Các dạng toán cơ bản và nâng cao cực trị của hàm số

Định nghĩa

Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D (D ⊆ R) có điểm x₀ ∈ D được gọi là điểm cực đại nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x₀ sao cho (a, b) ⊆ D.

Giá trị cực đại của hàm số f(x) được xác định tại điểm x₀, trong khi x₀ được coi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x₀, với (a, b) thuộc miền xác định D.

Khi đó f x   o được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f x( ).

Định lý, quy tắc

a Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lý 1

Giả sử hàm số y f x( ) đạt cực trị tại điểm x o Khi đó, nếu f x( ) có đạo hàm tại điểm x o thì

  o f x có thể bằng 0 tại điểm x o nhưng hàm số f x( ) không đạt cực trị tại điểm x o

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm trong tập xác định của nó, nơi mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại Những điểm này được gọi là điểm cực trị.

Điểm tới hạn của hàm số x₀ xảy ra khi đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x₀; f(x₀)) song song với trục hoành Điều kiện cần thiết để hàm số đạt cực trị được nêu trong Định lý 2.

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng  a b ;  chứa điểm x o và có đạo hàm trên các khoảng  a x; o  và  x o ; b  Khi đó,

=I h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn ếu    

 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x o Nói một cách khác, nếu f  x o đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x o thì hàm số đạt cực tiểu tại x o ếu    

Hàm số đạt cực đại tại điểm x₀ nếu đạo hàm f’(x₀) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x₀ Điều này được thể hiện qua Định lý 3.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a, b) chứa điểm x₀, với f'(x₀) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x₀ Nếu f''(x₀) < 0, hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀ Ngược lại, nếu f''(x₀) > 0, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1.Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu, bảng biến thiên

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a, b) chứa điểm x₀, với f'(x₀) = 0 và f''(x₀) khác 0 tại x₀ Nếu f''(x₀) < 0, hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀; nếu f''(x₀) > 0, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ f(b) x o a b f(a) f(x 0 )

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

=I http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Cho hàm số f x   xác định trên và có bảng xét dấu f    x như hình bên Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x2 B Hàm số đạt cực đại tại x 3

C x1 là điểm cực trị của hàm số D Hàm số có hai điểm cực trị

Cho hàm số y f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm

Hàm số y = f(x) đã được xác định và liên tục trên một khoảng nhất định, với bảng biến thiên được trình bày như hình vẽ Vậy, chúng ta cần xác định khẳng định nào là đúng dựa trên thông tin này.

A Hàm số đạt cực tiểu tại x 1

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

C Hàm số có đúng hai cực trị

D Hàm số đạt cực đại tại x0, x1và đạt cực tiểu tại x2.

Cho hàm sốy f x( )liên tục trên và có bảng xét dấu f  x như sau:

Kết luận nào sau đây đúng

A Hàm số có 4 điểm cực trị B Hàm số có 2 điểm cực đại

C Hàm số có 2 điểm cực trị D Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A Có một điểm B Có ba điểm C Có hai điểm D Có bốn điểm

-∞ http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số f x( ) liên tục trên các khoảng (;1), (1;) và có bảng biến thiên như hình dưới

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực tại x0 và đạt cực tiểu tại x2

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C Hàm số đạt cực tại x2 và đạt cực tiểu tại x0

D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như hình bên

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số có đúng một điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2

C Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 D Hàm số đạt cực đại tại x0.

Hàm số y = f(x) được xác định và liên tục trên khoảng đã cho, với bảng biến thiên mô tả sự thay đổi của hàm số Để hiểu rõ hơn về đặc điểm của hàm số này, bạn có thể tham khảo các tài liệu chi tiết tại các liên kết: https://luye nthitranghiem.vn và https://toanvd.edu.vn.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x0

B Đồ thị của hàm số có đúng 2 điểm cực trị

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 4

D Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3 hoặc 2

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như hình vẽ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị

 Lời giải: b Các bài toán tự luận

Tìm hàm số y ax 4 bx 2 c a 0 biết rằng hàm số có bảng biến thiên dưới đây:

 Lời giải: http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số y  f x  có đạo hàm trên và có bảng xét dấu f    x như sau

Hỏi hàm số y  f x  2  2 x có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Cho hàm số y f x    có bảng biến thiên như sau Hàm số y f x    3 có bao nhiêu điểm cực trị

