- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 29/3/2014
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (5, 0 điểm)
1) Cho (C m) là đồ thị của hàm số yx4(2m1)x22m (m là tham số) Tìm m để (C m)tiếp xúc
với trục Ox tại hai điểm phân biệt
2) Cho hàm số 2
1
x y x
có đồ thị (C) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) sao cho tam
giác OMN vuông cân tại O, với O là gốc tọa độ
Câu 2 (4, 0 điểm)
1) Giải phương trình sin 4 sin 3 sin 1
(x ) 2) Giải phương trình | 2 | 2 2 4 3
1 3
3
4 x log x 4x 6 2 x x log 2 |x 2 | 2 0 (x )
Câu 3 (4, 0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2
x y x y
( ,x y ) 2) Tính tích phân
/ 4
0 cos 2 sin 2
dx I
Câu 4 (6, 0 điểm)
1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a, BADBAA' A AD' 60 0
a) Tính thể tích hình hộp đã cho theo a
b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng đáy của hình hộp
2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z22x2y4z190
và mặt phẳng (P): x2y2z 4 0
a) Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó
b) Lập phương trình đường thẳng ( ) đi qua tâm của (S), vuông góc với đường thẳng
1
( ) : 1 2
3
z
và tạo với mặt phẳng (P) một góc 30o
Câu 5 (1, 0 điểm) Cho bốn số thực a b c, , và d thuộc đoạn 1 2;
2 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
16 a c 25 c d
T
- HẾT -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NGÀY THI 29/3/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
1.1
(3.0
điểm)
Đồ thị (C m) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
3
(2 1) 2 0 (1)
4 2(2 1) 0 (2)
0.5
* Phương trình (2) tương đương x 0 hoặc 2 2 1
x
2
m
0.5
* Với x 0 thay vào hệ phương trình ta được 0
0
m x
Vậy với m 0 thì đồ thị (C m)tiếp xúc với trục hoành tại một điểm (không thỏa mãn) 0.5
* Với 2 2 1
x
2
m
thay vào (1) ta tìm được 1
2
2
m vào hệ phương trình ta tìm được x 1 KL: với 1
2
m thì đồ thị (C m)tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt
0.5
1.2
(2.0
điểm)
Lấy hai điểm phân biệt ; 2 , ; 2 ,( 1; 1; )
Tam giác OMN vuông cân tại O khi và chỉ khi
OM ON
0.5
(3)
4
ab ab
Từ (4) suy ra a1b 1 4 hoặc ab 0
0.5
Nếu ab=0 suy ra hoặc M hoặc N trùng với O (không thỏa mãn)
Ta được hệ ( 1)( 1) 4
Giải ra ta được
5 5
= 3
a
b hoặc
5 3
=-5
a b
Vậy ta tìm được cặp điểm 1 5;5 ; 1 5;5
5; ; ;5
0.5
Trang 3Câu 2 (4đ)
2.1
(2.0
điểm)
PT đã cho tương đương với sin 4 sin (sin 3 sin ) 0
-2 cos 2 sin 2 2sin 2 cos 0
2sin 2 cos cos 2 0
6
x x x
2 2
2 6
k x
k
Kết luận nghiệm
0.5
2.2
(2.0
điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2.4 log ( 4 6) 2 log (2 | 2 | 2)
2 log ( 4 6) 2 log (2 | 2 | 2)
0.5
2 4 3 2 2| 2| 1
2x x log x 4x 6 2 x .log 2 |x 2 | 2
2x x log x 4x 6 2 x .log (2 |x 2 | 2
0.5 Xét hàm số f t( )2 logt 3t trên đoạn [2;) ta có
3
1 '( ) 2 ln 2.log 2 0, 2
ln 3
t
Suy ra f t( ) đồng biến trên [2;)
0.5
Khi đó ta có
2
( 2) 2 | 2 | 0
Giải phương trình trên được tập nghiệm của phương trình đã cho là {0; 2; 4}
0.5
3.1
(2.0
điểm)
0
x y
x y Đặt
v x y ( , u v 0) Suy ra hệ 2 2
2 2
3 2
2
2
Thế (1) vào (2) ta được
2
2
*Với u 0 v 4 (loại)
*Với v 0 u 4 suy ra x y 2 (thỏa mãn)
KL
0.5
Trang 43.2
(2.0
điểm)
/ 4
0
cos 2 sin 2
1 (tan ) 2
tan
dx I
x
0.5
Đặt tan +1 3tan , ;
2
2 2
1 tan
tan 1
cos
u
3
6
6
4.1
(3.0
điểm)
O
B' A'
C D
A
B
D'
H
a) Chứng minh được tam giác A'BD đều cạnh bằng a
Tính được thể tích
3 ' D
2 12
A AB
a
Chỉ ra được thể tích của khối hộp bằng sáu lần V A AB' D
Do vậy thể tích của khối hộp bằng
3 2 2
b) Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD Theo chứng minh trên ta có tứ diện
A'ABD là tứ diện đều suy ra A'H vuông góc với mặt phẳng (ABD)
Góc giữa A'C và mặt phẳng (ABCD) là góc A'CA
0.5
a
Tính được osA'CA 6
3
Trang 54.2a
(1 0
điểm)
Tâm I(1;1;-2); bán kính R = 5
d( ;( ))I P 3 R nên (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) bán kính r = 4 0.5 Tâm H của (C) là hình chiếu của I lên (P) (P) có VTPT n (1; 2;2)
Viết phương trình đường thẳng IH từ đó tìm được H(2;-1;0) 0.5
4.2b
(2.0
điểm)
b) Gọi u ( ; ; )a b c 0 là một VTCP của ; u1 (1; 2;0) là một VTCP của d
Góc ( ,( ))P 30o nên ( ,IH) 60o hay 1
| os( , ) |
2
2 1 ( 2) 2
7 -3 5 (**)
0.5
Từ (*) chọn a 14;b 7;c 3 35 Viết 1 : 1 1 2
Từ (**) chọn a 14;b 7;c 3 35 Viết 1 : 1 1 2
0.5
1.0
điểm
Ta có
7
3 1 3
3 1 2d
a c
2
1
1 1 3
2 2
d
c d
a b
0.25
Vậy
2
3d 2
9 2d 1
3
3
150 3d 2 2d 1 3136
2d 1
;
2 3
Suy ra ( ) đồng biến, từ đó 2
( ) ( ) 544
3
KL max T bằng 544
9 đạt được khi
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần
tương ứng