NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHÍNH QUY MÔN TOÁN CAO CẤP

b Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số 3 cos.. Tính đạo hàm z t′... b Giải phương trình vi phân.

Trang 1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: TOÁN CAO CẤP 1 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY KHỐI NGÀNH KINH TẾ

MỖI ĐỀ 4 CÂU (Mỗi phần A, B, C, D chọn một câu và tổng điểm bài thi bằng 10)

A) PHẦN A Loại 2 điểm

Câu A 1.2: Tìm giới hạn

3 sin 0

lim 2x x

→ +

0

lim 1 cos3 x

→ −

0

1

x

x→ + x

 

 ÷

 

3

1

x

x x

xe e

→+∞ +

Câu A 5.2: Tìm A để hàm số sau liên tục tại x=1

( 3 )

2

1 arctan

1

x

 −



nÕu nÕu

Câu A 6.2: Tìm A để hàm số sau liên tục tại x=0

( 4)

2

ln 1

0

x



nÕu nÕu

Trang 2

Câu A 7.2: Tìm giới hạn sau:

lim0 1 1

ln( 1)

1 0

3

1

2

x

x e

+

→

+

1 0

4

2

3

x

e

−

→

+

lim cos 1 cos

Loại 3 điểm

Câu A 1.3:

a) Tìm giới hạn

0

arcsin 5

( 4)sin

x

b) Tính tích phân sau:

2arccos

∫

Câu A 2.3:

a) Chứng tỏ rằng phương trình

5 3 2

0 4

x

− + + =

có ít nhất một nghiệm thực

3 4 2 0

sin

cos

x dx x

π

∫

Câu A 3.3:

a) Tìm số A để hàm số sau liên tục trên ¡

Trang 3

4

0

x

f x



=  +



nÕu nÕu

2 0 sin 2

π

∫

Câu A 4.3:

a) Xét sự liên tục của hàm số sau:

f x

π



=  − >



nÕu

2

2arcsin

1

dx x

+

−

∫

Câu A 5.3:

2 0

1 1 lim ln

2

x x

e

+

→

− +

5

sin

cos 1

x dx

x−

∫

Câu A 6.3:

ln(1 ) 0

lim x

→

Câu A 7.3:

a) Tìm giới hạn sau:

cos

2 sin

x

→+∞

+

−

2 2

2

1 2

x dx x

−

∫

Trang 4

3

0 arctan

∫

Câu A 8.3:

a) Tìm A để hàm số sau liên tục trên ¡

2 2

1 cos

1

x

f x

x x

π

≤





= 

−



nÕu nÕu

3

dx x

−

∫

Câu A 9.3:

1 1

lim 2x 2x

→+∞

−

x

e dx

Câu A 10.3:

( )1

lim 4x x

→+∞ +

1

0

xdx

∫

B) PHẦN B Loại 2 điểm

Trang 5

Câu B 1.2:

Cho y x= 31x. Tính dy(2).

Câu B 2.2:

Cho

2 1

x

x y

e

+

= Tính d y2 (2)

Câu B 3.2:

Tính đạo hàm của hàm số ( )f x = 3x−6

Câu B 4.2:

Cho ( ) 21

9

f x

x

=

− Tính

( )n ( )

f x

Câu B 5.2:

Chứng tỏ rằng

arcsinb−arcsina b a≥ − với mọi ,a b∈ −( 1,1), a b<

Câu B 6.2:

( ) ( 1) ln

1 1

x

x x

≤







nÕu nÕu

có khả vi tại x=1 hay không?

Câu B 7.2:

Tính đạo hàm cấp 25 của hàm số ( )f x =xcos3 x

Câu B 8.2:

Tính đạo hàm của hàm số:

3 sin

0

x



≠



= 



nÕu nÕu

Câu B 9.2:

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

Trang 6

3 ( ) 2 1

f x = x+

Câu B 10.2:

Tính đạo hàm cấp n của hàm số

3 1

4 3

x

f x

x

−

= +

Câu B 1.3:

a) Cho ( )f x là hàm số liên tục trên [ ]0,1 , khả vi trên ( )0,1 Chứng minh rằng tồn tại c∈(0,1) sao cho (1) (0) ( )2

3

f c

c

′

b) Tính tích phân suy rộng sau: 3

2

( 1)

dx x

+∞

−

∫

Câu B 2.3:

a) Tính đạo hàm cấp 30 của hàm số

2 ( ) sin 4

b) Tính tích phân suy rộng sau:

2

2 ( 1)

x

xe dx x

−

−∞∫ +

Câu B 3.3:

a) Chứng minh rằng

3 3

ln 3

b a

− > − với 0< <a b.

2 1

dx

+∞

+

∫

Câu B 4.3:

a) Cho ( ) (f x = −x 1)(x−2)(x−5)(x−6) Tính df(2)

3 3 2

4

2

x dx x

−

∫

Câu B 5.3:

Trang 7

a) Cho ( )

x t x

F x =∫te dt Tính F x′( )

4

1

dx

x x

+∞

−

Câu B 6.3:

a) Cho ( ) 2 ,

2

x

f x

x

= + tính

2 (1)

d f

5 5

9 3

x

x e dx

+∞

−

∫

Câu B 7.3:

a) Tính gần đúng số A=sin(arccos 0,01)

2

1

dx

x−

∫

Câu B 8.3:

a) Cho

3 1

2 1

f x

x

+ −

= + Tính ( )

n

d f x với n>2

4

2 2

4

dx

x x−

∫

Câu B 9.3:

a) Cho ln 1 3( 2)

0 ( )

0

x

 +

= 



nÕu nÕu

Tìm A để f khả vi tại x=0 Khi đó, hãy tính (0).f′

2 3 7

3 0

cos sin

sin

dx x

π

+

Câu B 10.3:

a) Chứng minh rằng x7+3x+2cosx+sinx≥2 với mọi x≥0

Trang 8

0

4

x

dx e

+∞

+

∫

C) PHẦN C Loại 2 điểm

Câu C 1.2: Cho

2

2 2

1

x y y

f x y

+

=

− + Tính df(1,1).

Câu C 2.2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số

2 ( , ) sin

f x y = y xy

Câu C 3.2: Cho ( , ) arctan 2 2

2

x

f x y

=

+ Tính df(2,1).

Câu C 4.2: Cho ( , )f x y = 2x y− Tính d f2 (1,0)

Câu C 5.2: Cho y=y x( ) là hàm số ẩn xác định từ hệ thức

4x+2y+arctany=0

Tính ( ), ( ).y x y x′ ′′

Câu C 6.2: Cho z= yf x( 2+y3) trong đó f là hàm số có đạo hàm liên tục Tính 2 3

2 x 3 y 3

Câu C 7.2: Tìm cực trị của hàm số

3 3 2

f x y = +x y − x y y−

Câu C 8.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3

f x y =x y xy x+ − +

trên miền D xác định bởi 0≤ ≤x 1, 0≤ ≤y 2

Câu C 9.2:Tìm cực trị của hàm số

3 2 2 1

3

f x y = x −x y y+

Câu C 10.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 ( , )

f x y =xy − −x y

trên miền tam giác ABC A, (0,0), (3,0), (0,3).B C

Trang 9

Câu C 1.3:

a) Cho z x= +2 ,y2 x u= +2v w y u v− , = − +2w

Tính các đạo hàm riêng ( , , ),z u v w u′ z u v w z u v w v′( , , ), w′( , , )

b) Tìm cực trị của hàm số ( , ) 1 4 2 2 4

2

f x y = x − xy +y

Câu C 2.3:

x

= − trong đó f là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục

3

= + −

b) Tìm cực trị của hàm số

f x y x xy y

y

= − + +

Câu C 3.3:

a) Cho f x y( , )=x x y+ 2 +ye xy. Tính df x y( , )

b) Cho z e f x= −x ( +3 )y trong đó f là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục Tính 1 2

A z= ′′ − z′′ + z′ −z

Câu C 4.3:

a) Cho

4

2 2

+ Tính df(1,0).

b) Cho y= y x( ) là hàm số ẩn xác định từ hệ thức

arcsin

6

x xy+ + y=π

Tính ( ), (0).y x y′ ′

Câu C 5.3:

a) Cho z z x y= ( , ) là hàm số ẩn xác định từ hệ thức cosx y 2

z + =z

Tính (0,1).dz

( , ) x( 2 )

f x y =e x − −x y + y

Trang 10

Câu C 6.3:

a) Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm số sau:

2

( , ) cos y

f x y x y

x

=

b) Cho u u x y v v x y= ( , ), = ( , ) là các hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

+ =



 + = − +

 Tính du x y dv x y( , ), ( , )

Câu C 7.3:

a) Tính gần đúng

0,02 2

3 0,99

b) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số

3 cos

Câu C 8.3:

a) Cho u=x2+xy−cosz và x=2s t y s+ , = −2 ,t z s= +3 st

Tính các đạo hàm riêng u s t u s t s′( , ), t′( , )

( , ) ( )( 2 )

f x y = +x y x+ y

Câu C 9.3:

a) Tính các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm số

u x y z( , , )=x z y 2 (x>0)

b) Cho z= f x y( , ) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình

y xarctany ln z 0

Tính gần đúng giá trị f (0,99; 0,02)

Câu C 10.3:

a) Cho 2 2

z= x +y và x e= −2t, y te= t

Tính đạo hàm z t′( )

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x y( , ) 2= x2+y

trên miền D xác định bởi x2+y2 ≤1

Trang 11

D) PHẦN D Loại 2 điểm

Câu D 1.2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân

y′′− y′+ y= xe

thỏa mãn điều kiện y(0) 2,= y′(0) 1.=

Câu D 2.2: Giải phương trình vi phân:

3

x

ydx xdy x e dx− =

Câu D 3.2: Tìm tích phân tổng quát của phương trình:

y −x y′−xyy′=

Câu D 4.2: Giải phương trình vi phân:

2sin

y′′ + =y x

Câu D 5.2: Giải phương trình vi phân

0 ln

Câu D 6.2: Giải phương trình vi phân sau:

( 2 )

2

1

x

+

2xcos

y′′+ =y′ e x

Câu D 8.2: Giải phương trình vi phân sau

y′′+ y′+ y= x

Câu D 10.2: Tìm nghiệm của phương trình

2

( siny y+1) 3 2+ x x dy− −sinydx=0

thỏa mãn điều kiện (1)

2

y =π

2 2

0

Trang 12

Câu D 1.3:

a) Giải phương trình vi phân

(x+3 )y dx xdy− =0

b) Tìm nghiệm của phương trình vi phân

y′′− y′+ =y e

thỏa mãn điều kiện y′(0) 3,= y′′(0) 6.=

Câu D 2.3:

Giải các phương trình vi phân sau:

a)

b) y′′+2y′+5y=sin 2 x

Câu D 3.3:

a) (x y e dx x dy2 + x) − 2 =0

b) 2 3 2 3x 3 2

y′′− y′− y= e + x

Câu D 4.3:

a) Tìm nghiệm của phương trình vi phân

(x−2)dy ydx+ =0 thỏa mãn điều kiện y(0) 2.=

b) Giải phương trình vi phân

2 2

y′′+ −y′ y= x e

Câu D 5.3:

a)y′ −3y= y e2 x

b) y′′ +4y=cos 2x+3

Câu D 6.3:

a) Tìm tích phân tổng quát của phương trình

(x y y+ ) ′=1

b) Giải phương trình vi phân

Trang 13

1

6

y′′+ y′+ =y x

Câu D 7.3:

a) Giải phương trình vi phân

( y−2e−x)dx dy− =0

b) Tìm nghiệm của phương trình

4 3cos 4

y′′ + y= x

thỏa mãn điều kiện y(0) 1,= y′(0) 4= .

Câu D 8.3:

Giải các phương trình vi phân sau:

a) xy y2 ′ − =x2 y3

b) y′′ −4y=3 cosx x+sin x

Câu D 9.3:

a) y y x y2 2

x

′ + =

b) 2 3 3x cos

y′′+ y′− y e= − + x

Câu D 10.3:

a) y dx2 +(2xy+7)dy =0

b) y′′−3y′=sin 2 2 x

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	509,5 KB