 Lời giải: h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Dạng 2: Tìm điểm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hàm số

 Đồ thị đang đi lên sau đó đổi hướng đi xuống tại điểm x o thì hàm số đạt cực đại tại điểm x o

Khi đó f x   o được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x 

 Đồ thị đang đi xuống sau đó đổi hướng đi lên tại điểm x o thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x o

Khi đó f x   o được gọi là giá trị cực trị của hàm số f x  

 Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số được gọi chung là điể m c ự c tr ị của hàm số

 Các điểm M x  0; ( )f x 0  của hàm số được gọi chung là điể m c ự c tr ị của hàm số trên đồ thị a Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

Hình vẽ minh hoạ y CT y CĐ x CĐ x CT

O http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x3 B Giá trị cực đại của hàm số bằng 0

C Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 D Hàm số đạt cực tiểu tại x 1

Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên đoạn   1; 3  và có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x 1 và x2

B Hàm số đạt cực tiểu tại x0, x3

C Hàm số đạt cực tiểu tại x0, cực đại tại x2

D Hàm số đạt cực tiểu tại x0, cực đại tại x 1

Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng? x y

O 2 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

A Hàm số đạt cực tiểu tại x0 B Hàm số đạt cực đại tại x1

C Hàm số đạt cực đại tại x 1 và tại x1 D Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và tại 1 x

Ví dụ 18 Đường cong bên là đồ thị của hàm số yax 4 bx 2 c với a b c, , là số thực và a0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình y0 có ba nghiệm thực phân biệt

B Phương trình y0 có đúng một nghiệm thực

C Phương trình y0 có hai nghiệm thực phân biệt

D Phương trình y0 có vô số nghiệm thực

Ví dụ 19 Đường cong bên (nét đậm) là đồ thị của hàm số y f x  x 2 3x4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? x y

O http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

A Hàm số đạt cực đại tại 25 x 4 B Hàm số đạt cực tiểu tại x0

C Giá trị cực đại bằng 3

2 D Giá trị cực tiểu bằng 0.

Ví dụ 20 Đường cong bên (nét đậm) là đồ thị của hàm số y f x  x 2 2x1 Xét các phát biểu sau đây có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1): Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

(2): Giá trị cực đại bằng f  1 2 và giá trị cực tiểu f 1 2 f 1 20

(3): Hàm số chỉ có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

(4): Hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x 1 2 0, loại điểm x 1 20

A 1 phát biểu đúng B 2 phát biểu đúng C 3 phát biểu đúng D 4 phát biểu đúng.

O h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

b Ví dụ minh họa: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

Dạng 3.Tìm cực trị hàm số y  f x   đựa vào đồ thị hàm số y  f '   x

B1: Từ ĐTHS y  f '   x xác định dấu của f '   x trên từng khoảng xác định

B2: Lập trục xét dấu của hàm f '   x hoặc bảng biến thiên của hàm số

+) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Khi f x( ) đổi dấu từ dương sang âm qua xc thì xc được gọi là điểm cực đại của hàm số

Khi f x( ) đổi dấu từ âm sang dương qua xc thì xc được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu x = c là điểm cực trị của hàm y = f(x), thì điều kiện cần là f'(c) = 0 hoặc f'(c) không xác định Tuy nhiên, nếu f'(c) = 0, không đảm bảo rằng x = c là điểm cực trị của hàm số.

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và đồ thị hàm số y  f    x được cho như hình vẽ Xác định số điểm cực trị của hàm số y  f x  

 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên Tìm số điểm cực trị của hàm số

  5 y f x  x biết đồ thị hàm số y  f    x như hình vẽ sau:

Cho hàm số f x   xác định trên và có đồ thị của hàm số f    x như hình vẽ Hỏi hàm số

  y f x đã cho có mấy điểm cực tiểu?

O x y f    x h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Hàm số y = f(x) có đạo hàm và đồ thị của hàm số y = f'(x) đã được biết Đặt g(x) = f(x) + x, câu hỏi đặt ra là hàm số này có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu.

 Lời giải: b Các bài toán trắc nghiệm trong đề thi đại học

Ví dụ 26 (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018)

Cho hàm số xác định trên và hàm số có đồ thị như hình dưới:

Xét các khẳng định sau:

(I) Hàm số có cực trị

(II) Phương trình có nhiều nhất ba nghiệm

(III) Hàm số nghịch biến trên khoảng

Số khẳng định đúng là

1 2 3 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ví dụ 27 (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình vẽ sau

Số điểm cực trị của hàm số là:

Cho hàm số Hàm số có đồ thị trên một khoảng như hình vẽ bên

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?

