Rèn luyện cho học sinh kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán giới hạn

Hệthống bài tập về chủ đề này còn giúp học sinh củng cố các kiến thức khác,vìvậy rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết giải bài tập toán giới hạn là cầnthiết.. Với những lí do trên t

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Tổ tiên ta đã khẳng định một chân lí trên bia văn miếu Hà Nội "nhữngngười tài giỏi là yếu tố cốt tử đối với một chỉnh thể Khi yếu tố này dồi dào thìđất nước phát triển mạnh mẽ và phồn thịnh.Khi yếu tố này kém đi thì quyền lựcđất nước bị suy thoái, những người tài giỏi có học thức là một sức mạnh đặcbiệt quan trọng đối với đất nước "

Trong đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IV của đảng, đã nêu rõ: "mụcđích của cải cách giáo dục là đào tạo chất lượng tốt những người lao động mới,trên cơ sở đó đào tạo và bồi dưỡng với quy mô ngày càng lớn đội ngũ côngnhân kĩ thuật và cán bộ quản lí, cán bộ khoa học kĩ thuật và nghiệp vụ "

Thủ tướng Phạm Văn Đồng trong bức thư gửi các bạn trẻ yêu toán (tháng10/1967) đã chỉ rõ: "trong các môn khoa học và kĩ thuật, toán học giữ một vị trínổi bật Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác, đối với kĩthuật, đối với sản xuất và chiến đấu Nó còn là môn thể thao của trí tuệ, giúpchúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suyluận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng tarèn luyện trí thông minh sáng tạo Nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đứctính quý báu khác như :cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó,yêuthích chính chính xác, ham muốn chân lí Dù các bạn phục vụ ngành nào trongcông tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần cho cácbạn "

Theo quan điểm giáo dục hiện đại : việc học tập của học sinh được diễn

ra trong hoạt động và bằng hoạt động Hình thức hoạt động toán học chủ yếucủa học sinh là hoạt động giải bài tập toán Bài tập toán có vai trò quan trọngtrong môn toán Thông qua giải bài tập toán học sinh thực hiện những hoạtđộng hình thành củng cố trí thức kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau củaquá trình dạy học, kể cả ứng dụng toán học vào thực tiễn Rèn luyện năng lựctrí tuệ như những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ Bồi

dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đứccủa người lao động mới.

Từ một số quan điểm vừa nêu, nhận thấy : quá trình dạy học ở trườngphổ thông cần chú trọng đến việc rèn luyện năng lực trí tuệ cho học sinh, đặcbiệt là rèn luyện thông qua dạy họcc môn toán.Toán học là những chặngđường, trên con đường dài của nhận thức Từ trực quan sinh động đến tư duytrừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn.Góp phần đào tạo về nhiều mặt của conngười lao động mới phát triển toàn diện

Trong chương trình toán trung học phổ thông chủ đề giới hạn đóng mộtvai trò khá quan trọng, nó là cơ sở đối với kiến thức về 2 phép tính cơ bản củagiải tích toán học là phép tính dạo hàm và phép tính tích phân Đây là một chủ

đề khó với hệ thống bài tập mà khi giải quyết đòi hỏi học sinh phải vận dụngnhiều quy tắc, định lí, phương pháp, huy động nhiều kiến thức đã học Hệthống bài tập về chủ đề này còn giúp học sinh củng cố các kiến thức khác,vìvậy rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết giải bài tập toán giới hạn là cầnthiết

Với những lí do trên tôi quyết định chọn đề tài "Rèn luyện cho học sinh

kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán giới hạn

"

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra hệ thống bài tập về giới hạn ,góp phần nâng cao hiệu quả rènluyện năng lực giải toán giới hạn cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề giải bài tậptoán chủ đề giới hạn ở trường trung học phổ thông

4 Giả thiết khoa học

 Có thể rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bàitập toán giới hạn, ở trường trung học phổ thông được hay không ? và bằng cáchnào ?

 Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa có thể rèn luyện cho học sinhnhững kĩ năng nào, của chủ đề giải bài tập toán giới hạn ?

