b Xác định đường thẳng đi qua A4; 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố.. Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại[r]
Trang 1UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU
PHÒNG GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO
ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề) Câu 1 (2điểm):
a) Cho S = 20 + 11+ 20 + 11+ (có 2014 dấu căn)
Chứng minh S < 5
b) Xác định đường thẳng đi qua A(4; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số
nguyên dương và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố
Câu 2 (2điểm):
a) Giải phương trình: x5- x4 - x3 - 11x2+25x - 14 = 0
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3 (2 điểm):
a)
Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn:
11
2x +1 = 3y
-5 x - 2 - 4y -1
b) Cho N = 1.3.5.7.9 2013 Chứng minh rằng trong ba số 2N-1; 2N và 2N+1 không
có số nào là số chính phương
Câu 4 (3điểm):
Cho (O) và (O’) nằm ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF (A và E thuộc (O); B và F thuộc (O’)) Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M
a) Chứng minh rằng tam giác AOM và tam giác BMO’đồng dạng
b) Chứng minh rằng AE vuông góc với BF
c) Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng O, N, O’ thẳng hàng
Câu 5 (1điểm)
Cho ba số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = 2 1 2 1 2 1
y z x
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
a S = 20 + 11+ 20 + 11+ < 20 + 20 + 20 + 20 + + 25 5 1,00
b Giả sử đường thẳng cần tìm cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là a, cắt
trục tung tại điểm có tung độ là b thì đường thẳng có dạng
x y + = 1
a b
Vì điểm A(4; 3) thuộc đường thẳng nên
+ = 1 hay b = 3 +
Do a là số nguyên tố, b là số nguyên dương nên tìm được a = 5, b = 15
và a = b =7
1,00
Câu 2 a
1,00
b (1) y = 2x + 1 hay y = x + 1
TH1 : y = 2x + 1 Thế vào (2) ta có :
f(x) =
1
4 1 9 4 3 4 ( ) ( )
4
x x x g x x
x = 0 (vì f đồng biến, g nghịch biến trên
1
; 4
Vậy x = 0 và
y = 1
TH2 : y =x + 1 Thế vào (2) ta có :
3
x x x x x
1,00
Trang 3 3x 1 5x4 3( x1)x2x3
3x 1 (x1) 5x 4 (x2) 3(x1)x
2
3( )
3 1 ( 1) 5 4 ( 2)
x2 – x = 0 hay
3
3x 1 (x 1) 5x 4 (x 2)
x = 0 x = 1 x = 0 y = 1; x = 1 y = 2 Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (1; 2)
Câu 3 a
* Bình phương của một số nguyên không có dạng 4m+3 nên 4y -1 là số
vô tỉ với mọi số nguyên y (y 1/4)
11
PT 2x +1 = 3y
-5 4y -1 - x + 2
(*)
Vì
11 3y
-5 x + 2
là số hữu tỉ nên (*)
2x +1 = 0 x = 5
3y -5
4y
-1-x + 2 = 0
Vậy các giá trị nguyên dương x, y cần tìm là
5 3
x y
1,00
b * 2N là số chẵn nhưng dễ thấy 2N không chia hết cho 4 nên không phải
là số chính phương
* Một số chính phương không chia hết cho 3 thì chia 3 dư là 1 (vì (3k 1)2 = 3 (3k2 2k)+1)
Mà ta có 2N -1 = 2N – 3 + 2 chia cho 3 dư là 2 nên 2N -1 không là số chính phương
* Giả sử 2N + 1 = k2 (k lẻ)
2N = (k+1)(k-1)
Do k lẻ nên (k+1)(k-1) chia hết cho 4, mà 2N không chia hết cho 4 Vậy không tồn tại k thỏa mãn, nên 2N + 1 không là số chính phương
1,00
Câu 4 a Ta có AOM BMO' (g.g)( chú ýAOM BMO ') 1,00
b Ta có MO vuông góc với AE, MO’ vuông góc với BF Mà MO vuông
góc với MO’ (tia phân giác hai góc kề bù) nên AE vuông góc với BF
1,00
c Gọi I là giao điểm của OM với AE
Ta có OIN OMO'(suy ra từ câu a) với chú ý MK = IN) Nên ION MOO '
1,00
Trang 4Do đó có đpcm.
Câu 5
Ta có
y y y
Tương tự ta có 2 1 2 ; 2 1 2
x y z
Chứng minh được xy yz zx 3
3
y z x
Dễ thấy khi x = y = z = 1 thì S =
3 2 Vậy GTNN của S là
3
2
1,00