Trên , hàm số có hai điểm cực trị

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

3 0 1 2 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây sai?

A có một cực tiểu B có hai cực đại

C có 3 điểm cực trị D có 2 điểm cực trị.

Cho hàm số xác định và liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A đạt cực đại tại B đạt cực đại tại

C đạt cực đại tại D đạt cực đại tại

Ví dụ 31 (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)

Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

  y f x http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

A Hàm số đồng biến trên

B Hàm số đạt cực đại tại

C Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu

D Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.

Ví dụ 32 (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Đồ thị sau đây là của hàm số y  f    x Khi đó hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Hàm số f x( )có đạo hàm trên là hàm số f '( )x Biết đồ thị hàm số f '( )x được cho như hình vẽ Hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm nào?

O y x h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Ví dụ 34 (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và đồ thị hàm số y  f    x được cho như hình vẽ

A f x   đạt cực đại tại x0 B f x   đạt cực tiểu tại x 1

C f x   đạt cực tiểu tại x1 D f x   có ba điểm cực trị

Ví dụ 35 (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và đồ thị hàm số y  f    x trên như hình vẽ Mệnh đề nào đúng?

A Hàm số y  f x   có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

B Hàm số y  f x   có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

C Hàm số y  f x   có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Hàm số y  f x   có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ví dụ 36 (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   xác định trên và có đồ thị hàm số y  f    x là đường cong ở hình bên Hỏi hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Dạng 4.Tìm cực trị của hàm số y  f u   dựa vào đồ thị hàm số y  f    x

Phương pháp giải a Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Cho hàm số y  f x   xác định và liên tục trên và hàm số y  f    x có đồ thị như hình vẽ

Kết luận đúng về số điểm cực trị của hàm số y  f x   là: h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

A Hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu B Một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

C Hai điểm cực đại và hai điểm cực tiểu D Một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Ví dụ 38 (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)

Cho hàm số y  f x   Hàm số y  f    x có đồ thị như hình dưới Hàm sô y  f x   2 có bao nhiêu điểm cực đại?

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm y  f    x liên tục trên và có đồ thị như hình dưới

Hàm số y f(2x2) có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y  f x   Đồ thị hàm số y  f    x như hình bên dưới

Hỏi hàm số g x    f  1  x 2   2019 có mấy điểm cực trị?

Cho hàm số y  f x   có đồ thị f    x như hình vẽ Tìm số điểm cực tiểu của hàm số

Ví dụ 42 (Trích câu hỏi dẫn THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số

  y f x , ( y  f    x liên tục trên ) Xét hàm số g x    f x  2  2  Mệnh đề nào dưới đây đúng? h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

A Hàm số g x   có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

B Hàm số g x   có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

C Hàm số g x   có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại

D Hàm số g x   4 điểm cực trị.

Ví dụ 43 (trích dẫn đề THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f    x ( y  f    x liên tục trên ) Xét hàm số

   2 3  g x  f x  Kết luận đúng về cực đại của hàm số g(x) là?

A Hàm số g x   đạt cực đại tại x = - 1

B Hàm số g x   đạt cực đại tại x = 1

C Hàm số g x   đạt cực đại tại x = 0

D Hàm số g x   đạt cực đại tại x = -2

Ví dụ 44 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018)

Biết rằng hàm số f x   có đồ thị được cho như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số

14 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ví dụ 45 (Theo đề THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   Hàm số y  f    x có đồ thị như hình bên Kết luận đúng về cực trị àm số y  f x   x 2  là:

A Hàm số đạt cực tiểu tại 3 x2

B Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x2

C Hàm số không có cực trị

D Hàm số đạt cực đại tại 1 x 2.

Ví dụ 46 (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x'( ) như hình vẽ bên dưới Xét hàm số g x( ) f x( 2 3) và các mệnh đề sau:

I Hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị

II Hàm số g x( )đạt cực tiểu tại x0.

III Hàm số g x( )đạt cực đại tại x2.

