Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.. Khái ni[r]
Trang 1I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước
được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Ký
hiệu T
Bài 1: Xét phép thử T: Gieo đồng thời hai con súc sắc
1 Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8
2 Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết cho 3
Bài làm:
Xét phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
Mô tả không gian mẫu:
(1,1),(1, 2),(1,3), (1,6) (2,1),(2, 2),(2,3), (2,6)
(6,1),(6, 2), (6,3), (6,6)
1 Xét biến cố A: “Tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.”
Tập A
các kết quả thuận lợi của A :
(2,6),(6, 2),(3,5), (5,3),(4, 4)
A
Xác suất
Biến cố
Không gian mẫu: Là tập hợp
tất cả các kết quả có thể xảy
ra của phép thử Ký hiệu: .
Số phần tử của không gian mẫu ký hiệu: n()
Xác suất của biến cố
Định nghĩa cổ điển của xác suất: Gỉa sử phép
thử T có không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu
A là một biến cố liên quan đến phép thử T và
A
là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của biến cố A là một số ký hiệu là P(A)
( ) ( )
( )
A
n
P A
n
Các biến cố đặc biệt:
Biến cố không: Tập hợp được gọi là biến cố không
Biến cố chắc chắn: Tập hợp được gọi
là biến cố chắc chắn
Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép thử T
là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của phép thử T Tập hợp các kết quả thuận lợi của A ký hiện là A Số kết quả thuận lợi của biến cố A ký hiện là n(A
)
Trang 2Xác suất của biến cố A:
A A
n P n
2 Xét biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết cho 3.”
(1, 2);(1, 4);(1,5);(1, 6)
(2,1);(2,3);(2, 4);(2,5)
(3, 2);(3,3);(3, 4);(3, 6)
24 (4,1);(4, 2);(4,3);(4,5)
(5,1);(5, 2);(5, 4);(5,6)
(6,1);(6,3);(6,5);(6,6)
( ) 24 2 ( )
( ) 36 3
B
n
P B
n
Bài 2: Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau Máy bay rơi khi có 2 viên đạn
trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn
Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường hợp:
a/ 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn
b/ Các bộ phận B,C, D có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích bộ phận A và máy bay trúng hai viên đạn
Bài làm
a/ Đánh số 4 bộ phận A,B,C,D là 1,2,3,4
Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’
Không gian mẫu:
(1,1),(1, 2), (1,3), (1, 4)
(4,1), (4, 2),(4,3),(4, 4)
Xét biến cố A: máy bay rơi
Tập A
các kết quả thuận lợi của A :
(1,1),(2, 2),(3,3),(4, 4),(1, 2),(2,1),(2,3),(3, 2),(3, 4),(4,3)
A
n ( A) 10
Xác suất của A:
( )
A n
P A
n
Bài 3: Một tổ có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ Chọn một nhóm lao động gồm 6 học sinh.
Tính xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn
Bài làm
Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 12 học sinh’’
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 6 của 12 phần tử
Trang 36 10
( )
n C
Xét biến cố A: “Có 4 nam và 2 nữ được chọn.” Để chọn được 4 nam và 2 nữ ta phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp:
Công đoạn 1: Chọn 4 nam từ 8 nam có
4 8
C
Công đoạn 2: Chọn 2 nữ từ 4 nữ có
2 4
C
có
4 2
6. 4
C C
cách chọn ra 4 nam và 2 nữ
4 2
6 4 ( A)
Xác suất của A:
4 2
8 4 6 12
( )
17
C C
P A
C
Bài 4: Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn
ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai
Bài làm
Phép thử T: ‘‘Xếp 4 hành khách lên một đoàn tàu 4 toa’’
Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 44cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa
không gian mẫu: gồm 44phần tử n ( ) 4 4
Xét biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.”
Xét 2 công đoạn liên tiếp:
Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn
3 1
4. 4 16
C C
Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách
1
C
n
4
48 3 ( )
4 16
P A
Bài 5: Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
Bài làm
Không gian mẫu: Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: a a a a a1 2 3 4 5
trong đó ai aj
với
i j
a1 Có 9 cách chọn a0 1
Mỗi cách chọn a1 có 9 cách chọn a2
Mỗi cách chọn a1, a2 có 8 cách chọn a3
Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có 7 cách chọn a4
Trang 4Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có 6 cách chọn a5
( ) 9.9.8.7.6
n
Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy ra thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước”
Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp:
X= 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần
5 9
( A)
126 1
( )
27216 216
P A
II SỬ DỤNG CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC
SUẤT
1.Sử dụng quy tắc cộng xác suất trong các bài toán tính xác suất:
Bài 1: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiờn 8 học sinh
Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp
Bài làm
Không gian mẫu gồm
8 19
C
phần tử
Quy tắc tính
xác suất
Quy tắc cộng xác suất
Quy tắc nhân xác suất
Biến cố hợp
Biến cố đối
Quy tắc cộng xác suất
Biến cố xung khắc
Biến cố giao Biến cố độc lập
Quy tắc nhân xác suất
Trang 5Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó
8 8
n C
Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và B khi đó
8 14
n C
Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và C khi đó
8 13
n C
Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C và B khi đó
8 11
B C
A,B,C,D là các biến cố xung khắc
A B C D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp
Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng:
8
13
19 19 19 19
1 1
2223
P A B C D P A P B P C P D
C
Bài 2: Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên 2 thẻ Tính xác
suất kết quả nhận được ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn?
Bài làm
Không gian mẫu: n()=C92
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”
20 5
36 9
A
Gọi B là biến cố “ Rút được hai thẻ đề chẵn”
2
9
B
C
C
Nhận xét: hai biến cố A và B là xung khắc và AB biến cố “ kết quả nhận được ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn”
Theo qui tắc cộng xác suất ta có :
5 1 13 ( ) ( ) ( )
9 6 18
P A B P A P B
2 Sử dụng quy tắc nhân xác suất trong các bài toán tính xác suất:
Trang 6Bài 3:Xạ thủ An bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của An trong một lần bắn là
7
10 Xạ thủ Bình bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của Bình trong một lần bắn là 9
10 Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
Bài làm
Gọi A1 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ nhất thì 1
3 ( )
10
P A
Gọi A2 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ hai thì 2
3 ( )
10
A1, A2 là hai biến cố độc lập
A A A là biến cố An bắn trượt cả hai lần bắn
2
3 ( ) ( ) ( ) ( )
10
P A P A P A
Tương tự: B B 1B2 B3 là biến cố Bình bắn trượt cả ba lần bắn
3
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10
P B P B P B P B
A, B là độc lập A B là biến cố cả An và Bình đều bắn trượt hay:
AB là biến cố “Mục tiêu không trúng đạn”
2 5
3
10
P A B P A P B
3 Sử dụng biến cố đối trong các bài toán tính xác suất:
Bài 4: Có 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh
Tính xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp
Bài làm:
Không gian mẫu : n()=
4 12
C
phần tử Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn thuộc cả lớp A, lớp B, lớp C
Trang 72 1 1 1 2 1 1 1 2
5 4 3 5 4 3 5 4 3
( A)
n C C C C C C C C C
A là biến cố :“ 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp”
2 1 1 1 2 1 1 1 2
5 4 3 5 4 3 5 4 3
4 12
P A
C
=
5 11
Bài 5: Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay.
Máy bay rơi khi có hoặc 1 viên trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay trúng 3 viên đạn
Bài làm
Gọi A là biến cố máy bay không rơi khi máy bay trúng 3 viên đạn
A chính là biến cố có 1 viên trúng B, 2 viên trúng C
2
( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3.0,55 0,3
P A P B P B P C
Alà biến cố máy bay rơi khi máy bay trúng 3 viên đạn
2
( ) 1 3.0,55 0,3
III SỬ DỤNG KẾT HỢP CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TÍNH XÁC SUẤT Bài 1: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25 Lớp học đủ ánh sáng
nếu có ít nhất 4 bóng hỏng Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng
Bài làm
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75
Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của
4 6
C biến cố con,
( ) 0,75 0, 25
P A C
Trang 8Gọi A2 là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A2 là biến cố hợp của
5 6
C biến cố con,
( ) 0, 75 0, 25
P A C
Gọi A3 là biến cố 6 bóng hỏng
( ) 0, 75
P A C
A A A A là biến cố lớp học đủ ánh sáng
A là biên cố lớp học không đủ ánh sáng
( ) 1 ( ) 0,8305
P A P A
Bài 2: Một người bắn 3 viên đạn Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1
viên trúng vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Bài làm
Gọi A1 là biến cố 1 viên trúng vòng 10, 2 viên trúng vòng 9, A1 là biến cố hợp của
1 3
C
biến cố con,
( ) 0, 2.0, 25
P A C
Gọi A2 là biến cố 2 viên trúng vòng 10, 1 viên trúng vòng 9, A2 là biến cố hợp của
1 3
C biến cố
con,
( ) 0, 2 0, 25
P A C
Gọi A3 là biến cố 2 viên trúng vòng 10, 1 viên trúng vòng 8, A3 là biến cố hợp của
1 3
C
biến cố con,
().0,2.0,15PAC
Gọi A4 là biến cố 3 viên trúng vòng 10, P A ( ) 0,0084
A A A A A là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
( ) 0, 0935
P A
Bài 3:Tại một thành phố tỉ lệ người thích bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiờn 12 người Tính xác
suất để có đúng 5 người thích bóng đá
Đáp số: P C 1250, 65 0,355 7 0,0591
Bài 4:Gieo đồng thời 3 con súc sắc Bạn thắng nếu có xuất hiện ít nhất 2 lần ra 6 chấm Tính
Trang 9xác suất để trong 5 ván chơi bạn thắng ít nhất 3 ván
Đáp số:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
27 27 27 27 27
Bài 5: Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương
án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để anh ta bị điểm âm
Đáp số:
0 12 1 11 2 2 10
( ) ( ).( ) ( ) ( ) 0,5583