Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC.Tính góc giữa hai mặt phẳng SCA và SCB hợp với [r]
Trang 1GÓC TRONG HÌNH H Ọ C KHÔNG GIAN
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm
tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 0
90 , gócABC bằng 0
60 Góc giữa cạnh bên CC’
và mặt đáy (ABC) là 0
45 , hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng
BC và C’G
H ướng dẫn giải
Tính được góc 0
45
∠ CH C ; BC = 2a, AB = 4a, MC = 2a
HC = HC’ = a, GH = a/3 VABC.A’B’C’ = C’H.SABC = a.1/2.AC.CB = 2 3a3 (đvtt)
Có B'G =B'C' +C'H +HG
và B'C' ⊥C'H ⇒B'C' C'H = 0 C'H ⊥HG⇒C'H HG = 0
nên B'G2 =B'C'2+C'H2+HG2 + 2B'C'.HG cos(B'C,'HG)
60 cos ,
cos ,'
'
−
=
−
=
−
HG
C
B
9
40
'
2
2 a
G
3
10 '
10 2
1 '
'.
' 2
' ' ' ' '
'
cos
2 2 2
=
− +
=
GC C B
G B GC C B
G
C
B
⇒ góc giữa BC và C’G bằng góc gữa B’C’ và C’G và có cosin bằng
10 2 1
Cách khác:
G C CB G
C
BC
'
' '
, cos '
,
Tính được
3
10 'G a
12
1 12
1 ' 6
1 ' '
3 12
1
'
2
2 a CB CB
G
10 2
1 '
,
Ví d ụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, 2
AC= a Các mặt phẳng ( 'B AB), ( 'B AC), ( 'B BC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) góc 0
60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
H ướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu của B' trên mp(ABC), M, N, P lần lượt là hình chiếu của H trên
AC, AB và BC.Khi đó AC⊥HM AC, ⊥B H' ⇒AC ⊥ ( 'B BM) V ậy góc giữa ( 'B AC) và
2a 3 M
4a
H G B
A'
C
A
Trang 2(BAC) là góc B MH' Tương tự ta có 0
B MH=B NH =B PH= Do đó
∆ = ∆ = ∆ ⇒ = = Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp
( )( )( ) 4 2 2 2
' ' '
6 ' 2 2 2 3
2
ABC A B C ABC
a
V =S B H = a = a ( đvtt)
Ví d ụ 3: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến
mặt phẳng (ACD) bằng
3
a Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể
của khối tứ diện ABCD bằng 3
15 27
H ướng dẫn giải
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE
Ta có ACD cân tại A nên CD AE
Tương tự BCD cân tại B nên CD BE
Suy ra CD (ABE) CD BH
Mà BH AE suy ra BH (ACD)
Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD) là
Thể tích của khối tứ diện ABCD là
Mà
Khi đó : là 2 nghiệm của pt: x2
- x + = 0
2
2
2
2
3
5
3
a
AE
a
DE
=
=
hoặc 2
2 2 2
5 3 3
a AE a DE
=
=
trường hợp vì DE<a
M
C'
A'
A
B'
H N P
H
D
E
C
B
A
Trang 3Xét BHE vuông tại H nên sin =
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là
Ví d ụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính góc giữa hai
mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 60 0, biết thể tích của khối chóp S.ABC bằng a3 2
32
H ướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥(ABC)
Kẻ AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥(AKB)⇒ SC ⊥ KB
(SAC ; SBC) ( ) (KA; KB)
Ta có
2 3 S.ABC ABC
suy ra được a 6
SH 8
=
Trong ∆ SHC vuông tại H,đường cao KH
có 1 2 12 12
KH = HC + HS thay SH a 6
8
2
= vào ta được a
KH
2 3
∆ΚΑΒcân tại K 0
AKB 120
Vậy (SAC ; SBC) ( ) ( = KA; KB)= 60 0
Ví d ụ 5: Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân với AB= AC =a, góc
0
120
BAC
∠ = , cạnh bên '
BB =a Gọi I là trung điểm của CC' Chứng minh tam giác AB I' vuông tại A và tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB I' )
H ướng dẫn giải
Ta có BC=a 3 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I
Suy ra 5 , ' 2 , ' 13
' '
Vậy tam giác AB’I vuông tại A
'
'
AB I
4
ABC
Gọi α là góc giữa hai mp
Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I
10
α
H A
B
C
S
K
A'
B
A
C I
Trang 4Bài t ập tự luyện
Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a Hình chiếu vuông góc của B xuống mp(A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’ Gọi M là trung điểm của A’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc giữa hai đường
thẳng BC’ và MB’, biết rằng AA’ = a
H
C
A
M B'
A'
C' B
HD:
ABC
B' C' = AB = a ; BH = AA' 2 − 2 = 2 ⇒ = V 1 BH S = 3 2
B’MC’N là hình bình hành suy ra BC' = BB' = a
C' N = B' M = 5 ; MN = HM = A' B' = ⇒ a BN = BH 2 + HN 2 = 3
2
cos BC' N
BC' C' N
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại C và D, AD = 3a;
BC = CD = 4a Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy Gọi E là điểm nằm trên cạnh
AD sao cho AE = a, F là trung điểm của CD Tính thể tích khối chóp S.DEBF và góc
giữa hai đường thẳng SE và BF
F C
D
B
A
S
E
HD:
Trang 5BEDF ABCD CBF ABE S BEDF BEDF
3
BF = 2 a 5 ⇒ DQ =6BF =12 5⇒ EN =2DQ =8 5
SE = SA 2 + EA 2 = a
7; AN = 2 AQ = 1 AB = a 17 ⇒ SN = SA 2 + AN 2 = 2a 11
Suy ra cos SEN SE EN SN
SE.EN
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = a Gọi E
là trung điểm của A’D’ Tính thể tích khối tứ diện BC’DE theo a, b và tính góc giữa hai
mặt phẳng (BC’D) và (C’DE) khi a = b
E
C'
C
D D'
HD:
Hệ trục Oxyz có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0), A’(0;0;a) Suy ra C(a;b;0), C’(a;b;a), B’(a;0;a), D’(0;ba), E(0;b/2;a)
BC'= ; b; a ,BD= −a; b; , BE= − a; ; a ⇒V = BC' ,BD BE =
2
1
Nếu a=b thì ta coi
B ; ; ,C' ; ; , D ; ; , E ; ;
BC' ; ; ,BD ; ; , DC' ; ; , DE ; ;
n BC' ,BD ; ; ,u DC' , DE ; ;
n.u
1
1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1
2
1
2
0
Vậy (BC’D)⊥(C’DE), suy ra góc bằng 900
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, có SA = SB = AC = BC = a, AB=a 2 Tính thể tích hình chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC, biết rằng mp(SAB) tạo
với đáy một góc bằng 60o
Trang 6
A
B
C
HD:
M trung điểm AB Suy ra
ABC
SM = CM = 2 ; SH ⊥ CM ⇒ SH = SM tan 0 = 6 ; S = 1 CM AB = 2 ⇒ = V 3 6
60
ABCD là hình bình hành suy ra SA = AD = a
DH = CD 2 + HC 2 = 14 ⇒ SD = SH 2 + DH 2 = 62
Bài 5: (Thi th ử C.Hưng Yên lần 2 khối A, A1 – 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a, SA vuông góc với (ABC) và SA=a M là trung điểm AB Mặt phẳng(α ) qua B và vuông góc với SC và cắt SC và AC tại K và H Tính thể tích khối tứ diện SBHK và tính góc giữa hai mặt phẳng (SMH), (SBC)
H
M
S
A
B
C K
HD:
SBKH
SBCH
V
cos cos BSM
SB.SM
3