

1

0.5

2.3

(2.0 điểm)

Ta có

1 1

Chứng minh bằng quy nạp v1 v2 v k; u1 u2 u k

0.5

1 1 1 1

2

k k

u u v v (do u k 1 v k 1)

1 1

; 2

k k

0.5

1 2 k k 1 k 1 k 1

Vậy ( )u giảm và bị chặn dưới; ( ) n v tăng và bị chặn trên nên tồn tại n

limu n ; limv n

0.5

n n n

u

Vậy limu n limv n

0.5

2.0 điểm

Xét ( ) ax2 bx c liên tục trên đoạn [0; 1] 0.5

(0) 9 (1) 2a+4b+11c=0

3

Nếu (0) 9 1 (1) 0

3

f f f thì x = 1/3 là nghiệm thỏa mãn

Nếu (0);9 1 ; (1)

3

f f f không đồng thời bằng 0 thì trong ba số này phải có cả số

âm và số dương

0.5

Từ tính liên tục của f(x) ta được phương trình 2

0

ax bx c luôn có nghiệm 0.5

thuộc khoảng  0;1

4.1

(2.0 điểm)

Đường tròn (C) có tâm I(2; 1)

Gọi M(2m ; 2m + 3) thuộc Trung điểm của IM là E(m+1; m+ 2) 0.5 Đường tròn đường kính MI có phương trình

1

Lập luận { , }A B C1 ( )C nên đường thẳng AB:

2(m 1)x 2(m 1)y 6m 1 0 (*)

0.5

Vì AB đi qua E nên từ (*) suy ra 9

4

;

4.2a

(2 0 điểm)

O'

F

O

E

N

M

B' A'

C'

C D

A

B

D'

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết

D (ACC'A')

B Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A')

0.5

Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được EO 15

4

a

Trong tam giác BEO vuông tại O Tính được tan BEO=2 15

15 Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là 15

19

0.5

4.2b

(2.0 điểm)

Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1) 0.5 Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'

Xét tam giác ACC' và tam giác EOO' có CAC' EOO' 30 ;0 AIO 600 0.5

Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2) 0.5

Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) 0.5

2.0 điểm

Đặt a x 4;b y 8 ( ,a b 0)

2 2

3

9S+36 4

18

S

a b

S

0.5

Từ (*) và do a, b 0 nên

2

0 3 9S+36

0 18

9S+36 4

S S

(**)

0.5

Giải (**) được 6 S 12

0.5 Vậy Smin 6 khi a = b = 1 hay x = -3; y = 9

Smax 12 khi a = b = 2 hay x = 0; y = 12

0.5

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic

Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng

- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần

tương ứng