 Nêu những phương thức có thể có để rèn luyện kĩ năng phát hiện vàgiải quyết vấn đề giải bài tập toán giới hạn

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 hệ thống hoá cơ sở lí luận, phân tích bản chất của các hình thức tổchức rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết bài toán

5.2 nghiên cứu một số phương pháp rèn luyện kĩ năng giải các dạng bàitập toán, chủ đề giới hạn cho học sinh trung học phổ thông

5.3 thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các kĩnăng rèn luyện phát hiện và giải quyết giải bài tập toán chủ đề giới hạn

6 Phạm vi nghiên cứu

Chủ đề nghiên cứu trong phạm vi sử dụng phương pháp rèn luyện kĩnăng phát hiện và giải quyết vấn đề, trong giải bài tập toán vào chủ đề cụ thểcủa chương trình trung học phổ thông

7 Ỹ nghĩa của việc nghiên cứu

Việc đề xuất các phương pháp giải bài tập về giới hạn và có hướng dẫnhợp lí sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, nâng cao kết quảhọc tập cho học sinh

8 Cấu trúc đề tài

Chương I : Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Quan điểm hoạt động trí tuệ trong giải bài tập toán

1.2 Năng lực toán học

1.3 Vị trí của chủ đề giới hạn và thực trạng của chủ đề đó hiện nay Chương II : Rèn luyện kĩ năng giải một số dạng bài tập toán chủ đề giớihạn cho học sinh

2.1 Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán giới hạn dãy số

2.2 Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán giới hạn hàm số

Chương III : Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ TRONG GIẢI BÀI TẬP TOÁN

Trong dạy học giảỉ toán, kĩ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kĩnăng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phầnkhông thể thiếu trong dạy học giải toán Trong tác phẩm của G.Pôlia ông đãđưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán

Để giải một bài toán trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải cóhứng thú để giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên giáo viên cần chú ý hướngdẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các

em, giúp các em hiểu bài toán phải giải Muốn vậy cần phải phân tích giả thiết

và kết luận của bài toán, đâu là ẩn đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện Điều kiện,

dữ kiện này liên quan tới điều gì ?có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thứckhác được không ? như vậy, ngay ở bước " hiểu rõ bài toán " ta đã thấy đượcvai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải

2) xây dựng chương trình giải

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện

rõ nét hơn, qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giảnhơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫn và dự đoán thông qua xét các trườnghợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hơn …thông qua các kĩnăng sau bằng cách đặt các câu hỏi

- Huy động kiến thức có liên quan :

 Em đã gặp bài toán này hay bài toán này ở dạng hơi khác lần nào chưa

? em ccó biết một bài toán nào liên quan không ? một định lí có thể dùng đượckhông ?

 Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự ?

 Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sửdụng kết quả của nó không ?

- Dự đoán kết quả phải tìm

 Em có thể nghĩ ra một bài toán liên quan mà dễ hơn không ? một bàitoán tổng quát hơn ? một trường hợp riêng ? một bài toán tương tự ? em có rhểgiải một phần của bài toán ?

 Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? đã sử dụng hết điều kiện chưa ? đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu của bài toán chưa ?

 Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xácđịnh đến chừng mực nào và biến đổi thế nào ?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếmhướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để những gợi ý trênthì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kĩ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả cácgiờ dạy toán Đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt độnggiải toán của mình

3) Thực hiện chương trình giải

Khi thực hiện chương trình giải, hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy

rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? có thể chứng minh là nó đúng không ?

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bàitoán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu xót gìkhông ? ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải vìvậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

 Kiểm tra lại kết qủa, kiểm tra lại suy luận

 Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

 Tìm cách giải khác cuủa bài toán : một bài toán thường có nhiều cácgiải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, nhiềukhi độc đáo và sáng tạo Vì vậy giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạocủa học sinh trong việc tìm lời giải gọn , hay của một bài toán

Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinhtrung bình và kém chán nản Tìm các sử dụng kết quả hay phương pháp giải bàitoán này cho 1 bài toán khác Đề xuất bài toán mới, có thể yêu cầu này là quácao đối với học sinh yếu kém Nhưng có thể có thể coi là một phương hướngbồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu,giáo viên có thể cho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bàitoán để áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

Hai thao tác " bổ sung " và " nhóm lại " thường hỗ trợ lẫn nhau hoạtđộng trí tuệ trong giải toán còn được thể hiện thông qua hành động " tách biệt "

và " kết hợp ".tách biệt là tách một chi tiết, một bộ phận cụ thể khỏi cái toànthể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết bộ phận này Các bộ phận cóthể gợi ý cái toàn thể, có thể dẫn tới thiết lập cái toàn thể Hành động trí tuệ "tách biệt " không thể diễn ra bên ngoài thao tác đối lập với nó Hành động trítuệ " kết hợp " sau khi đã nghiên cứu một loại chi tiết, một bộ phận hành độngkết hợp liên kết, những chi tiết, những bộ phận đã được xem xét lại với nhautrong một cái toàn thể Cái toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước, tínhhài hoà và tính thống nhất của nó rõ nét hơn Hành động " tách biệt " dẫn đếnhành động " kết hợp ",hành động " kết hợp "lại dẫn tới những hành động "tách biệt " mới Tách biệt những chi tiết mới, những bộ phận mới đó là tiếntrình suy nghĩ làm cho người giải hiểu bài toán và giải được bài toán.

Ví dụ 2 : Gọi G là trọng tâm ABC A B C1, ,1 1 lần lượt là hình chiếu của G lên BC , AC , AB cmr:

a GA b GB2 1 2 1 c GC2 1 0

Để giải quyết bài toán này ta sử dụng kết quả sau : 0 là một điểm bất kìtrong ABC, gọi S S S1, ,2 3 lần lượt là diện tích của các tam giác :OBC ,OAC , OAB Khi đó S OA S OB S OC1  2  3 0

Vấn đề đặt ra là làmthế nào người giải có thể đoán được rằng, giải quyết bài toán này cần sử dụngkết quả trên

Sau một lúc nghiên cứu người giải phát hiện ra rằng đẳng thức cần chứngminh có liên quan đến kết quả trên do nhìn thấy G nằm trong A B C1 1 1 khi

đó người giải tách bộ phận này ra, tập trung chú ý vào nó và bắt đầu đi tìm mốiliên hệ với kết quả trên

ab c S

abc S

Một trong những công trình nghiên cứu đầy đủ nhất về năng lực toán học

là công trình "tâm lí năng lực toán học của học sinh " của VA.Gucchetxiki.Theo ông vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân, mỗi cá nhân đều

có năng lực nhiều hơn về một mặt nào đó và có năng lực ít hơn về ột mặt khác

Năng lực không chỉ do bẩm sinh mà phát triển trong đừi sống Tronghoạt động các năng lực không phải nhất thành bất biến mà hình thành và pháttriển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng Do

đó năng lực toán chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ cở phântích toán học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học

Ở mỗi học sinh đều có năng lực toán học khác nhau Trong cùng mộtđiều kiện giảng dạy học tập như nhau có những em học nhanh, học giỏi, cónhững em kém hơn Có những em đạt thành tích cao mà không cần nhiều côngsức lắm, cũng có những em dù đã cố gắng hết sức mà thành tích đạt đượckhông là bao, do đó giáo viên cần nghiên cứu để nắm bắt được những học sinhyếu để giúp các em nâng cao dần năng lực ở mặt này và giúp em có năng lựcphát huy hết khả năng của mình

Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của toánhọc Không ai khác chính thầy giáo là những người hoặc vun xới cho mầnmống năng khiếu toán học ở học sinh hoặc thui chột chúng Chính vì vậy, việcphát triển năng lực toán học ở học sinh là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng củangười thầy giáo

1.2.2 NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP TOÁN

Nói đến nănng lực giải toán, là nói đến khả năng vận dụng kiến thức đểgiải quyết bài toán Năng lực giải toán được thể hiện qua các mặt sau :

Tìm và liên hệ những kiến thức đầu vào và dữ kiện đầu ra khả năng vậndụng các phương pháp toán học khác nhau để giải bài toán Nhìn nhận bài toándưới nhiều khía cạnh khác nhau Từ đó vận dụng kiến thức để giải quyết bàitoán

Khả năng chuyển từ bài toán khó thành bài toán đơn giản hơn, huy độngcác kiến thức liên quan đến khái niệm, những khái niệm cơ bản đó, lựa chọntrong số kiến thức đó gần gũi với bài toán nhất để giải quyết nó Nhà toán học

A Ia Khin -xin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy toán học là :

 Suy luận theo sơ đồ loogic chiếm ưu thế

 Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất, dẫn đến mục đích phânchia rành mạch các bước suy luận.

số điểm của nó và nối các điểm đó bằng một đường, thì cách làm đó thuộcphạm vi đại số Còn nếu ta chứng minh được rằng hàm số đó là liên tục và vẽ

đồ thị của nó bằng một đường liền thể hiện sự bến thiên liên tục của nó, thìcách làm đó thuộc phạm vi giải tích

Chương trình đại số và giải tich 11 gồm 2 phần đan xen nhau:

*) Phần đại số nghiên cứu các đề mục sau :

1)Các hàm số siêu việt siêu cấp :lượng giác, mũ, logarit, nghiên cứubằng các phhương pháp đại số

2)Các công thức lượng giác

3)Các dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

4)Các phép tính luỹ thừa và căn thức

5)Các phương trình và bất phương trình lượng giác, mũ và mũ lôgarit

*) Phần giải tích nghiên cứu các đề mục sau

1) Giới hạn của dãy số

2) Giới hạn của hàm số

3) Hàm số liên tục

4) Định nghĩa luỹ thừa a q với q vô tỉ

5) Việc tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới vô cực, hoặc dần tới 0 đốivới các hàm số y a x, loga x…vốn thuộc phạm vi giải tích, song vì trình độhọc sinh lớp 11 chưa cho phép giải quyết một cách chính xác các vấn đề đó,nên các kết quả thường được thừa nhận, xem những hệ quả tự nhiên của sựbiến thiên của các hàm số đó Thành thử việc nghiên cứu các hàm số mũ vàlôgarit trong trường THPT được thực hiện bằng các phương pháp đại số

Trước khi bước vào học về giới hạn, học sinh chỉ tư duy theo kiểu "hữuhạn, rời rạc " của đại số, nay mới làm quen với kiểu tư duy "vô hạn, giới hạn,liên tục "của giải tích Từ chủ đề kiến thức này đã mở ra một loạt chủ đề kiếnthức khác liên quan cũng như vạn dụng nó để giải một lớp bài tập

CHƯƠNG II : RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN CHỦ ĐỀ GIIỚI HẠN CHO HỌC SINH

2.1 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ

2.1.1 sự tồn tại giới hạn của dãy số.

2.1.1.1 các bước kiểm tra sự tồn tại của dãy số  u n

Cách 1 : c/m  u n không thoả mãn nguyên lí giới hạn.

Cách 2 : chỉ ra 2 dãy con có giới hạn khác nhau

Cách 3 dãy số cho dưới dạng công thức truy hồi ta làm như sau : giả sửdãy có giới hạn, sau đó đưa vào công thức truy hồi c/m phương trình vônghiệm

Cách 4 : chỉ ra một dãy con của dãy số đã cho không có giới hạn

2.1.1.3 các bài tập rèn luyện kĩ năng xét sự tồn tại giới hạn của dãy số

Bài 1: chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn

 u n là dãy đơn điệu tăng nên ta đi chứng minh  u n là bị chặn trên đi

đến đánh giá theo chiều lớn hơn

 >1  u n là dãy đơn điệu tăng.

Bây giờ ta chứng minh  u n bị chặn trên.

hơn nữa chúng đang nằm dưới dạng tích nên ta phải tìm cách chuyển chúng vềdạng tổng

!

n

a n

Bài 3 : chứng minh các dãy số sau có giới hạn



 

  u n là dãy đơn điệu giảm.

Tiếp theo ta chứng minh cho  u n bị chặn dưới

2.1.2 các cách giải bài tập toán giới hạn dãy số

2.1.2.1 chứng minh giới hạn của dãy số nhờ định nghĩa

Định nghĩa : dãy số  u n gọi là có giới hạn bằng a và kí hiệu lim n

nếu như   >0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho :  n>n0 thì

u n  a  Viết gọn lại limu n a

Bài toán : chứng minh rằng : limu n a

Phương pháp : bài toán này học sinh cần đi tìm số n0 phụ thuộc vào  và

Tìm giới hạn của dãy số  u n

Phương pháp : tìm 2 dãy số  v n và  w n sao cho : tồn tại

lim ;limv n w n và limv n limw n a đồng thời v n u n w n;n

Khi đó : tồn tại giới hạn limu n và limu n =a

n  .nên ta hướng tới sử dụng "nguyên lí kẹp" để giải bài toán

này.từ trên suy ra : 1 sin 1

1 2.

  cần tìm lim 221n bài toán này

có thể giải bằng nguyên lí kẹp như sau :