LUAN VAN CAO HOC chinh thuc 7777777777 doc

Hơn nữa luận văn cũng tập trungnghiên cứu một số điều kiện để một môđun tựa liên tục phân tích đợc thànhtổng trực tiếp của các môđun không phân tích đợc cũng nh một số kiểu phântích các

Tran g

1.2 C¸c kh¸i niÖm vÒ tæng trùc tiÕp vµ sù ph©n tÝch cña c¸c m«®un 7

2.2 Mét sè tÝnh chÊt cña m«®un tùa liªn tôc 16

Ch¬ng 3 Sù PH¢N TÝCH CñA C¸C M¤§UN TùA LI£N TôC 243.1 Sù ph©n tÝch của các m«®un tùa liªn tôc thµnh tæng trùc tiÕp c¸c

m«®un con kh«ng ph©n tÝch đîc

24

3.2 Sù ph©n tÝch của các m«®un tùa liªn tôc thµnh tæng trùc tiÕp cña

c¸c m«®un con h÷u h¹n trùc tiÕp vµ v« h¹n thuÇn tóy trùc giao

29

Danh môc c¸c ký hiÖu

NM : N lµ m«®un con cña m«®un M.

N e M: N lµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M.

Mở đầu

Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành Hớng thứ nhất sử dụngnội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hớng thứ hai là đặc trngvành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng Theohớng thứ hai, lớp môđun nội xạ là một trong hai cột trụ trong nghiên cứu lýthuyết môđun và lý thuyết vành Vì thế lớp môđun này có rất nhiều sự mởrộng Một trong những sự mở rộng đó là môđun liên tục và môđun tựa liêntục

Những môđun liên tục, tựa liên tục đã đợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả

và phát triển thành một lý thuyết phong phú với nhiều vấn đề hấp dẫn và cácứng dụng của nó đang còn cần tiếp tục nghiên cứu Trong các vấn đề đó cónhững vấn đề liên quan đến sự phân tích của các môđun tựa liên tục

Mục đích của luận văn là dựa trên tài liệu [7] của Mohamed-Muller,chúng tôi hệ thống hóa các kiến thức và đặc trng của môđun tựa liên tục vàchứng minh chi tiết một số định lí và một số mệnh đề mà tài liệu khôngchứng minh hoặc chứng minh tóm tắt Hơn nữa luận văn cũng tập trungnghiên cứu một số điều kiện để một môđun tựa liên tục phân tích đợc thànhtổng trực tiếp của các môđun không phân tích đợc cũng nh một số kiểu phântích các môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp

Xuất phát từ hớng nghiên cứu nói trên và dới sự hớng dẫn của PGS.TSNgô Sỹ Tùng đề tài luận văn của chúng tôi đợc chọn là “Sự phân tích của cácmôđun tựa liên tục”

Luận văn đợc chia làm ba chơng cùng với phần mở đầu, kết luận vàdanh mục các tài liệu tham khảo

Chơng 1 Các khái niệm cơ sở

Nội dung chính của chơng này là giới thiệu các khái niệm cơ bản màcác chơng sau của luận văn cần đến Để ngời đọc tiện theo dõi chúng tôi giới

thiệu các định nghĩa về lớp các môđun nội xạ, tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục,

môđun đều và một số khái niệm về sự phân tích của các môđun.

Chơng 2 Môđun tựa liên tục

Chơng này đợc chia làm hai phần

Phần 1 Trình bày một cách có hệ thống khái niệm về môđun tựa liên

tục, chứng minh một cách chi tiết các mối quan hệ của môđun liên tục, tựaliên tục với các môđun nội xạ, tựa nội xạ

Phần 2 Một số tính chất của môđun tựa liên tục:

Chúng tôi giới thiệu một số đặc trng của môđun tựa liên tục với Định lý2.1.10 đợc chứng minh chi tiết về một số đặc trng của môđun tựa liên tục

Chỳng tụi cũng chứng minh chi tiết rằng “hạng tử trực tiếp của cỏc

mụđun tựa liờn tục là tựa liờn tục” ( Hệ quả 2.1.9 ), tuy vậy tổng trực tiếp của

cỏc mụđun tựa liờn tục khụng nhất thiết là mụđun tựa liờn tục (Vớ dụ 2.2.6)

