Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông Với mục LĨ ích giúp các Thả V, Cổ giáo cỏ dược bài giiìng có hiệu quà hơn và các em có dược cái nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ mô
Trang 1LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ
Đ 2
C pG Ỉ
Hã NỘI
PHƯƠNG PHÁP
GIAI TOÁN
GỒ M 36 CHỦ ĐẾ CHO 58 DẠNG TOÁN VỚI 146 v í D Ị
119 BÀI TOÁN CHỌN LỌ C
VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ
Giải hình không gian bằng
phương pháp tọa độ trong khôn? gian
Trang 2LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ
n n lM G P I I Í P G I Ả I T O Á N
I I Ì N I I H Ọ C G I Ả I T Í C H
I T U H M Ỉ H l lt a G I M
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q U Ố C G IA HÀ NỘI
Trang 3PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO
Hưởng ứng lời kêu goi đối mới phương pháp day và hoc
LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM
T à i liệ u n à y x in d à n h tặ n g ngươi C ha đ á n g k ín h củ a các tá c g iả
Trang 4LỜI GIỚI THIỆU
Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu
P 1I I 0 \< , PHÁI* GIẢI T O Á N
T R lT iW H Ọ C P H Ổ T I I Ô M Ỉ
do Thạc s ĩ 7 (kín học Lô Hổm; Dứcchỉì Nôn Bỏ tài iiôu gồm 10 tập:
Tập 1 Phương phap giãi Toón LưỢng giác
Tâp 2 Phương pháp giài Toán Hình học Giai tích trong Măt phảng
Tâp 3 Phướng pháp giài Toán Hình học Giài tích trorg Khổng gian
Tâp 4 Phương pháp giài Toán Hình học Không gian
Tâp 5 Phương pháp giải Toán Véctơ
Tâp 6 Phương pháp giài Toán Dại số
Tâp 7 Phương pháp giài Toan Hàm sổ
Tảp 8 Phương pháp giài Toán Tích phân
Tập 9 Phương pháp giải Toán Tổ hợp
Tập 10 Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông
Với mục LĨ ích giúp các Thả V, Cổ giáo cỏ dược bài giiìng có hiệu quà hơn và các
em có dược cái nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ đó dưđ ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi của một bài thi, nên mỗi trong m ôi tập tài liệu chúng tỏi sắp xếp, hộ thông các kiến thức dược d ề cập trong chương trình Toán Trung học Phô thông thành các Chủ dề Mỏi Chủ dể liươc chia thành ba mục:
I Kiến thức cơ bần: Gồm phương pháp giẩi cho mỗi dạng toán cơ bản dược trình bày dưới dạng các bdi toán và các ví dụ vẻ giải toán.
II Các bài toán chọn lọc: Gồm các bài toán được tuyển chọn có chọn lọc từ các bài tập trong cuốn Bộ dề thi tuyển sinh môn Toán và từ cấc Dề thi tuỵôn sinh môn Toán vào các trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới nay.
III Bài tập để nghị
N hư vậy ở m ỗi chủ dề:
1 Với việc trình bày dưới íỉiìĩlỊĩ các bái toán cơ hìn óìng ví dụ minh hoạ ngay sau dó, sẽ giúp tăng chílt lượng bài giàng cho các Thày, Cô giáo và với cấc em học sinh sè hiểu và biết cách trình bày bài.
2 Tiếp dó tới các bài toán chọn lọc dược lây ra từ các dề thi vào các ưường Dại học, sè giúp các Thàv, Cô giảo dẫn dát các em học sinh tiếp cận nhanh chóng với những đòi hòi của thực tế
3 Đặc biột là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ h(Jăc bài toán chọn lọc
sè giúp các Thảy, Cô giáo củng cố những hiêu biết chưa thật thâu dáo, cùng với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt ra cho các em học sinh, đô trả lờ i m ột cách thoà dáng câu hòi " Tại sao Ịại nghĩ và làm ỉĩhư vậy ?
4 Ngoải ra có rât nhiều bài toán dược giải bắng nhiều cách khắc nhau sẽ giúp các học sinh trờ lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giai.
Bộ tài liệu được viết trôn một tư tường hoàn toàn mới mè, có tính sư phạm , có tnh tông hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé các vấn đố cùa toán học sơ cấp Bộ
5
Trang 5tải liệu này ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ các Thcìỵ, Cô giáo đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả các em chuân bị dự thi môn Toán Tốt nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học.
Cuốn IMIIÍOỈNG P H Ấ P GIẢI TOẢN II ì M I HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAM được việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm và tiếp thu ỷ kiến dórtg góp của bạn dọc từcuôh Tuyên tập cấc Chuyên dề Luyện th i Đại học Môn Toắn - Hình học Giẩi tích của Lê'Hồng Đức và Trán Phương, dã được Nhà xuất bản Hà
N ội âh hành quý II năm 2002 Cuôh tài liệu dược chia ứìành 5 phần:
Phẩn I Mặt phăng Phẩn II Đường thăng trong không gian Phẩn III Các bải toán về điểm, đường thăng vả mặt phăng Phần IV Mătcầu
Phẩn V Các bài toán hình học không gian giải bàng phương pháp toạ độ
trong không gian
bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho hơn 60 dạng toán hình học giải tích trong không gian thường gặp Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, chúng tôi mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù bằng việc liệt
kê các bài toán thay cho đáu mục.
Thay m ặt nhóm tác giả, tôi xừỉ bày tỏ tại đđỵ lời cảm ơn đến người học trò của
m ình là Lẽ Bích Ngọc đã vui lòng nhận kiêm tra lại từng phán của bản thảo cùng với việc cộng tác viết cuốn " Phương pháp giãi Toán Tích phân " Xùi dược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp dờ động viên từìh thấn của những người Thảy mà tôi hàng km h trọng, gồm: GS TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên H iệu Trưởng Trường PTTH Hà N ội - Amsterdam, PCS TSKH Đinh Quang Lưu, GS TSK tì
N guyễn Văn Thu và người Thày thủa thiếu thời của tôi Bấc Ngô Lâm.
Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng bằng việc tham khảo m ột lượng rât lớn các tài liệu hiện naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đ ì giảng dạy ngay cho các học sinh của
m ình từ đó kiêm nghiệm và bô’xung thiếu só t cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của các bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện bộ tài liệu này.; nhưng thát khó tránh
khỏi nhùng thiêu sót bởi nhùng hiểu biết và kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất
m ong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.
M ọi ý kiến xin liên hệ trực tiếp hoặc gử i về theo địa chỉ:
Nhóm tác giả Cự Mồn
Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671
E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(&yahoo.com Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004)
Hà nội, ngày 1 ữiắng 1 năm 2003
LÊ HỔNG ĐỨC
Trang 6MỤC LỤC
LỜIGIỚI THIỆU
MỞ DẦU 1
PHẨN I MẶT PHẢNG Chủ đế 1 Phương trình măt phăng .15
Bài toán 1 Phương trình măt phăng đi qua 1 điếm cỏ vtpt n 16
Bài toán 2 Phưưng trình mặt phảng đi qua 1 điểm có vtcp ă và b 17
Bài toán 3 Phương trình mặt phăng đi qua 3 điêYn khỏng thăng hàng 18
Bải toán 4 Phương trình măt phăng theo đoạn chán 19
Chủ để 2 Chuyển dạng phương trình măt phăng 21
Bầi toán 1 Tìm một căp vtcp của măt phăng 21
Bài toán 2 Tìm một vtpt của mặt phăng 22
Bải toán 3 Chuyển phương trình tổng quát của măt phăng về dạng tham số 23
Bài toán 4 Chuyển phương trình tham sô của mặt phăng vẻ dạng tông quát 24
Chủ đế 3 Vị trí tương đối của hai măt phăng 31
Chù để 4 Chùm mặt phăng 35
Chủ để 5 Khoảng cách từ một diêm đến một mặt phăng 49
Bải toán 1 Khoảng cách hình học từ một điểm đến một măt phăng 49
Bài toán 2 Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p) một khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K 50
Bài toán 3 Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc tạo bởi (Pj), (Pị) chứa điêm Mfl hoặc của góc đối đỉnh với nó 51
Bài toán 4 Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị diện 52
PHẨN II ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n Chủ để 1 Phương trình đường thăng .55
Chủ đế 2 Chuyển dạng phương trình đường thăng 59
Bài toán 1 Tim một vtcp của đường thâng (d) cho trước 59
Bàỉ toán 2 Chuyển dạng phương trinh tổng quát của đường thăng sang dạng phương trình tham số hoặc chính tắc 60
Bài toán 3 Cách chuyển dạng phương trình tham số của đường thăng sang dạng phương trình tổng quát 61
Chủ để 3 Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng 67
Bài toán 1 Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng 67
Trang 7Bài toan 2 Giả sử (d)r\(P)={A| Lâp phương trình đường tháng (d,))
qua A vuông góc với (d) và năm trong mẫt phing (P) 75
Bài toán 3 Bải toán về họ đường thăng (đm) 71
Chủ đê 4 Vị trí tương đối của hai đường thăng 77
Bàỉ toán 1 ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đôi của hai đườnjg thăng 77 Bàỉ toán 2 Xét vị trí tương đô'i của hai đường thăng 78
Bài toản 3 Viết phương trình măt phăng (P) song song và cách đểu hai đường thảng (đ,), (dj) chéo nhau 79
Bài toán 4 Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai đường thăng song song (dj), (dj) và thuộc măt phăng chiứa hai đường thăng (dị), ( d j 79
Bài toán 5 Viết phương trình đường phân giác của hai đường thăn$ cắt nhau (dị), (cU) 80
Chủ để 5 Hai đường thăng đổng phăng và các bài toán lièn quan 83
Bài toán 1 Xác định toạ độ giao điôm của hai đường thăng 83
Bài toán 2 Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng đổng phảng (dt) và (dj) 84
Chủ để 6 Hai đường thăng chéo nhau vả các bài toán liên quan 93
Bài toán 1 CMR hai đường thăng chéo nhau 93
Bài toán z Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thăng chéo nhau 94
Bài toán 3 Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo nhau 98
PHẦN IU ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNGw • Chủ để 1 Đường thăng đi qua một điểm cắt cả hai dường thăng cho trướtc 109
Chủ đế 2 Đường tháng đi qua một điôm vuông góc với hai đường thăng cho trước 119
Chủ để 3 Đường thăng đi qua một điôm vuông góc với một đường thãng vả cắt một đường tháng khác 123
Chủ để 4 Hình chiêu vuông góc của điểm lên mặt phăng 129
Bài toán 1 Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lên một măt phăng 129
Bài toán 2 Tìm điểm đối xứng của điểm A qua măt phăng (P) 129
Bài toán 3 Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với một đường thing cho trước qua một mặt phăng cho trước 130
Chủ đ í 5 Hình chỉéíi vuông góc của đường thing lén măt phăng 137
Chủ để 6 Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng 147
Bái toán 1 Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lén một đường thăng; 147
Bái toán 2 Tìm điểm đôì xứng của điểm A qua đường thing (d ) 147
Bài toán 3 Xác định phương trình đường thảng đối xứng với một đường thăng cho trước qua một đường thăng cho trước 147
Trang 8Chúi đề 7 DiCrn và một phàn>; .159
Chúi đế 8 Diổm và đườn^ t h c l n ^ lf>7 Bài toán 1 Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn tính chất K 167
Bai toán 2 Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,) sao cho xịt + V\1 + nhỏ nhát .168
Bai toán 3 Cho htii điốm A, B vá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d) sao cho MA+MB nho nhát 168
C h ủ đê 9 Góc trong không gian 173
Bài toán 1 Xác định góc giữa hai đưỡnj; thăn^ 173
Bài toán 2 Góc giữa đường thân}' va mặt phănj; 174
Bài toán 3 Xác dinh góc giữa 2 măt piling 175
Chủ để 10 Tam giác trong không gian 181
PHẦN IV M Ặ T C Ầ U Chủ đế 1 Phương trình một cẩu 189
C hủ đê 2 Mặt cầu tiếp xúc với mặt p h ă n g 197
Chủ đê 3 Măt cầu cắt mặt phàng 203
Chủ để 4 Măt cầu tiếp xúc với đường tháng 207
Bài toán 1 Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c) và tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước 207
Bài toán 2 Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d) tại điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») và thoả mán điều kiên K 208
Bài toán 3 Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với 2 đường thăng cắt nhau (đj), (d2) cho trướr và thoa mãn điổu kiộn K 209
Bải toán 4 Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với 2 đường thăng (đ ,) , ( d j song song với nhau cho trước và thoà mân điểu kiện K 210
Bài toán 5 Lâp phương trinh mặí c ầu (S) tiôp xúc vơi 2 dường thăng chéo nhau ( đ |) , (d:) cho trước và thoà màn điõu kiộn K 2i2
Chủ để 5 Mặt cầu cắt đường thỉỉng 219
Chu để 6 Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện 223
Chủ đê 7 Măt cầu nội tiếp khối đa điện 231
Chủ đê 8 Vị trí tương đối cùa diêm và mặt c ầ u 237
Bài toán 1 Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) và điôm A cho trước .237 Bài toán 2 Cho mặt cầu (S) và đỏm A khồng trùng với tâm ỉ của (S) Tìm toạ độ đi ỏm M thuộc (S) sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 237
Chù đế 9 Vị trí tương đối của đường thăng và măt c ầ u 239
Bài toán 1 Xae định vị trí tương đối của mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) 239
0
Trang 9Báỉ toán 2 Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đỏn
(d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhất 241
Chủ đế 10 Vị trí tương đối của mặt phăng vả mặt c ầu 245
Bái toán 1 Xác định vị trí tương đối của măt cầu (S) và mặt pháng ( P) 245
Bài toán 2 Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách tử M <đẻn (P) đạt giá trị lớn nhâ*t, nhỏ nhâ't 246
Bài toán 3 Chùm măt cầu dạng 1 248
Chủ đ í 11 Vị trí tương đối của hai măt c ầ u 253
Bảỉ toán 1 Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S,) và (Sj) 253
Bài toán 2 Chùm mặt cầu dạng 2 254
Chủ để 12 Tiếp tuyến của mặt cầu, tiếp diện của măt cầu 257
PHẦN V CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chù đế 1 Giải bải toán định lượng trong hình học không gian 263
Chủ để 2 Giải bài toán định tính trong hình học không gian 279
Chủ để 3 Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian 287
Chủ đế 4 Giải bài toán cực trị trong hình học khổng gian 291
TÀI LIỆU THAM KHẢO 302
Trang 10MỞ ĐẨU
Cho hệ toạ độ Oxyz
Vectơ
Cho hai điểm Mj(xj, y u Zị) và Mị(x^ y y z2) thì:
M1M2 = ( x 2- x „ y2-y1, Z 2 ’ Z\)
Các p h é p toán Vectơ
Nếu c ó h a i v e c t ơ Vj ( x „ y uZj) v à v 2 ( x 2/ y 2/ z2) thì:
( i ) V 1 4* v 2 = ( x , + x 2/ y , + y 2, z , + z 2)
(ii) V, - V , = ( x r x 2, y r y 2, z r z 2)
( i i i ) k V , (X j, y „ Z j ) = ( k x „ k y v k z j ) , k e R
K hoáng cách đ giữa hai điêm M^Xj, y u Zj) s p,( ?!) và Mj(x2/ y2, z2) s P2( r2) là
đ ộ d à i c ủ a v e c t ơ M ị M 2
d = | M,M: I = >/(x1 - X,)2 + (y, - y2): + (z, - Z,)2
Chia m ột đoan thăng theo m ột tĩ số cho trưởc Điểm M(x, y, z) chia đoạn thăng M ,M2 theo một tỉ số k : MMj =k MM, được xác định bởi các công thức:
X = kx2
1 - k
v = Z i z M
7 l - k
Z ị - k z 2
(1)
z =
1 - k Đặc biệt nếu k=-l, thì M là trung điểm của đoạn thảng MịM2 , khi đó toạ
đ ộ của M được xác định bởi:
v = L lU ±
Zt + z ,
z = —
-(2)
Góc a g i ữ a h a i v e c t ơ Vj (Xj, y t, Zị) v à v 2 ( x 2, y2/ Z2) x á c đ ị n h b ở i:
*Ị-*2 + yi-y2 + *i-*2
V*1 +yi + Z 1 V xí + y* + z*
Các Em hoc smh hãv tham gia hoc tâp theo phưưng pháp" LJv hoc trò lit unetim "
Dưới sự hỗ trợ cùa NhómCựlvtòn doThs Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đào Thiớn Khái phụ trach.
11
Trang 11Hình hoc Giài tích troiift Mionfi friian
Côsin chĩ phương Côsin của các góc giừa vectơ V (x, y, z) và hướng dương
của các trục Ox, Oy, Oz được gọi ỉà Côsin chĩ phương cosax, cosay/ cosa, được xác định bởi:
c o s a , X
I 2 2 2 '
+ y + z
COSCL. L
y ~ yx + y + z1 2 2 2 '
c o s a ,
2 2 /
y X + y + z
c o s : a v+ c o s 2a + c o s 3a ?= l
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4-4)
Ba đ iểm th ăn g hàng Ba diêm A(x„ y„ Z j ), B(x-,, Vj, z2) và C(xv yv Z j) thăng hàng nếu (điểu kiện cần và đủ) AC = kAB
o
o
X , - X1 = 1 1211
X j - X , y2 - y *2
Yi Z1 1 z , X , 1 X 1 y i 1
y , Z , 1 = z 2 x2 1 = x 2 Y’ 1
yj z3 1 Z j X j 1 *3 yj 1
(5)
(6)
Bốn điếm đ ổ n g p h ỉn g Bốn điêrn A(x„ y„ Z | ), B(xj, y y Z j ) và C(xv yv Z j ) và
D(x4, Ỵị, z4) đồng phăng nếu (diều kiện cần và đủ)
X , y , Zj 1
X , y , Z j 1
x 3 y 3 Z j 1
x 4 y 4 z 4 1
Tích vỏ h ư ở ng giữa hai vectơ V, (Xj, y„ Zj) và V , (Xj, yj, Zj) xác địn h bời:
Tích vectơ (hay tích có hướng ) của hai vectơ Vj ( X | , y„ Z ị ) và v2 (x:, y„ Zj) kí hiệu [ V , , V , ] là m ột vectơ V được xác định bởi:
[ v , , v , ] = v yi h
y 2
z, X,
z 2 X ,
*1 yi
x 2 Ỹ2 (9)
C ic tin h c h ít
(i) V j,v 2 cộng tuyến <=> [Vj , v 2]= õ , (ii) V | l [ v 1 /v2], v2l [ v j , v : ],
(iii) | [ v , , v , ] | = | V, | | V; l-sina, trong đó a là góc giữa hai vectơ V) và v2