Sự phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến f(r) dạng hàm mũ đa thức

Các kịch bản phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến fR dạng hàm mũ đa thức 1.5.. Sự phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến fR dạng hàm mũ đa thức 1.. - Lý thuyết hấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Thuộc Chương trình nghiên cứu:

Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Văn Ớn

ình Dương, 12/2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Thuộc Chương trình nghiên cứu:

Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Văn Ớn

ình Dương, 12/2019

MỤC LỤC

1 3 3.3 4

4 hương

1 Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ và hướng tiếp cận hấp dẫn cải tiến f(R) để giải thích

sự kiện này

61.2 1.3

1.4 hương 2 Các kịch bản phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến f(R)

dạng hàm mũ đa thức

1.5 ũ1.6 ũ r

1.7 r ũ r1.8 2.4 Kết luận chương 2

16

1.9 hương 3 Ước lượng các tham số mô hình từ quan sát thiên văn

1.10 3.1 c ơ chế tắc k è ho a trong 1 ớp lý thuyết hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ - đathức 1 7 0

1.11 u ki n tầng mỏng 0

241.13 r r 241.14 3 25

1.16 Tài li u tham kh o 27

1.17 BÁO CÁO TỔNG KẾT

1.18 Sự phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm

mũ

đa thức

1 TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA

1.19 ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC

1.1 Ngoài nước:

1.20 - Nghiên cứu về hướng hấp dẫn cải tiến f(R) khác hấp dẫn của Einstein bắt đầu từnăm 1970 với công trình của Hans Adolph Buchdahl[1], ông ta thay độ cong vô hướng Rtrong tác dụng Einstein - Hilbert bằng một hàm tổng quát hơn là ọ(R), hiện nay ta dùng làf(R) Nhà vật lý Nga Starobinsky[2] vào những năm 1980 cho thấy rằng hấp dẫn cải tiếnf(R) có thể giải thích cho sự lạm phát vũ trụ Sau khi phát hiện vũ trụ giãn nở tăng tốc vàonăm 1998, sự nghiên cứu cải tiến hấp dẫn Einstein trở nên sôi động hơn bao giờ hết, mởđầu là công trình của S Carroll cùng các cộnng sự[3], các nghiên cứu sau đó có thể kể củanhiều tác giả tên tuổi khác như Faraoni, F [4], De Felice [5], Sotiriou, T P [6,7],Capozziello, S [8] Riêng hướng hấp dẫn cải tiến f(R) có dạng hàm mũ cũng được nghiêncứu bởi vài tác giả trên thế giới nhưng ở dạng đơn giản như của Eric V Linder [9],Kazuharu Bamba, Chao-Qiang Geng and Chung-Chi Lee [10], XU Qiang and CHEN Bin[11] Mô hình hấp dẫn f( R) dạng hàm mũ - đa thức với tác dụng khá tổng quát và phứctạp lần đầu tiên được đề xuất bởi tác giả của đề tài này vào năm 2012

1.2 Trong nước:

- Nhóm nghiên cứu cua GS Hoàng Ngọc Long ở Viện Vật Lý và Điện tử thuộc Việnhàn lâm khoa học và công nghệ quốc gia có nghiên cứu về sự phát triển vũ trụnhưng trong mô hình lý thuyết 3-3-1, không đi theo hướng f(R)

- Nhóm nghiên cứu của TS Nguyễn Ái Việt ở khoa Vật Lý trường ĐH.Khoa học Tựnhiên Hà Nội có nghiên cứu về hấp dẫn, vũ trụ nhưng không làm theo hướng f(R)

- Tại ĐH Khoa học Tự nhiên tp.HCM, TS Võ Quốc Phong nghiên cứu sự phát triển

vũ trụ nhưng trong không gian nhiều chiều và mô hình 3-3-1

- Một vài bài báo nghiên cứu của nhóm nghiên cứu của tác giả được trình bày tại hộingh Vật lý lý thuyết toàn quốc năm 2012 và hội ngh Vật lý mô ph ng ĐH.BáchKhoa tp.HCM năm 2014, hội ngh cấp trường tại Đại học Thủ Dầu Một tháng 4 năm