Do đú cõu hỏi tự nhiờn được đặt ra là : “Với những điều kiện nào thỡ tổng

trực tiếp của cỏc mụđun tựa liờn tục là mụđun tựa liờn tục ?” Trả lời cho cõu

hỏi nờu trờn chỳng tụi đó tỡm hiểu điều kiện để một tổng trực tiếp các môđuntựa liên tục là tựa liên tục Sau đú chúng tôi trình bày một số hệ quả nh Hệquả 2.2.9 + Hệ quả 2.2.10 thiết lập các điều kiện về tính liên tục của cácmôđun đều, dựa vào khái niệm phân tích bù trực tiếp đều

Chơng 3 Sự phân tích của các môđun tựa liên tục

Bài toán phân tích các môđun tựa liên tục là một trong những vấn đề

đ-ợc nhiều ngời quan tâm Chơng này trình bày một số tiêu chuẩn để mộtmôđun tựa liên tục phân tích đợc thành tổng trực tiếp và cũng trình b y mộtày một

số hớng phân tích của các môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp của cácmôđun tựa liên tục.

Luận văn đợc bắt đầu từ thỏng 3 năm 2010, thực hiện và hoàn thành tạitrờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng

Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc và kính trọngcủa mình đến thầy, ngời đã trực tiếp giảng dạy, dìu dắt tận tình, chỉ bảonghiêm khắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.Qua luận văn này tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, côgiáo trong chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số-Khoa toán trờng Đại họcVinh: PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai Văn T,

TS Nguyễn Thị Hồng Loan; Xin đợc cảm ơn thầy giáo PGS.TS Nguyễn TiếnQuang Đại học s phạm Hà Nội 1, ngời đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ và tạo

điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại lớp cao học 16chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số

Cũng nhân dịp này tác giả xin đợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trongkhoa sau đại học trờng Đại học Vinh, tất cả các bạn bè, đồng nghiệp trờngTHPT Thọ Xuân 5 (huyện Thọ Xuân, tỉnh Thanh Hoá) và gia đình đã độngviên giúp đỡ để luận văn đợc hoàn thành đúng kế hoạch

Mặc dù đã rất nhiều cố gắng nhng thật khó tránh khỏi thiếu sót, sai lầm.Vì vậy tác giả rất mong nhận đợc các ý kiến góp ý của các thầy giỏo, cô giáo

và bạn đọc

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

Chơng 1 Các khái niệm cơ sở

Chơng này chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số kết quả cơ bảnliên quan đến luận văn Các khái niệm, các tính chất cơ bản và các ký hiệu

chúng tôi dựa chủ yếu theo Anderson-Fuller [5], Dung-Huynh-Smith andWisbauer [6] và Mohamed-Muller [7].

Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị, các môđun trênmột vành luôn đợc hiểu là các môđun phải unita ( nếu không nói gì thêm )

Giả sử Mi I M i là tổng trực tiếp của các môđun Mi (iI) Khi đó với

mỗi tập con KI, ta sẽ ký hiệu M(K) để chỉ  i I M i Bao nội xạ của môđun M luôn đợc ký hiệu là E(M).

1.1 Khái niệm về một số lớp môđun

1.1.1 Môđun con cốt yếu

Cho M là R-môđun phải và N là môđun con của M.

(1) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu (essential) trong M và ký hiệu:

e

N M hay NM, nếu với mọi môđun con KM, K 0 thì NK 0

Nếu N là môđun con cốt yếu của M ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N.

(2) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có

mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu mọi môđun con K của M mà N e K thì K=N.

(3) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closune) của môđun con

N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K.

(4) Bao đóng của một môđun con luôn luôn tồn tại ( xem [7] ).

1.1.2 Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ và bao nội xạ.

(1) Giả sử A, M là các R-môđun phải ta nói M là A-nội xạ (A-injective)

nếu với mọi môđun con X A và mọi đồng cấu h: X M đều tồn tại một mở

Bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại và ký hiệu là E(M).

1.1.3 CS-môđun, môđun tựa liên tục, môđun liên tục.

Cho M là R-môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M (C 2 ) Nếu A, B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng

tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C 3 ) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và AB=0 thì AB cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(1) Môđun M đợc gọi là CS-môđun (hay môđun extending) nếu thỏa mãn điều kiện (C 1)

(2) Môđun M đợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ) và (C 2)

(3) Môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous), nếu M thỏa

mãn điều kiện (C 1 ) và (C 3)

1.1.4 Môđun đều.

Một môđun U đợc gọi là đều (hay Uniform) nếu U≠0 và AB ≠ 0 đối

với mọi môđun con khác không A, B của U Hay nói cách khác U là đều nếu

U ≠ 0 và mọi môđun khác không là cốt yếu trong U

1.2 Các khái niệm về tổng trực tiếp và sự phân tích các môđun

1.2.1 Định nghĩa.

Cho một họ R-môđun (Ai/iI) Khi đó tích đề các  i I Ai=(a i/a iI

cùng với phép toán cộng và phép nhân vô hớng theo thành phần

(a i )+(b i )=(a i +b i );

(a i ).r=(a i. r),

là một R-môđun Môđun này đợc gọi là tích trực tiếp của họ (Ai/ iI)

Trờng hợp A i =A,  i I, ta ký hiệu  i I Ai=A I

(3) Một môđun con N của M đợc gọi là hạng tử trực tiếp tối đại của M nếu M = NN’, với N’ không phân tích đợc.

(4) Một sự phân tích M=  i I M i đợc gọi là bù hạng tử trực tiếp (tơng ứng là bù hạng tử trực tiếp tối đại) nếu đối với mọi hạng tử trực tiếp (tơng ứng

hạng tử trực tiếp tối đại ) A của M tồn tại tập con JI sao cho: M= ( i)

i I M

(5) Một họ  M i /iI các môđun con của M đợc gọi là hạng tử trực

tiếp địa phơng của M nếu 

 M i

i I là tổng trực tiếp và với mỗi tập con hữu hạn

FI, 

 M i

i F là hạng tử trực tiếp của M Nếu một họ hạng tử trực tiếp địa

ơng của M là hạng tử trực tiếp của M thì ta nói rằng hạng tử trực tiếp địa

ph-ơng là hạng tử trực tiếp

Chơng 2 Môđun tựa liên tục

Chơng này chúng tôi sẽ trình bày một cách có hệ thống các kiến thức vềmôđun tựa liên tục và các tính chất đặc trng của nó

2.1 Môđun tựa liên tục

Trớc hết để chỉ ra mối liên hệ giữa môđun liên tục, tựa liên tục vớimôđun nội xạ, tựa nội xạ chỳng ta có mệnh đề :

2.1.1 Mệnh đề Mỗi môđun nội xạ M đều có hai tính chất sau đây:

(C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M (C 2 ) Nếu A, B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng

tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử M là môđun nội xạ Ta chứng minh M có tính chất

(C1) Thật vậy Lấy N là môđun con bất kỳ của M, khi đó ta có: E(M)=E(N)

X Do M là tựa nội xạ nên từ đó suy ra: M=M(E(N)  (MX)) Theo

tính chất bao nội xạ: N e E(N), mặt khác NM, do đó ta có N e E(N) 

M nghĩa là N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp E(N) M hay M có tính chất

(C1)

vì vậy A là hạng tử trực tiếp của M Vậy M có tính chất (C 2 ).

2.1.2 Mệnh đề Nếu M có tính chất (C 2 ) thì cũng có tính chất sau đây:

(C 3 ) Nếu M 1 và M 2 là các hạng tử trực tiếp của M và M 1  M 2 = 0 thì

M 1 M 2 cũng là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Vì M1 là hạng tử trực tiếp của M do đó: MM1X , với

X là môđun con nào đó của M Gọi  là phép chiếu  :M1X  X Khi

Bây giờ do M 1 M 2 =0 hay M 2ker nên  |M 2 là một đơn cấu,

nghĩa là: M 2 (M 2 ) và khi đó do tính chất (C 2 ) ta có  (M 2 ) là hạng tử trực

tiếp của M, ta viết  (M 2 ) N=M, M 1X=M Từ đó suy ra M= (M 2 ) M 1

 ( N X) Vậy  (M 2 )  M 1 =M 1M 2 , do đó M 1M 2 là hạng trực tiếp của M.

Từ Định lý 2.1.1 và 2.1.2 chúng ta có:

2.1.3 Định lý Các phép kéo theo sau đây là đúng:

Môđun nội xạ Môđun tựa nội xạ Môđun liên tục Môđun tựa liên tục CS-môđun.

Chú ý.

Trong [7] đã chỉ ra các chiều ngợc lại của các phép kéo theo trên làkhông đúng và nh vậy các lớp môđun của định lý này là mở rộng thực sự củalớp môđun đi trớc

Bây giờ ta nhắc lại rằng một môđun con N của M đợc gọi là đóng trong

M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M

Một môđun con X của M gọi là bù giao nếu nó là tối đại trong M với tính chất XY = 0, đối với mọi môđun con Y nào đó.

2.1.4 Hệ quả Môđun con A là đóng trong môđun M khi và chỉ khi A là

môđun con bù giao trong M Môđun con đóng hay bù luôn tồn tại.

Chứng minh Giả sử A là môđun con đóng của môđun M khi đó A là bù

vì:

+ Nếu A = M rõ ràng A là bù ( vì A0=0 và A tối đại)

+ Nếu A  M do A đóng nên A không đối cốt yếu trong M vì vậy tồn

tại C tối đại trong M mà AC= 0.

Khi đó A là môđun con bù, bởi vì giả sử có BM mà BC=0 và AB

lúc đó ta lấy XB, X  0, ta đợc XA 0 Trái lại (CX) A=0, mâu thuẫn

với tính tối đại của C, Vậy A e B và do đó A = B hay A là môđun con bù.

Ngợc lại, giả sử A là môđun con bù tức A là tối đại mà AC= 0 với C

là môđun con nào đó của M và giả sử A e B khi đó dễ thấy BC= 0 Từ

tính tối đại của A ta có A = B hay A là môđun con đóng Sự tồn tại của môđun

con đóng hay bù là từ bổ đề Zorn

2.1.5 Mệnh đề Một môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng của

M là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử M là CS và A là môđun con đóng của M Do tính

CS của M nên tồn tại BM mà A e B và B là hạng tử trực tiếp của M Do A

đóng nên A = B nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M.

Ngợc lại mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M và X là môđun con bất kỳ của M Bởi bổ đề Zorn, tồn tại A là mở rộng cốt yếu tối đại của X, nghĩa là XA và A là đóng Vì A là hạng tử trực tiếp của M, vậy M là CS-môđun.

2.1.6 Mệnh đề Mỗi môđun không phân tích đợc M là CS-môđun khi và chỉ

khi M là đều Mỗi môđun đều là tựa liên tục.

Chứng minh Giả sử M là CS -môđun không phân tích đợc và A là

môđun con bất kỳ của M Vì M là CS nên ta có BM mà A e B, B 

 M

Nh-ng do M khôNh-ng phân tích đợc nên B = M và nh vậy A e M, nghĩa là M đều.

Ngợc lại môđun đều M là CS và không phân tích đợc là hiển nhiên Mỗi môđun đều V rõ ràng là tựa liên tục.

2.1.7 Mệnh đề Giả sử A là môđun con của môđun M Nếu A là đóng trong

một hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M.

Chứng minh Giả sử M 1 M 2 và A đóng trong M1 Xét phép chiếu :

M 1M 2 M 1

Gọi B là một mở rộng cốt yếu nào đó của A trong M Bởi vì: AM 1 nên A= (A) Mặt khác từ A e B ta có  (A) e  (B) M 1 hay A e  (B)

M 1 Nhng bởi A đóng do đó  (B) AB Khi đó ta có: (1- )(B) B.

Mặt khác nếu aA mà a=(1- )(b)=b- (b), với bB suy ra: b=a+ (b)

AM 1  (b) = b, vậy a 0 Điều đó chứng tỏ (1- )(B)A= 0 Từ giả

thiết A e B và nh trên đã chứng minh (1- )(B) B

Vậy (1- )(B)=0 và do đó  (B)=B hay BM 1 , nh vậy A = B và A

đóng trong M.

Bây giờ chúng tụi sẽ chứng minh một số tính chất về hạng tử trực tiếp

2.1.8 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của môđun thỏa mãn điều kiện (C i ) là môđun thỏa mãn điều kiện (C i ), i=1, 3

Chứng minh a Với i=1

Cho M là môđun thỏa mãn điều kiện (C 1 ), giả sử N là một hạng tử trực tiếp của M và U là một môđun con đóng trong N Ta chứng minh N thỏa mãn

điều kiện (C 1 ) Ta có U là một môđun con đóng của M (theo Hệ quả 2.1.4.),

do vậy U là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là: M= UX, với X là môđun con

nào đó của M Khi đó bởi vì: NM nên theo luật Môđunla ta có: N=M

N=(UX)N=U (X N), vậy U là hạng tử trực tiếp của N Hay N thỏa

Do A là hạng tử trực tiếp của N nên N= AX, với môđun X nào đó của

N Do N là một hạng tử trực tiếp của M nên NY=M, với Y là một môđun

con nào đó của M Vì vậy M= NY=( AX) Y=A ( XY) Suy ra A là

hạng tử trực tiếp của M Vì B là môđun con của N nên B cũng là môđun con của M Do M thỏa mãn (C 2 ), A là hạng tử trực tiếp của M, B là môđun con của

M đẳng cấu với A nên B là hạng tử trực tiếp của M Do BN nên theo luật

Môđunla ta suy ra B là hạng tử trực tiếp của N Vậy N thỏa mãn điều kiện

(C 2 ).

c.Với i=3

Giả sử M là môđun thỏa mãn điều kiện (C 3 ) và N là một hạng tử trực

tiếp của M Ta chứng minh N thỏa mãn điều kiện (C 3 ) Ta có N=AK 1 , N=B

K 2 Do M= AK 1K, M= BK 2K, với K là môđun con nào đó của M.

Suy ra AM, BM Do M thỏa mãn (C 3 ) nên AB 

 M Suy ra M= A

BL, LM Vì A, BN nên ABN Theo luật Môđunla, N= MN=( A

BL) N=( AB)  (LN) suy ra ABN Hay N thỏa mãn điều

kiện (C 3 ).

Từ 2.1.8 ta dễ dàng suy ra:

2.1.9 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của môđun liên tục (tựa liên tục) là môđun

liên tục (tựa liên tục).

Bây giờ chúng ta trỡnh bày một số đặc trng của môđun tựa liên tục

2.1.10 Định lý Các phát biểu sau đây là tơng đơng với một môđun M.

(1) M là tựa liên tục.

(2) M=X  Y đối với 2 môđun con X, Y sao cho chúng bù lẫn nhau (3) f(M)M đối với mọi lũy đẳng f End[E(M)].

Bây giờ ta chứng minh X và Y bù lẫn nhau Thật vậy,giả sử  A X

mà A Y 0 khi đó M=AY và từ đó A=X Tương tự ta nhận được Y là bù

i F , với F là tập con hữu hạn của I Ta viết: E M( ) i F E i E', khi

đó tồn tại họ dãy đẳng trực giao f i EndE(M) (i F) sao cho Ei = fi(E(M))

Bởi vì f i (M)  M do giả thiết ta sẽ chứng tỏ rằng : M (ME i Thật).vậy k để    

   



k k

Bây giờ ta chứng minh M có tính chất (C 3 ) Thật vậy giả sử M 1 , M 2 là

các hạng hạng tử trực tiếp của M với  0

2.2 Một số tính chất của môđun tựa liên tục

Bây giờ chúng tôi nghiên cứu các điều kiện để tổng trực tiếp họ bất kỳcác môđun tựa liên tục là tựa liên tục Trước hết chúng tôi trình bày khái niệm

bù hạng tử trực tiếp đều và một số tính chất của môđun tựa liên tục

2.2.1.Định nghĩa Một sự phân tích M i I M i được gọi là bù hạng tử trực tiếp đều , nếu với mọi hạng tử trực tiếp đều U của M, tồn tại tập con J I

sao cho : M U (i J M i).

2.2.2 Mệnh đề Nếu sự phân tích M i I M i là bù hạng tử trực tiếp, khi đó

sự phân tích đó cũng là bù hạng tử trực tiếp đều.

2.2.3 Mệnh đề Giả sử M i I M i là sự phân tích bù hạng tử trực tiếp đều, khi đó đối với mỗi tập con J của I, sự phân tích M J( ) j J M j là bù hạng tử trực tiếp đều.

Chứng minh Giả sử U là một hạng tử trực tiếp đều của M(J) Bởi vì M(J) là hạng tử trực tiếp của M Do vậy U cũng là hạng tử trực tiếp của M Do

vậy U cũng là hạng tử trực tiếp đều của M Khi đó bởi giả thiết tồn tại tập con

K của I sao cho M = U  M(K) Từ đó bởi luật Môđunla, ta có: