Bai giang Tiep tuyen cua do thi

Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết tiếp Bài 7: Cho C là đồ thị hàm số: tuyến đó cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB vuông cân tại gốc tọa độ O... [r]

Kiến thức cơ bản: Cho (C) là đồ thị hàm số yf x( ) và điểm Mx f x0 ; ( ) 0 ( )C Tiếp tuyến với (C) tại điểm M có phương trình là: y f x( )0 f x'( )(0 x x 0) (1)

►Chú ý: 1) Cơ bản ở phương trình (1) là tiếp tuyến phụ thuộc vào x 0 là hoành độ của tiếp điểm vì: khi có x 0 thì ta thay x 0 vào f(x) và f’(x) để tính f(x 0 ) và f’(x 0 )

2) Điểm M gọi là tiếp điểm.

Bài toán 1: Cho biết tiếp điểm (hoặc hoành dộ của tiếp điểm) của tiếp tuyến.

Cách giải:

+ Áp dụng công thức (1) nêu trên.

Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) của hàm số y x 2 4x3 Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Giải:

điểm)

Vậy có hai tiếp điểm là M(1; 0) và N(3; 0)

+ Ta có: y' 2 x 4 y'(1)2; '(3) 2y 

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y x 3 2x22x 4

a) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

b) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Giải:

y y 0 y x'( )(0 x x 0) yy x x x'( )(0  0)y0 (1)

b) Khi M ( )C Oy thì x0 = 0 y0 y(0)4 và y x'( )0 y'(0) 2 , thay các giá trị đã

thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến:

Bài toán 2: Cho biết hệ số góc k của tiếp tuyến

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k.

Cách giải 1: (Dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm)

+ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm Mx f x0 ; ( ) 0 

.

+ Tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y kx b  ( )T ;

(K đã biết; ta phải tìm b).

+ Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm b.

►Chú ý: Khi giải bài toán ta dùng cách 1 hoặc cách 2 là tùy theo kỷ năng của mỗi học sinh Thông thường khi giải cách 1 là phải giải phương trình f’(x) = k để tìm tìm hoành độ tiếp điểm, nếu phương trình f’(x) = k khó giải hoặc giải được dễ dàng nhưng nghiệm xấu thì ta nên dùng cách 2.

Ví dụ 3: Cho đồ thị (C):

2 1 1

x y x





tuyến với (C) và song song với (d)

Giải:

+ Tiếp tuyến song song với (d) nên y’ = -3 (hai đường thẳng song song thì có cùng hệ số góc và tung độ gốc khác nhau)

3

( 1)

x

Vậy ta có:

2 2

3

Cả hai tiếp tuyến tìm được thỏa mãn điều kiện song song với (d).

Ví dụ 4: Cho đồ thị (C):

2

y x  x v d y x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và vuông góc với (d)

Giải:

+ (T) tiếp xúc với (C) nên:

2

2

; 0 , 2 1

2

x



 









2

1

3

3 2 3 4( 2 ) ( 1) 3 6 1 0

3

x

x





2

1

3

.1 2 1 3

2 3 ( ì : 3 6 1)

b

Bài toán 3: Cho biết tiếp tuyến đi qua điểm A  ( ; ) cho trước (hoặc A là điểm phải tìm)

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm

( ; )

A   .

Cách giải 1:

+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f x ( )0 f x'( )(0 x x 0), (với x 0 là hoành độ tiếp điểm).

+ Tiếp tuyến qua A  ( ; ) nên  f x( )0 f x'( )(0  x0) (*)

+ Giải phương trình (*) để tìm x 0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

Cách giải 2:

+ Tiếp tuyến qua A  ( ; ) nên có phương trình dạng: y  k x( ) ( ) ;T (tìm k) + Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm k rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ 5: Cho đồ thị (C):y x 3 3x1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến

đi qua điểm A(-2; -1)

Giải cách 1:

Ta có: y' 3 x2 3

0; 0 3 0 1

0 3 0 1 (3 0 3)( 0)

y x  x   x  x x

1 x 3x 1 (3x 3)( 2 x )

0 3 0 4 0

2

( 1)( 4 4) 0

  



  



Giải cách 2:

3 2







Thay k ở (2) vào (1) được:





Ví dụ 6: Cho đồ thị (C): y x 2 2x2 và đường thẳng (d): x = 1 Tìm điểm A thuộc (d) sao cho từ A kẽ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

►Chú ý: Đây là ví dụ về tiếp tuyến đi qua điểm A nhưng A là điểm cần tìm

Giải:

độ tiếp điểm)

Theo Vi-ét thì (*) cho: x1x2 2 à ,v x x1 2 a

+ Để qua A(1; a) có hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa:

3

4

y x y x   x  x    x x  x x    a    a

+ Điều kiện (*) có hai nghiệm phân biệt là:

3

4

a

      

: đúng

Vậy điểm A cần tìm là

3 1;

4

A 

 

Ví dụ 7: Cho đồ thị (C) của hàm số

1

x y x





đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Giải:

0

0

1

x

x



Đường thẳng IM có VTCP

0

x

, suy ra đường thẳng

3 (x 1)





Tiếp tuyến với (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM khi và chỉ khi: k.k’ = -1

4



 



Ví dụ 8: Cho đồ thị (C): y x 3 x22x1

a) Chứng minh trên đồ thị (C) không có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

b) Chứng minh rẳng trong các tiếp tuyến với (C) thì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

0

►Chú ý: Có thể chứng minh trên (C) không có hai tiếp tuyến hoặc có hai tiếp tuyến nhưng hai tiếp tuyến đó không vuông góc với nhau.

Giải:

a) Ta có y' 3 x2 2x 2 0,x ( ì : ' 1 6 0)v    

1 2

'( ) '( ) 1

y x y x 

Chứng tỏ trên đồ thị (C) không có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

1

3

Vậy tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ 0

à '

 

Đặt g x( ) 3 x2 2x2 Hàm số g(x) xác định với mọi x thuộc R

Ta có:

1 '( ) 6 2; '( ) 0

3

g x  x g x   x

Bảng biến thiên:

phương trình y” = 0) có hệ số góc nhỏ nhất

Ví dụ 9: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y x 3 3x2 sao cho tiếp

Giải:

y a'( ) 3 a2 3 à '( ) 3v y b  b2 3

+ Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

+

2

2

, thay a = -b ta được:

4b 4b b  3 32 b b b  3  8 0  b  6b 10b  8 0



x

-

1

3 +

g’(x) - 0 +

g(x)

+ +

5 3

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4) v

Ví dụ 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số:

1

x y x





Giải:

Hàm số được viết lại:

3 2

1

y

x

 



Gọi

3 '

y

x



2

2

2

2

b













Bài 1: Cho đồ thị (C) của hàm số:y x 2 4x1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẽ từ

điểm A(2; -6).

Giải:

+ (T) tiếp xúc với đồ thị (C) nên:

     



 



Bài 2: Cho (C) là đồ thị hàm số:

2 1

x y x



số góc m Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau

Giải:

* Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

2

1 1

x

mx m x



+ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy ta phải có:

2

0

0

m

m m



* Chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau:

+ Theo Viets ta có:

2

m

m

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):

2 1

x y x





Giải:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

2

1

x

x



2

3 '

y

x





Bài 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y x 3  3x1, biết tiếp

Giải:

Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

4 2

1 2 4

, biết tiếp

Giải:

(d) có phương trình:

1 402 5

nên (d) có hệ số góc là

-1

5.

1

4

Vậy tiếp điểm M có tọa độ là

9 1;

4

Tiếp tuyến có phương trình:

Tóm lại: Tiếp tuyến cần tìm có phương trình:

11 5 4

Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

1

x y x





khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giải:

1

a

a







Vậy

2

a



 

;

d I

Ta có:

2

4 ( a1) 2 (a1)  2.2(a1)  4 ( a1)  2.2(a1) 2a1

 ;  8 1 4

a

d I

a



lớn nhất khi d I  ; 

= 4

a

Bài 7: Cho (C) là đồ thị hàm số:

1

x y x





cân tại gốc tọa độ O

Giải:

đường thẳng y = x hoặc y = -x

Ta có: 2

1 '

y

x



1

y x

x



Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x

Do đó:

2 0 2

0

1

1 2

x 

không là nghiệm phương trình)

Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

1

x y x





tuyến cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn 4.OA = OB

Giải:

, (x 0 1)

OB OA

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc là 4 hoặc -4

4 '

y

x



4

y x

x



Do đó:

2 0 2

0

4

x

x



+ Tại điểm M(0; -2) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x – 2

+ Tại điểm M(-2; 6) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x + 14

Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

2 2

x y x



Giải:

Gọi M

2

;

2

a a

a



2

a

  2 4 2 2

4

a

a



Thay các giá trị của a vào (1) và thu gọn ta được các tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:

Bài 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: yx33x2 sao cho tiếp tuyến

Giải:

+ Gọi A a a( ; 33 ) , ( ;a2 B b b 33 ) ,b2 a b là hai điểm phân biệt trên (C)

y a'( )3a26a v y bà '( )3b26b

+ Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:

+

2

2

2

2

2

(a b) (a b) ( a ab b ) 3(a b) 32

; thay a = 2 – b ta được:

2

(2 2 ) b (2 2 ) (2 b   b) (2 b b b)   6 32

2

3 6 2 10 8 0 ( 4)( 2 2 2) 0 4

Vậy





Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số:

1 1

x y x





Giải:

Hàm số được viết lại:

2 1

1

y

x

 



Gọi

2 '

y

x





2

2



2

2

b













Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3  3x3 tại điểm M(x0;y0) thỏa mãn y’(x0) = 0

Bài 2: Cho đường cong (C):

3 2

y x  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y4x 2

Bài 3: Cho đường cong (C): yx33x2 4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

Bài 4: Cho đường cong (C):

2 5 2

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0)

1 2

3





 x m x y

(Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng : 5d x y  0

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số y 3x 2x 3x

1 3 2







tại điểm có hoành độ x thỏa mãn 0 f x và chứng minh rằng "( )0  là tiếp tuyến của (C) có hệ

số góc nhỏ nhất

Bài 7: Cho hàm số: y =

2 1

x y x





Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng

1

4.

Bài 8: Cho hàm số

1

x y x





tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 9: Cho (C) là đồ thị hàm số:

1

x y x





những điểm thuộc (C) có tọa độ là số nguyên

Bài 10: Cho (C) là đồ thị hàm số:

1 1

x y x





điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C)