2017, tại hội ngh Vật lý lý thuyết toàn quốc tháng 8 năm 2017 tại tp Cần Thơ

- Một bài báo về hướng này cũng đã được đăng tại tạp chí ĐH.Thủ Dầu Một năm2012

- Một bài báo được chấp nhận đăng ở tạp chí TDM năm 2017

4

1.3 Danh mục các công trình đã công bố thuộc lĩnh vực của đề tài của chủ nhiệm và những thành viên tham gia nghiên cứu:

[1] Võ Văn Ớn , Trần Trọng Nguyên, Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong mô hìnhhấp dẫn f(R) dạng hàm mũ - đa thức, Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 4, tập 6,trang 3-7, 2012

[2] Vo Van On , Tran Trong Nguyen, Some Scenarios of Cosmol ogical Revolution in

Polynomial Exp onential f( R) Modified Theory of Gravity, Chinese Journal of

[5] Vo Van On - Nguyen Ngoc, Mechaleon mechanism in modified gravity f(R) of

polynomial - exponential form, Journal of Physics: Conf Series 1034 012002 ,

pp.1-9 ,2018( Scopus)

2 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

- Vũ trụ đang giãn nở tăng tốc đầy bí ẩn Có nhiều mô hình lý thuyết giải thích cho

hiện tượng này nhưng chưa có mô hình nào thật th a đáng Cách giải thích đượccho là hợp lý nhất hiện nay là sự tăng tốc này do một loại vật chất bí ẩn gọi là nănglượng tối chiếm hơn 70% tổng năng lượng vũ trụ gây ra Tuy nhiên cách giải thíchnày cũng gặp nhiều khó khăn như: người ta chưa quan sát được bất cứ hạt nănglượng tối nào dù nó có tỉ lệ rất lớn trong vũ trụ, các mô hình năng lượng tối đều gặpphải các khó khăn khó vượt qua được Một hướng lý thuyết không cần viện dẫn đếnnăng lượng tối bí ẩn nhưng vẫn giải thích được sự tăng tốc của vũ trụ là hấp dẫn cảitiến f(R), tức là hướng mở rộng Thuyết tương đối rộng của Einstein

- Lý thuyết hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ - đa thức do tác giả đề xướng năm

2012 cũng thuộc lớp lý thuyết này, trong đó biểu thức của f(R) là tích của một hàm

đa thức của R và một hàm e mũ của đa thức theo R nên khá tổng quát so với nhữngdạng lũy thừa khác và hứa hẹn cho một giải thích tốt cho sự tăng tốc và một số khíacạnh khác của vũ trụ nếu được nghiên cứu thấu đáo nên có tính cấp thiết

3 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI

- Tìm hiểu sự phát triển của vũ trụ có thể có trong mô hình hấp dẫn f(R) dạng hàm

mũ - đa thức qua phương pháp giải số kết hợp với giải tích

4 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

13.1 Đối tượng nghiên cứu:

5

- Nghiên cứu về lớp lý thuyết hấp dẫn cải tiến f(R).

1.23 - Nghiên cứu về sự phát triển vũ trụ trong lớp mô hình này

1.24 - Khảo sát các ràng buộc lên mô hình từ các quan sát thiên văn học

13.2 Phạm vi nghiên cứu:

1.25 - Nghiên cứu lý thuyết f(R) ở một vài dạng đặc biệt, không khảo sát tổng quát.1.26 - Chỉ khảo sát khía cạnh các k ch bản phát triển vũ trụ trong mô hình

1.27 - Chỉ khảo sát ở thời gian sau vụ nổ Big Bang, ngay trước giai đoạn lạm phát, từ 10

-35s sau Big Bang về sau

5 CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.28 14.1 Cách tiếp cận:

1.29 - Thu thập các tài liệu liên quan đến lý thuyết hấp dẫn f(R) đang được nghiên cứu trên thế giới

1.30 - Tìm hiểu cách tính số, cách tiếp cận đến các khía cạnh của lý thuyết f(R)

1.31 - Tìm hiểu các cách rút ra dáng điệu phát triển vũ trụ từ lý thuyết f(R)

1.32 - Tìm hiểu cách xác đ nh các tham số của mô hình từ các quan sát thiên văn

14.2 Phương pháp nghiên cứu:

1.33 - Xây dựng tác dụng cải tiến cho lý thuyết hấp dẫn f(R)

1.34 - Rút ra các phương trình Friedmann cải tiến trong mô hình

1.35 - Giải số các phương trình Friedmann tìm dáng điệu phát triển của vũ trụ

1.36 - Phân tích, so sánh, đánh giá các kết quả tính toán được với các kết quả thu được

từ các quan sát thiên văn

6 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN

1.37 Nội dung nghiên cứu:

1.38 - Xây dựng tác dụng cải tiến cho lý thuyết f(R); Rút ra các phương trình Friedmanncải tiến

1.39 + xây dựng tác dụng cải tiến f(R) dạng hàm mũ - đa thức

1.40 rút ra các phương trình Friedmann cải tiến

- Giải số các phương trình Friedmann tìm nghiệm vũ trụ

1.41 giải số các phương trình Friedmann

1.42 bàn luận kết quả

- Ước lượng các tham số mô hình từ các quan sát thiên văn

1.43 thu thập các số liệu quan sát thiên văn - vũ trụ liên quan đến mô hình ước lượng các tham số của mô hình từ các số liệu quan sát thiên văn

6

1.44 Nội dung báo cáo tổng ết

1.45 Phần mở đầu Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ

1.46 Chương 1 Các phương trình Friedmann cải tiến trong mô hình hấp dẫn f( R) dạng hàm mũ - đa thức

1.47 Chương 2 Giải số các phương trình Friedmann cải tiến

1.48 Chương 3 Ước lượng các tham số mô hình từ quan sát thiên văn

1.49 Tài liệu tham khảo

7

vũ trụ[17], gương hấp dẫn yếu[18] Có ba hướng tiếp cận lý thuyết có thể giải thích được sự tăng tốc này của vũ trụ là[19]:

là hướng giải thích rõ ràng nhất cho sự tăng tốc hiện nay, tuy nhiên nó gặp phải hai vấn đề rất nan giải là vấn đề hằng số vũ trụ( sự khác biệt đến 120 bậc độ lớn giữa giá tr lý thuyết và giá tr quan sát của hằng số vũ trụ)[20, 21]và vấn đề trùng nhau (sự trùng nhau về bậc độ lớn không thể giải thích được giữa mật độ vật chất thông thường và mật độ năng lượng vacuum vật lý, nó xác đ nh độ lớn của hằng số vũ trụ,

ở thời điểm hiện tại dù rằng tốc độ thay đổi của chúng là khác nhau trong quá trình phát triển của vũ trụ) Do hai vấn đề nan giải này, phần lớn các nhà vật lý loại b hướng tiếp cận này trong sự giải thích sự tăng tốc của vũ trụ.

1.54 Trong hướng tiếp cận thứ hai, hầu hết các mô hình đều nằm trong khuôn khổ của Thuyết tương đối tổng quát của Einstein, và đều công nhận rằng có tồn tại một dạng vật chất mới trong vũ trụ gọi là năng lượng tối với phương trình trạng thái P ~- p( p là áp suất, plà mật độ năng lượng của vật chất tối), nó đang chiếm

ưu thế trong vũ trụ trong giai đoạn vật chất ưu thế hiện nay, năng lượng tối thậm chí

có thể là năng lượng “ma” với phương trình trạng thái P <- p Nhiều mô hình năng lượng tối đã được nghiên cứu nhưng không có một mô hình nào hoàn toàn thuyết phục hoặc tránh được vấn đề tinh chỉnh để có thể được xem là một mô hình “đúng”.1.55 Trong hướng tiếp cận thứ ba, người ta thay đổi Thuyết tương đối tổng

quát của Einstein để có thể giải thích sự tăng tốc của vũ trụ hiện nay nhưng không cần đến hằng số vũ trụ hay năng lượng tối bí ẩn, trong hướng tiếp cận này lớp mô hình hấp dẫn cải tiến f(R) được quan tâm đặc biệt.

1.1 Cở sở hấp dẫn f(R)

1.56 Hấp dẫn f(R) có 3 hình thức luận sau:

1.57 • Hình thức luận mêtric hay hình thức luận bậc hai,

1.58 • Hình thức luận Palatini hay hình thức luận bậc một,

1.59 • Hình thức luận mêtric - affin

1.60 Trong đề tài này, chúng tôi chỉ đề cập đến hình thức luận mê tríc thôi.

1.65 11.66 f' (R)R ab - 1 g ab f (R) - Va V b f' (R) + g ab V y f' (R) = K 2

1.67 ở đây: f '(R) = df (R)IdR vàTab= ỏS

M I ổg ab

1.68 phương trình(5) là phương trình vi phân bậc 4, nó rất khó giải.

1.69 Về nguyên tắc, tenxơ mêtríc có thể gồm nhiều bậc tự do như tenxơ, véctơ, vô hướng có khối lượng hoặc không khối lượng Trong thuyết hấp dẫn của Einstein chỉ

có duy nhất graviton với spin 2 lan truyền, khi chuyển sang hấp dẫn cải tiến f(R) ngoài graviton còn có thêm một mode vô hướng có khối lượng nữa, nó có thể dẫn dắt cho vũ trụ tăng tốc thời gian sau tương tự như một trường vô hướng dẫn dắt cho

1.75 Từ các phương trình trên, người ta cũng đ nh nghĩa một hằng số hấp dẫn hiệu dụng như sau Geff - G/f(R) Rõ ràng là f(R) phải dương để graviton có động năng dương.

1.76 Trong một vũ trụ phẳng, mêtríc Friedmann- Robertson- Walker có dạng:

(5)

(6 )

10

đây

(7)

(8)

1.77 ds2= -dt2+ a(t)2(dx2+ dy2+ dz2)

1.78 Lúc này các phương trình trường ( 5) có dạng sau: ở đây dấu chấm trên chỉ vi phân đối với thời gian trong hệ đồng chuyển động t.

1.79

1.2 Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của một lý thuyết f(R)

1.80 Để một lý thuyết f(R) thành công hay tồn tại được, nó không chỉ cần giải thíchđược các vấn đề lien quan đến vũ trụ mà còn phải vượt qua được các rang buộc1.81 trong hệ Mặt trời và các thực nghiệm thiên thể trong hấp dẫn tương đối tính

và nó

1.82 còn phải th a một số tiêu chuẩn cho sự tồn tại tối thiểu như sau:

1.83 • nó có các hệ quả động lực học vũ trụ đúng,

1.84 • nó th a tính ổn đ nh và không có ghost,

1.85 • nó có giới hạn Newton và Post- Newton đúng,

1.86 • nó cũng dẫn đến được các nhiễu loạn vũ trụ phù hợp với các dữ liệu

về bức

1.87 xạ nền vũ trụ và cấu trúc ở khoảng cách lớn của vũ trụ,

1.88 • nó có được bài toán Côsi được đặt tốt.

1.89 sự thiếu vắng dù chỉ một trong các tiêu chuẩn này xem như lý thuyết không dùng được.

1.90 Theo ý kiến của hầu hết các nhà vũ trụ học, để một mô hình vũ trụ chấp nhận được nó phải có thời kỳ lạm phát sớm, sau đó đến thời kỳ bức xạ thống tr , kế đến là thời kỳ vật chất thống tr và rồi đến giai đoạn tăng tốc hiện tại giai đoạn phát triển tương lai của vũ trụ thường là pha tăng tốc de Sitter mãi mãi hay kỳ d Big Rip Sự d

ch chuyển từ giai đoạn này đến giai đoạn khác của vũ trụ đòi h i phải “êm ả” Trong nhiều mô hình f(R) việc chuyển từ thời kỳ bức xạ thống tr sang một thời kỳ khác có thể gặp phải nhiều vấn đề.

1.4Tính ổn định của một mô hình hấp dẫn f(R)

1.91 Dolgov và Kawasaki [22] và sau đó là các tác giả khác đã chỉ ra rằng một lý1.92 thuyết f(R) là ổ đ nh khi:

1.93 f" > 0 (12)1.94 và không ổn đ nh khi:

1.95 f" < 0 (13)1.96 về mặt vật lý, vấn đề này có thể được minh họa như sau: ta nhớ rằng hằng số hấp

1.97 dẫn hiệu dụng là Geff = G/f(R) , nếu dGeff /dR = -f'G/(f)2 > 0 ( nó tương ứng với r < 0), thì Geff sẽ tăng theo R, một độ cong lớn sẽ làm cho hấp dẫn trở nên mạnh hơn, và như thế làm cho hấp dẫn càng mạnh hơn Cơ chế phản hồi dương này sẽ làm cho hệ không ổn đ nh Ngược lại, nếu dGeff /dR < 0, thì một cơ chế phản hồi

âm sẽ làm giảm bớt cường độ hấp dẫn và hệ ổn đ nh.

1.5Ghosts

1.98.nên sự thiếu vắng tính unita và là tình trạng chung gặp phảikhi cố gắng tổng quát hóa thuyết tương đốiGhosts là các trạng thái khối lượng với chuẩn âm nó gây

12

1.99 rộng của Einstein Tuy nhiên người ta chứng minh được là các lý thuyết f(R) thì không có ghost.

1.6Các động lực học đúng của các nhiễu loạn vũ trụ

1.100.L ch sử phát triển của vũ trụ một mình nó không đủ để phân biệt các mô hình hấp dẫn f(R) khác nhau, nhưng sự phát triển cấu trúc giai lớn của vũ trụ có thể làm được điều này Song, Hu và Sawicki, đã chỉ ra rằng các mode vecto và tenxo không

b ảnh hưởng bởi sự hiễu chỉnh thành f(R) trong tác dụng Einstein ở bậc thấp nhất, trong khi mode vô hướng thì b ảnh hưởng Một kết quả rất đángchú ý từ các nghiên cứu này là các hiệu chỉnh f(R) làm giảm độ d hướng góc lớn trong bức xạ nền của

vũ trụ và sinh ra sự tương quan giữa bức xạ nền và cấu trúc giai lớn của vũ trụ khác hơn sự tương quan trong các mô hình năng lượng tối Các nghiên cứu về tạo thành cấu trúc trong các thuyết hấp dẫn f(R) vẫn đang được nghiên cứu và trong các mô hình cụ thể.

1.7Bài toán Côsi

1.101.Một lý thuyết vật lý phải có giá tr tiên đoán và do đó một bài toán giá tr ban đầu được đặt tốt Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng bài toán Côsi cho hấp dẫn f(R) mêtric là được phát biểu tốt và được đặt tốt cho chân không và một vài dạng vật chất “hợp lý” (các chất l ng hoàn hảo, các trường vô hướng, trường Maxwell) trong khi đối với hấp dẫn f(R) Palatini không được phát biểu tốt , cũng như không được đặt tốt do sự có mặt của đạo hàm bậc cao của các trường vật chất trong các phương trình trường.

1.104 10

hết đây hãy còn được xem như các mô hình thử nghiệm hơn là hòa trong dòng chảy đó, trong chương 2 và 3, chúng tôi sẽ thử đề ngh một lớp mô hình hấp dẫn f(R) khá tổng quát để giải thích cho sự gia tốc hiện nay của vũ trụ.

15

1.106 Chương 2

1.107 Các kịch bản phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến f( R) dạng hàm mũ đa thức

2.1 Hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức

1.108 Ta xét tác dụng hấp dẫn phi tuyến theo độ cong vô hướng R như sau:

1.116 ở đây T M là tenxơ năng - xung vật chất, ĩ: là một tenxơ

năng xung hiệu dụng, nó chỉ các đóng góp từ thuộc tính h.nh học của mô h.nh, biểu thức của nó là:

ở đây vai trò dẫn dắt vũ trụ phát triển của chỉ các yếu tố hình học nên ta có thể xem rằng

không quan tâm đến Lagrangian của trường vật chất (ZM = 0) , nghĩa là trong các phần sau

T M = 0

1.120 Không thời gian phẳng FRW cho bởi:

1.121 ds2= dt2- a2 (t)[dr2+ r 2 (dỡ 2

1.122 ở đây a(t) là nhân số giai của vũ trụ Ta thu được các phương trình

Friedmann cải tiến trong mô hình như sau:

1.123 14 = -ịíịơ' - Rf') - 3 -jf]

(14)

với

('16)

a f 2 a

1.125 a a f a 21+=-1[2 a Rf ’+Rf ■ + R 2 2f■- i(f - Rf')]

1.126 a

1.127 dấu châm (•) trên chỉ đạo hàm đối với thời gian vũ trụ t, và hằng số Hubble H =

1.128 Độ cong vô hướng được cho bởi công thức:

1.129

2.2 Nghiệm vũ trụ của mô hình

1.131 Ta thấy rằng vô hướng R chứa đạo hàm bậc hai của nhân số giai t, như vậy các phương trình Friedmann (19), (20) là hệ phương trình vi phân cấp 4 của nhân số giai a(t)

Hệ này có dạng rất phức tạp và rất khó giải chính xác bằng phương pháp giải tích, chúng tôi sẽ phát triển một phương pháp để giải số cho các phương trình này tương tự như cách

mà các tác giả [23, 24] đã dùng để giải số cho các mô hình đơn giản hơn khác

1.132 Sử dụng các phương trình (19) và (20) ta thu được:1.133.

1.134 Với tác dụng từ công thức (15), phương trình trường (22) thành:1.135.

1.136 L ,R HR R R

1.140 • Sự giãn nở theo dạng hàm mũ a(t) ~ e H ° 0 khi q = 1 trong giai đoạn sớm của

1.141 vũ trụ

1.142 • Sự giãn nở theo dạng a(tt)~ t 2 khi q = -1/2 trong giai đoạn sau của vũ trụ

Biến thiên của q đối với a(t) trong pha phát triển tuyến tính và pha hàm mũ được biểu

diễn trong hình 1 và 2 tương ứng

1.143 Chúng ta dùng tham số

a a \

(20)

giảm tốc sau đây để nghiên cứu sự phát triển của vũ trụ bằng phương pháp giải số:

1.144 (24)(20)

19

1.145 Chúng ta có thể nghiên cứu sự phát triển vũ trụ bằng cách giải số Do q là một hàm của H và đạo hàm của nó, ta có thể viết lại phương trình (21) như là một phương trình vi phân cấp hai của q theo biến H Vì q chứa các số hạng chứa a, ta có thể thay thế các số hạng với đạo hàm bậc bốn của nhân số giai trong phương trình (23) bởi q (H) Các hàm q

và H không độc lập nhau Đạo hàm theo thời gian trong các phương trình trên bây giờ có thể được thay thế bằng đạo hàm đối với H khi sử dụng phương trình (24) Ta thu được phương trình vi phân phi tuyến sau: