Mô phỏng sóng nước nông trong mặt phẳng nghiêng dùng phương pháp smoothed particle hydrodynamics

Những điều kể ở trên tạo ra nhiều những khó khăn cho những phương pháp số truyền thống sử dụng lưới tiêu chuẩn và đó là tại sao tác giả của luận văn chọn một phương pháp tương đối mới vớ

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

ĐẶNG LÊ QUANG

MÔ PHỎNG SÓNG NƯỚC NÔNG TRONG MỘT TẤM PHẲNG NGHIÊNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 8 năm 2013

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

ĐẶNG LÊ QUANG

MÔ PHỎNG SÓNG NƯỚC NÔNG TRONG MỘT TẤM PHẲNG NGHIÊNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 8 năm 2013

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Trịnh Anh Ngọc và TS Bùi Quốc Tính

……… ………

……….………

……….………

Cán bộ nhận xét 1: ………

……….…

………

………

Cán bộ nhận xét 2: ………

……….…

………

………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 06 tháng 08 năm 2013 Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 ………

2 ………

3 ………

4 ………

5 ………

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Tp HCM, ngày … Tháng … Năm 2013

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : Đặng Lê Quang Phái : Nam

Ngày sinh : 06-07-1987 Nơi sinh : TP Hồ Chí Minh

Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV : 11240500

I – TÊN ĐỀ TÀI :

MÔ PHỎNG SÓNG NƯỚC NÔNG TRONG MỘT TẤM PHẲNG NGHIÊNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS

II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

 Tổng quan bài toán sóng nước nông

 Giải số bài toán sóng nước nông bằng phương pháp smoothed particle namics

hydrody- So sánh nghiệm số của phương pháp smoothed particle hydrodynamics với dữ liệu thực nghiệm và 2 phương pháp (sai phân hữu hạn và thể tích hữu hạn)

 Mở rộng bài toán cho những ứng dụng cụ thể

III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 02/2012

IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 6/2013

V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS Trịnh Anh Ngọc và TS Bùi Quốc Tính

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO

TS Trịnh Anh Ngọc TS Bùi Quốc Tính

TRƯỞNG KHOA ………

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới hai Thầy hướng dẫn – TS Trịnh Anh Ngọc – Trưởng Bộ môn Cơ học, Khoa Toán Tin học – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh, Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh, và TS Bùi Quốc Tính, Bộ môn Cơ Kết cấu, Khoa Xây dựng Dân dụng, Đại Học Seigen – Đức Hai thầy không chỉ truyền cho tôi kiến thức, tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn mà tôi còn học được ở hai Thầy rất nhiều về sự đam mê trong nghiên cứu, tính trung thực trong khoa học và trên hết là sự không lùi bước với những khó khăn trong nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tập thể Thầy, Cô giáo bộ môn Toán Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng, phòng Đào Tạo Sau Đại Học – trường đại học Bách Khoa – Đại học Quốc Gia Tp HCM đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, những người thân yêu nhất và đặc biệt là mẹ tôi người đã luôn khích lệ, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Đặng Lê Quang

TÓM TẮT

Trong luận văn, tác giả sử dụng một phương pháp có lưới tự do dựa trên những biến Lagrange

để mô phỏng những ứng xử của bề mặt sóng nước 2 chiều trên những tấm phẳng nghiêng Mô hình sóng nước nông được chọn trong luận văn và sử dụng phương pháp smoothed particle hy-drodynamics (SPH) Ý tưởng quan trọng và cũng là đặc điểm then chốt của phương pháp lưới tự

do SPH là rời rạc miền chất lỏng tính toán vào trong một tập hợp của những hạt rời rạc Những hạt này với một thể tích cụ thể sẽ tương tác lẫn nhau để gây ra những dòng nước chuyển động theo phương ngang và sự di chuyển của bề mặt sóng nước Trong phương pháp SPH, những hạt được giả sử di chuyển một cách tự do nhưng tác giả vẫn thiết lập một lưới nền cho việc xác định

vị trí của hạt một cách chính xác và quản lý dữ liệu trong tính toán Từ ý tưởng trên, chương trình lập trình cho mô phỏng cũng được phát triển theo Để xác nhận sự chính xác của mô hình SPH, một mô hình thực nghiệm về vỡ đập nước được sử dụng để so sánh kết quả Bên cạnh đó, nghiệm giải phương trình sóng nước nông bằng phương pháp SPH cũng được đem so sánh với nghiệm giải bằng 2 phương pháp cổ điển có lưới (sai phân hữu hạn và thể tích hữu hạn) trong

mô hình tấm phẳng thẳng đứng Sự so sánh được thực hiện khi sử dụng cùng số nút (hạt) cho cả

3 phương pháp sai phân hữu hạn, thể tích hữu hạn và SPH Sau khi đã đánh giá sự chính xác của phương pháp SPH trong mô phỏng, tác giả ứng dụng vào một số mô hình thực tế như sự dao động của giọt nước trong một hộp vuông, sự đổ ập xuống của cột nước và sự dao động của giọt nước trong một miền tính tóan phức tạp

ABSTRACT

In this work, a Lagrangian variables-based meshfree approach is presented which

is used for simulating water surface behaviors in a two-dimensional (2D) slanted plane

A shallow water model is defined and then solved by using the smoothed particle dynamics (SPH) method The crucial idea and also the key feature of the meshfree SPH

hydro-is by dividing the fluid into a set of dhydro-iscrete particles Particles with specified volume interact each other to induce horizon flow and free water surface motion In the SPH me-thod, the particles are assumed to be moved freely, but a grid is maintained to be precise-

ly detected the particle’s position and manage data base To serve that purpose, a puter SPH code is developed To validate the accuracy of the present SPH model, an ex-perimental model of dam break is employed for the comparison purpose Furthermore, the solutions obtained by the proposed SPH method is compared with those derived from two conventional grid-based methods, i.e., the finite difference method and the finite vo-lume method, in modeling the vertical plane The comparison is made by using the same number of grid’s nodes (particles) for all the finite difference method, the finite volume method and the SPH approach Additionally, the present formulation is also applied to solve some practical problems including the oscillation of drop in square box, the col-lapse of a cylindrical column of water and the oscillation of drop in a complex computa-tional domain

com-MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 5

TÓM TẮT 6

ABSTRACT 7

MỤC LỤC 8

DANH MỤC HÌNH 11

DANH MỤC BẢNG 12

MỞ ĐẦU 13

CHƯƠNG 1 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG 15

1.1 Các phương trình cơ bản 15

1.1.1 Sự bảo toàn khối lượng 15

1.1.2 Sự bảo toàn động lượng 18

1.2 Thiết lập hệ phương trình sóng nước nông cho trường hợp 2 chiều 21

1.2.1 Phương trình sóng bề mặt 21

1.2.2 Phương trình động lượng 22

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SPH 27

2.1 Phương pháp SPH tiêu chuẩn 27

2.1.1 Ý tưởng cơ bản của phương pháp SPH 27

2.1.2 Công thức chủ yếu của SPH 29

2.1.3 Nhận xét phương pháp SPH tiêu chuẩn 35

2.2 Phương pháp SPH cho bài toán sóng nước nông 36

2.2.1 Những phương trình chính 36

2.2.2 Phương pháp SPH sử dụng cho bài toán sóng nước nông 37

2.2.3 Rời rạc theo không gian cho những phương trình chủ đạo 38

2.2.4 Sự di chuyển của những hạt chất lỏng 39

2.2.5 Những hàm nhân làm trơn 40

2.2.6 Xấp xỉ theo thời gian và điều kiện ổn định 40

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ ĐỘ TIN CẬY CỦA PHƯƠNG

PHÁP SPH 42

3.1 Mô hình vỡ đập nước 42

3.1.1 Mô tả mô hình vỡ đập nước 42

3.1.2 Kết quả so sánh 44

3.1.3 Nhận xét kết quả 46

3.2 So sánh kết quả bài toán sóng nước nông giữa SPH và FDM 46

3.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn trong bài toán sóng nước nông 46

3.2.2 Mô tả thuật toán mô phỏng 47

3.2.3 Kết quả so sánh giữa phương pháp FDM và SPH 48

3.2.4 Nhận xét kết quả 50

3.3 So sánh kết quả bài toán sóng nước nông giữa SPH và FVM 50

3.3.1 Phương pháp thể tích hữu hạn trong bài toán sóng nước nông 50

3.3.2 Mô tả thuật toán mô phỏng 51

3.3.3 Kết quả so sánh giữa phương pháp FVM và SPH 52

3.3.4 Nhận xét kết quả 54

CHƯƠNG 4 ÁP DỤNG SỐ MÔ PHỎNG ỨNG DỤNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SPH 55

4.1 Ví dụ 1 55

4.1.1 Mô tả mô hình 55

4.1.2 Kết quả 57

4.1.3 Nhận xét kết quả 60

4.2 Ví dụ 2 61

4.2.1 Mô tả mô hình 61

4.2.2 Kết quả 62

4.2.3 Nhận xét kết quả 65

4.3 Ví dụ 3 65

4.3.1 Mô tả mô hình 65

4.3.2 Kết quả mô phỏng 67

4.3.3 Nhận xét kết quả 70

KẾT LUẬN 72

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Mật độ dòng chất đi vào và đi ra một phần tử 16 Hình 1.2 Những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng trong 2 chiều 19 Hình 1.3 Mặt cắt ngang của lớp nước chảy xuống mặt phẳng nghiêng 21 Hình 1.4 Minh họa những lực tác động lên 2 phân tử trong một chất lỏng Một phần tử được đặt bên trong chất lỏng, phần tử kia đặt trên bề mặt 24 Hình 1.5 Lực sức căng bề mặt ở những điểm với độ cong khác nhau 25 Hình 2.1 Miền ủng hộ của hàm làm trơn W và miền tính toán 32 Hình 2.2 Những xấp xỉ hạt sử dụng những hạt trong miền ủng hộ của hàm trơn Wcho hạt i Miền ủng hộ là vòng tròn với bán kính của h 33 Hình 3.1 Mô hình hình học của bài toán vỡ đập nước 43 Hình 3.2 Kết quả so sánh mô phỏng bằng phương pháp SPH và thực nghiệm trong một

số bước thời gian a) t=0.5s b) t=1.5s c) t= 2.5s d) t=3.5s 46 Hình 3.3 Những kết quả so sánh giữa SPH và FDM ở từng thời điểm a) t=0 b) t=0.05 49 Hình 3.4 Những kết quả so sánh giữa SPH và FVM ở từng thời điểm a) t=0 b) t=0.05 54 Hình 4.1 Mô tả ví dụ 1 55 Hình 4.2 Kết quả mô phỏng thứ nhất ở từng thời điểm a) 0.2s b) 0.27s c) 0.4s d) 0.72s e) 0.84s f) 2.99s 59 Hình 4.3 Mô tả mô phỏng thứ 2 61 Hình 4.4 Kết quả mô phỏng thứ hai ở từng thời điểm a) 0.3s b) 0.5s c) 0.9s d) 2.3s e) 5.4s 64 Hình 4.5 Mô tả mô phỏng thứ 3 66 Hình 4.6 Kết quả ví dụ 3 ở từng thời điểm a) 0.35s b) 0.37s c) 0.47s d) 0.61s 70

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3-1 So sánh thời gian tính toán của phương pháp SPH và phương pháp FDM 50 Bảng 3-2 So sánh thời gian tính toán giữa phương pháp SPH và phương pháp FVM 54 Bảng 4-1 So sánh thời gian tính toán khi dùng số hạt 300 (hạt), 350 (hạt), 400 (hạt) của

ví dụ 1 60 Bảng 4-2 So sánh thời gian tính toán khi dùng số hạt 500 (hạt), 550 (hạt), 600 (hạt) của

ví dụ 2 65 Bảng 4-3 So sánh thời gian tính toán khi dùng số hạt 400 (hạt), 450 (hạt), 500 (hạt) của

ví dụ 3 70

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong sự phát triển của thế giới ngày nay, ngày càng có nhiều ngành công nghiệp

về năng lượng, thực phẩm và hóa chất, v.v ra đời Tất cả những ngành này dần trở thành những ngành công nghiệp rất quan trọng trong nước ta và trên thế giới Trên thực

tế, để một sản phẩm công nghiệp như vậy ra đời cần trải qua vô số những công đoạn kiểm tra phức tạp Những công đoạn đó trong quá khứ thường được kiểm tra thông qua thực nghiệm Tuy nhiên, ngày nay người ta ngày càng ít dùng thực nghiệm mà chuyển sang mô phỏng trên máy tính vì nhiều lý do Một trong những lý do đó là chi phí thực nghiệm thường rất cao và đa phần những mô hình thực nghiệm cũng rất phức tạp để có thể đánh giá chính xác

Một trong những mô hình mà đa phần các ngành công nghiệp trong và ngoài nước đều quan tâm đó chính là mô hình lớp nước mỏng chảy trên những bề mặt vật liệu bất

kỳ Mô hình này được sự quan tâm của nhiều ngành công nghiệp bởi vì nó có thể ứng dụng trong nhiều trường hợp khác nhau Một trong những trường hợp ứng dụng đó là quá trình quét sơn lên những vật liệu bất kỳ trong ngành công nghiệp xây dựng hay tráng một lớp hóa chất mỏng lên những vật liệu trong ngành công nghiệp năng lượng v.v…

Việc mô phỏng lớp nước mỏng như vậy thì phương trình sóng nước nông là thích hợp nhất để mô tả toàn bộ quá trình

Bên cạnh đó, những mô phỏng thường gặp nhiều vấn đề phức tạp về hình học mô phỏng hoặc về những trường hợp phải ghép những hình học lại với nhau Những điều kể

ở trên tạo ra nhiều những khó khăn cho những phương pháp số truyền thống sử dụng lưới tiêu chuẩn và đó là tại sao tác giả của luận văn chọn một phương pháp tương đối mới với lưới tự do có tên smoothed particle hydrodynamics

Xuất phát từ vấn đề đó đề tài: “Mô phỏng sóng nước nông trong mặt phẳng

nghiêng dùng phương pháp smoothed particle hydrodynamics” được thực hiện với

mục tiêu dùng một phương pháp lưới tự do để mô phỏng sóng nước nông trong một số trường hợp phức tạp

2 Mục tiêu

Nghiên cứu và áp dụng phương pháp tính toán mô phỏng số SPH cho bài toán sóng nước nông và những ứng dụng trong thực tế như sự dao động của giọt nước trong những bồn chứa hình vuông, sự đổ ập xuống của cột nước và sự dao động của giọt nước trên những hình học phức tạp

3 Nội dung nghiên cứu

Để đạt mục tiêu trên, luận văn sẽ thực hiện những nội dung cơ bản sau:

 Tổng quan bài toán sóng nước nông

 Giải số bài toán sóng nước nông bằng phương pháp SPH

 So sánh nghiệm số của phương pháp SPH với dữ liệu thực nghiệm và 2 phương pháp có lưới (sai phân hữu hạn và thể tích hữu hạn)

 Mở rộng bài toán cho những ví dụ ứng dụng cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu sau đây được sử dụng trong đề tài:

 Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễn

 Phương pháp mô hình hóa: xây dựng mô hình dựa trên các tính chất cơ học của sóng nước nông và các định luật bảo toàn

5 Tính mới

Phương pháp SPH là một phương pháp số khá mới mẻ ở Việt Nam và trên thế giới trong những thập kỷ gần đây cho tính toán mô phỏng số những bài toán trong cơ học, đặc biệt thích hợp cho cơ học chất lỏng và lưu chất Những mô hình được nghiên cứu trong luận văn gần gũi với thực tiễn

CHƯƠNG 1 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

1.1 Các phương trình cơ bản

Nhiệm vụ chính trong động lực học chất lỏng là tìm ra trường vận tốc mô tả dòng chảy trong miền tính toán Để làm điều này, người ta thường sử dụng những phương trình cơ bản của dòng chất lỏng, và những phương trình này cũng sẽ được rút ra trong chương này dựa trên các định luật quen thuộc của cơ học:

 Định luật bảo toàn khối lượng (phương trình liên tục)

 Định luật bảo toàn động lượng (phương trình bảo toàn động lượng)

1.1.1 Sự bảo toàn khối lượng

 Ta sẽ có tỉ lệ giảm khối lượng trong thể

tích V được biểu diễn bởi phương trình sau

dS bằng với diện tích phần tử và có vector pháp tuyến hướng ra ngoài Tích phân trên cả

bề mặt ta sẽ có tỉ lệ mật độ dòng chất đi ra khỏi thể tích V và công thức được biểu diễn như bên dưới

Công thức trên đã sử dụng công thức Gauss-Ostrogradsky để chuyển tích phân mặt thành tích phân theo thể tích   v  trong vế phải được biểu diễn trong hệ trục tọa

độ Cartesian xx y z, , , vu v w, ,  như sau:

Hình 1.1 Mật độ dòng chất đi vào và đi ra một phần tử

Để bảo toàn khối lượng,

V

dV t

1.1.1.2 Đạo hàm vật chất

Cho một đại lượng vật lý bất kỳ f  fx ,t (mật độ, nhiệt độ, mỗi thành phần vận tốc, v.v…), người ta thường quan tâm đến 2 dạng đạo hàm theo thời gian f t, như trong phương trình (1.4), có nghĩa là sự thay đổi của f theo thời gian ở một hạt cụ thể được cố định trong không gian (quan điểm chuyển động theo Euler) Tuy nhiên, ta vẫn có công thức để biểu diễn sự thay đổi của f theo thời gian trong một phần tử chất lỏng di chuyển dọc theo đường đi của nó xx t trong dòng chảy (quan điểm chuyển động theo Lagrange) Điều này định nghĩa đạo hàm vật chất như sau:

1.1.1.3 Phương trình liên tục cho trường hợp chất lỏng không nén được

Nếu chất lỏng là không nén được,  constant, độc lập đối với không gian và thời gian dẫn đến D Dt  0 Phương trình liên tục (1.6) sẽ trở thành:

1.1.2 Sự bảo toàn động lượng

1.1.2.1 Phương trình động lượng

Xét một thể tích V được bao bởi một mặt S có thể di chuyển theo dòng chảy,

trong đó bao gồm những phần tử vật chất cùng tính chất Động lực của khối thể tích này

 Lực khối hay lực thể tích (ngoại lực): là lực tác động lên toàn bộ khối chất lỏng

trong phần tử thể tích dV bất kỳ Ở đây, ta duy nhất xét trọng lực gdV

 Lực mặt (nội lực): là lực mà khi xét một phần tử bất kỳ, sẽ có những hiệu ứng sinh ra do tương tác với những phần tử khác ở bề mặt tiếp xúc mỏng giữa các phần tử Trong 3D, xét một tensor ứng suất   , người ta định nghĩa những lực đặt trên mỗi đơn vị diện tích băng qua một phần tử bề mặt dSnˆdS ( ˆ n là vector

pháp tuyến đơn vị của bể mặt và có hướng đi ra ngoài) và f     n ˆ

Sử dụng định luật 2 Newton, phương trình (1.9) và (1.10) trên một phần tử thể

tích bất kỳ Nên ta cuối cùng nhận được phương trình bảo toàn động lượng:

 và  là những hệ số của độ nhớt động lực học và độ nhớt khối một cách lần lượt p là

áp suất

1.1.2.2 Hệ phương trình Navier-Stokes cho trường hợp dòng chảy không nén được

Cho dòng chảy không nén được, theo phương trình (1.7) ta có   v 0 Vậy ta sẽ

có sự giảm đi của những số hạng trong những phương trình (1.14), (1.15), (1.16)

j i

ij ij

u u p

1.2 Thiết lập hệ phương trình sóng nước nông cho trường hợp 2 chiều

Để phù hợp với luận văn, tác giả chỉ thiết lập phương trình sóng nước nông cho trường hợp 2 chiều Trong trường hợp 3 chiều, tất cả mọi bước được làm tương tự như trong 2 chiều Ta có một số ký hiệu dùng trong 2 chiều

Hình 1.3 Mặt cắt ngang của lớp nước chảy xuống mặt phẳng nghiêng

Từ phương trình (1.19), ta khai triển đạo hàm vật chất sẽ có:

trong đó, n là hệ số ma sát Manning (không có thứ nguyên), R bán kính thủy lực  m

Bán kính thủy lực cũng được biểu diễn qua công thức

Sức căng bề mặt là một tính chất của bề mặt chất lỏng Lực này có tác dụng chống lại những lực từ bên ngoài và những hiệu ứng có thể được quan sát hằng ngày của nước Sức căng bề mặt giữ nước cùng nhau, tạo ra hình dáng cho những giọt nước Sức căng

bề mặt được sinh ra bởi những lực kết dính giữa những phân tử chất lỏng Bên trong chất lỏng, mỗi phân tử được đặt lực kéo và đẩy một cách bằng nhau trong mọi hướng bởi những phân tử gần kề Lực cuối cùng tác động lên những phân tử này bằng 0 Những phân tử ở mặt thoáng có thể thiểu những phân tử gần kề Điều này sẽ dẫn đến lực sau cùng tác động lên chất lỏng có xu hướng đi vào bên trong chất lỏng Ta có hình minh họa cho vấn đề này:

Hình 1.4 Minh họa những lực tác động lên 2 phân tử trong một chất lỏng Một phần tử

được đặt bên trong chất lỏng, phần tử kia đặt trên bề mặt

Điều này tạo ra áp suất bên trong và những nội lực làm cho bề mặt chất lỏng co lại đến diện tích nhỏ nhất có thể Đây là điều giải thích tại sao những giọt nước có dạng hình cầu

Sức căng bề mặt được mô tả bởi một lực thể tích (lực khối), được cho theo công thức sau:

trong đó S là một hàm chuẩn hóa và được biết như hàm delta ở bề mặt và trong đó giá trị cực đại sẽ nằm ngay trên bề mặt của chất lỏng fS là lực trên đơn vị diện tích và được cho bởi công thức:

ˆ

trong đó, N m là hệ số sức căng bề mặt, một hằng số sẽ thay đổi theo tính chất chất lỏng, ˆ n là vector pháp tuyến đơn vị, 1 m là độ cong trên bề mặt và s là gradient trên bề mặt

Số hạng đầu tiên trong phương trình (1.34) là một lực tác động dọc theo phương pháp tuyến bề mặt và là một lực sức căng bề mặt do độ cong địa phương tạo ra Lực này làm trơn những khu vực có độ cong lớn đồng thời làm giảm tổng diện tích bề mặt Ta cũng có hình để minh họa làm thế nào lực này bị tác động bởi độ cong

Hình 1.5 Lực sức căng bề mặt ở những điểm với độ cong khác nhau

Số hạng thứ 2 là một lực tác động dọc theo đường tiếp tuyến của bề mặt Lực này

có tác dụng di chuyển chất lỏng từ những khu vực có sức căng bề mặt nhỏ đến những vùng có sức căng bề mặt lớn hơn

Trong luận văn, tác giả cũng đưa ra giả thiết sức căn bề mặt là một hằng số trên toàn bộ

bề mặt chất lỏng vì vậy số hạng thứ 2 trong phương trình (1.34) được bỏ qua Vậy ta có lực sức căng bề mặt trong phương trình như sau

Như vậy cuối cùng ta sẽ có hệ phương trình đầy đủ của sóng nước nông 2 chiều

2 2

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SPH

2.1 Phương pháp SPH tiêu chuẩn

2.1.1 Ý tưởng cơ bản của phương pháp SPH

Phương pháp SPH được phát triển cho những bài toán thủy động lực học mà trong

đó bao gồm một hệ thống những phương trình đạo hàm riêng theo những biến như mật

độ, vận tốc hoặc năng lượng v.v Rút ra những nghiệm giải tích cho một hệ phương trình đạo hàm riêng thường rất khó để thực hiện trừ một số những trường hợp đơn giản

Vì vậy, những nỗ lực được thực hiện nhằm tìm kiếm những nghiệm số Trong phương pháp số để giải bài toán thủy động lực học, trước tiên người ta cần rời rạc hóa miền tính toán nơi mà hệ phương trình đạo hàm riêng được định nghĩa trên đó Tiếp theo, một phương pháp được sử dụng cho việc xấp xỉ những giá trị của những hàm và những đạo hàm của những hàm này ở bất kỳ điểm nào trong miền Hàm xấp xỉ sẽ được sử dụng vào trong hệ phương trình đạo hàm riêng để sinh ra một hệ phương trình vi phân theo thời gian Những phương trình vi phân theo thời gian này có thể được giải sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn cổ điển

Trong phương pháp SPH, những ý tưởng then chốt sau đây được thực hiện để đạt được nhiệm vụ được đề cập ở trên

1 Miền tính toán được miêu tả bằng một tập những hạt được phân bố một cách bất

kỳ

2 Phương pháp biểu diễn tích phân được sử dụng cho những hàm được xấp xỉ Điều này được tiến hành trong phương pháp SPH như xấp xỉ theo hàm nhân (kernel approximation)

3 Xấp xỉ hàm nhân (kernel approximation) được thực hiện sử dụng những hạt Điều này trong phương pháp SPH cũng được tiến hành như xấp xỉ hạt (particle approx-imation) Người ta thực hiện bằng cách thay thế tích phân trong biểu thức tích phân của hàm và những đạo hàm của hàm bằng tổng trên tất cả những giá trị tương ứng ở những hạt lân cận trong miền cục bộ được gọi là miền ủng hộ (sup-port domain)

4 Xấp xỉ hạt được thực hiện ở mỗi bước thời gian, và vì vậy sự sử dụng của những hạt dựa trên phân bố cục bộ tại thời điểm đó của những hạt

5 Những xấp xỉ hạt được thực hiện đến tất cả những số hạng liên quan trong những phương trình đạo hàm riêng để sinh ra một tập những phương trình vi phân trong dạng rời rạc duy nhất theo thời gian

6 Những phương trình vi phân này được giải sử dụng một thuật toán tích phân hiện (explicit integration algorithm) để giải tất cả những biến liên quan

Mục 1 xác định bản chất lưới tự do (meshfree) của phương pháp SPH và Không khó để xác định công thức cho một phương pháp số không sử dụng lưới Nhưng vấn đề then chốt là làm thế nào để bảo đảm sự ổn định của nghiệm số

Mục 2 cung cấp sự ổn định cần thiết về mặt toán học cho phương pháp SPH bởi

vì biểu diễn tích phân có một hiệu quả làm trơn và ứng xử như một công thức dạng yếu Những công thức dạng yếu thường rất ổn định miễn là tích phân số được thực hiện một cách chính xác

Mục 3 sinh ra một hệ thống những ma trận rời rạc thưa và hệ thống những ma trận này sẽ cực kỳ quan trọng cho những nỗ lực tính toán liên quan Vì những bài toán với những biến dạng lớn yêu cầu một số lượng lớn của những hạt (có thể lên tới hang triệu hạt) để mô tả miền tính toán cho nên có thể mất một thời gian rất dài tính toán trong CPU

Sự ổn định của SPH được đạt tới bởi thực hiện mục 4 ở mỗi bước thời gian dựa trên những hạt được phân bố một cách ngẫu nhiên trong miền ủng hộ ở thời điểm đó (the current support domain) Bởi vì công thức xấp xỉ SPH được xây dựng ngay từ bước đầu tiên của phương pháp nên công thức SPH không bị ảnh hưởng bởi sự phân bố ngẫu nhiên của hạt khi mà những hạt này thay đổi theo thời gian Vì vậy có thể xử lý những bài toán với biến dạng cực lớn Chú ý rằng sự xấp xỉ hạt này là một phương pháp để trình diễn tích phân số được yêu cầu ở mục 2 Để bảo đảm sự chính xác của tích phân và

vì vậy sự ổn định của phương pháp số, tất cả những hạt trong miền ủng hộ (miền ủng hộ nên lớn đủ) phải được sử dụng trong công thức tổng Những hạt bây giờ được cho một

khối lượng sau khi xấp xỉ hạt, có nghĩa là những hạt lúc này thật sự mang ý nghĩa của những hạt vật liệu trong vật lý

Sự sử dụng của mô tả Lagrangian ở mục 5 cho phép phương pháp SPH có tất cả những đặc điểm của phương pháp Lagrangian

Mục 6 là lấy trung bình theo bước thời gian để giải những bài toán động lực học

Sự kết hợp của 6 điểm ở trên tạo cho phương pháp SPH là một phương pháp lưới

tự do (meshfree), ổn định và dùng lời giải Lagrangian cho những bài toán về động lực học Công thức chi tiết của phương pháp SPH sẽ bắt đầu ở mục tiếp theo

2.1.2 Công thức chủ yếu của SPH

2.1.2.1 Biểu diễn tích phân của hàm

Công thức của phương pháp SPH được chia vào trong 2 bước then chốt Bước đầu tiên là biểu diễn tích phân (integral representation) hay còn được gọi là xấp xỉ hàm nhân (kernel approximation) của những hàm Bước thứ 2 là xấp xỉ hạt

Trong bước đầu tiên, tích phân của hàm bất kỳ nhân với một hàm nhân làm trơn (smoothing kernel function) cho ta xấp xỉ hàm nhân trong dạng biểu diễn tích phân của hàm Biểu diễn tích phân của hàm sau đó được xấp xỉ bởi cộng tổng tất cả các giá trị của những hạt lân cận gần nhất, điều đó mang lại sự xấp xỉ hạt của hàm ở một điểm rời rạc hay một hạt rời rạc

Nội dung của biểu diễn tích phân (integral representation) của một hàm f x

được sử dụng trong phương pháp SPH bắt đầu từ định nghĩa

rac delta được sử dụng, biểu diễn tích phân trong phương trình (2.1) là chính xác, miễn

là f x được định nghĩa và liên tục trong 

Nếu hàm Delta x x  được thay thế bằng một hàm làm trơn Wxx , h, biểu diễn tích phân của f x được cho bởi

Trong qui ước của phương pháp SPH, toán tử xấp xỉ nhân dùng dấu ngoặc nhọn < > và

vì vậy phương trình (2.3) được viết lại như

trong đó  là một hằng số liên quan đến hàm làm trơn cho điểm ở x, và định nghĩa miền ủng hộ (support domain) của hàm nhân

Chú ý từ (2.7) miền ủng hộ (support domain) của hàm làm trơn là xx  h, những sai số trong biểu diễn tích phân SPH có thể được đánh giá thô bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor của f  x gần x, nơi f  x là khả vi Sử dụng phương trình (2.4) dẫn tới

2.1.2.2 Biểu diễn tích phân của đạo hàm của một hàm

Sự xấp xỉ cho đạo hàm riêng  f  x được đơn giản rút ra bởi thay thế f x  bởi

Tích phân đầu tiên bên vế phải của phương trình (2.13) có thể biến đối sử dụng

định lý divergence chuyển tích phân theo thể tích thành tích phân trên bề mặt S của miền

là vector pháp tuyến đơn vị của bề mặt S

Bởi vì hàm làm trơn W được định nghĩa bằng 0 ở ngoài biên của miền ủng hộ nên ta có

miền ủng hộmiền tính toán

Hình 2.1 Miền ủng hộ của hàm làm trơn W và miền tính toán

Miền ủng hộ được đặt trong miền tính toán Vì vậy tích phân mặt ở vế phải của phương trình (2.14) bằng 0

2.1.2.3 Xấp xỉ hạt

Trong phương pháp SPH, toàn bộ hệ thống được biểu diễn bằng một số hữu hạn của những hạt và những hạt này đều mang khối lượng, chiếm giữ không gian riêng

Những điều trên có thể thực hiện được nhờ vào xấp xỉ hạt và đây cũng là toán tử then chốt trong những phương pháp SPH

Biểu diễn tích phân liên tục liên quan đến xấp xỉ hàm nhân (biểu thức trong phương trình (2.4) và (2.15)) có thể được chuyển đổi thành những dạng rời rạc của tổng trên tất cả những hạt trong miền ủng hộ (thấy trong Hình 2.2) Quá trình rời rạc tương ứng của tổng trên những hạt được biết như xấp xỉ hạt trong những tài liệu SPH Quá trình này được thực thi như sau

Hình 2.2 Những xấp xỉ hạt sử dụng những hạt trong miền ủng hộ của hàm trơn W cho hạt

i Miền ủng hộ là vòng tròn với bán kính của h

Nếu như thể tích rất nhỏ d x trong những tích phân ở vị trí hạt j được thay thế bởi thể tích hữu hạn của hạt V j Và thể tích này được liên quan đến khối lượng của hạt m j

Biểu diễn tích phân liên tục cho f x  có thể được viết trong dạng của xấp xỉ hạt

đã được rời rạc hóa (discretized particle approximation);

Theo cùng lập luận, xấp xỉ hạt cho đạo hàm theo không gian của hàm là

1

,

N j

trong đó W trong phương trình trên là gradient theo hạt j

Xấp xỉ hạt cho hàm ở hạt i có thể được viết như

1

N j

Nói tóm lại, cho một hạt i, theo xấp xỉ hạt, giá trị của một hàm và đạo hàm của của hạt i được xấp xỉ như sau

1

N j j

những trường hợp lên đến vài triệu hạt) Từ đó, khối lượng tính toán cũng rất lớn làm chiếm tài nguyên và thời gian của máy tính

2.2 Phương pháp SPH cho bài toán sóng nước nông

2.2.1 Những phương trình chính

Bởi việc giả sử dòng nhớt và không nén được, những phương trình sóng nước nông dạng Eulerian như sau:

 0

n là vector pháp tuyến đơn vị

Dạng Lagrangian của phương trình (2.29) và (2.30) có thể được biểu diễn

2 2

Phương trình (2.33) chính là đạo hàm vật chất, (2.31) là phương trình chiều cao

và (2.32) là phương trình bảo toàn động lượng

Điều kiện biên thứ nhất được sử dụng trong luận văn là điều kiện biên vận tốc triệt tiêu trên thành u D 0

 Điều kiện biên thứ 2 là điều kiện biên tuần hoàn (periodic boundary condition)

2.2.2 Phương pháp SPH sử dụng cho bài toán sóng nước nông

Trong những bài toán sóng nước nông dùng phương pháp SPH, hằng số thể tích

V được sử dụng để thay thế hằng số khối lượng m Bằng việc giả sử chất lỏng không nén được, mật độ của chất lỏng  là hằng số với V jm j j, thể tích của hạt j không thay đổi Trong phương pháp SPH chuẩn, sự phân bố của những hạt có khối lượng định nghĩa mật độ bởi phương trình xấp xỉ mật độ Điều này tương tự chiều cao bề mặt thoáng chất lỏng được định nghĩa bởi sự phân bố của những hạt có hằng số thể tích Vì vậy, ta

sẽ có:

ij 1