IV Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng   2;0 

V Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng   1;1 

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

2 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Ví dụ 47 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)

Cho hàm số f x   xác định trên và có đồ thị f    x như hình vẽ Đặt g x    f x    x Hàm số g x   đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Ví dụ 48 (Trích theo đề THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)

Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị của hàm y  f    x như hình vẽ Xét hàm số g x ( )  f x  2  2  Số điểm cực trị của hàm số là?

A Hàm số g x( ) có 2 điểm cực trị B Hàm số có 1 điểm cực trị

C Hàm sốg x( )có 3 điểm cực trị D Hàm số g x( ) có 4 điểm cực trị

1 2 y http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Dạng 5.Các bài toán cực trị hàm số bậc 3

Bài toán 1: Xác định điểm cực trị, cực trị hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số

- Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số

Bài toán 2 yêu cầu tìm phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của hàm số y = ax³ + bx² + cx + d Để giải, trước hết cần xác định tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu, ký hiệu là A và B Sau đó, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này.

A, B Để viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba, thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y ), nghĩa là:

Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ): 1 1

( ) y h x y y q x h x y h x Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là d y: h x( ). a Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Cho hàm số yx 3 3x 2 2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x0 và cực tiểu tại x 2

B Hàm số đạt cực tiểu tại x2 và cực đại tại x0

C Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x0

D Hàm số đạt cực đại tại x2 và cực tiểu tại x0.

Cho hàm số y f x( )  x 3 3x2 Các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là

Ví dụ 51 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Số điểm cực trị của hàm số y  x 3 3x 2 4x5 là

Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y x 3 3x 1

Gọi x 1 và x 2 là hai điểm cực trị của hàm số   1 3 3 2 2

Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số yx 3 2x là

A y CT y CD 0 B y CD  y CT C 2y CD 3y CT D y CD 2y CT

Trong số các hàm số được đề cập, hàm số nào có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn điều kiện x CD < x CT?

Tìm cực đại của hàm số yx 3 3x 2 m (với m là tham số thực)

Gọi A x y  1; 1 , B x y  2; 2  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Cho hàm số yx 3 3x có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là y y 1 , 2 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3 3x 2 2

Ví dụ 60 Đồ thị hàm số yx 3 3x 2 9x1 có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

Ví dụ 61 Đồ thị của hàm số y  x 3 3x 2 5 có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

Ví dụ 62 ho hàm số y2x 3 3x 2 12x2019 Gọi x 1 và x 2 lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số Kết luận nào sau đây là đúng?

Biết rằng hàm số yx 3 2x 2  x 1 đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 Tích x x 1 2 bằng

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y :   3 m  1  x   3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx 3 3x 2 1

Để tìm tất cả các giá trị của tham số m cho hàm số y = x³ + 2x² + (m - 3)x + m có hai điểm cực trị, ta cần đảm bảo rằng điểm M(9; 5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị Việc xác định các giá trị m phù hợp sẽ giúp đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện này.

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y   2 m  1  x   m 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx 3 3x 2 1

b Các bài toán tự luận

Xác định các điểm cực trị của hàm số yx 3 6x 2 9x2.

Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y     x 3 3 x 1.

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y :   2 m  1  x   3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx 3 3x 2 1.

Dạng 6.Các bài toán cực trị hàm số bậc 4

1 Tìm cực trị hàm số qua dấu của đạo hàm y’

+ Dựa vào sự đổi dấu của y’ để kết luận cực đại; cực tiểu

2 Tìm cực trị hàm số qua bảng biến thiên

Quan sát bảng biến thiên giúp xác định chiều chuyển động của hàm số, bao gồm các giai đoạn đi lên, đi xuống và sự thay đổi dấu của đạo hàm y’ Việc này rất quan trọng trong việc phân tích và hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.

+ y’ đổi dấu từ “ – ” sang dấu “ + ” khi qua x0  Kết luận hàm số đạt cực tiểu tại x0 tương ứng

+ y’ đổi dấu từ “ + ” “ sang dấu “ – ” khi qua x0  Kết luận hàm số đạt cực đại tại x0 tương ứng

+ y’ không đổi dấu khi qua điểm x0  Kết luận hàm số không đạt cực tại tại x0 tương ứng

3 Tìm cực trị hàm số qua đồ thị hàm y = f(x)

+ Quan sát đồ thị hàm số (chiều chuyển động đi lên, đi xuống hoặc đi xuống và đi lên)

+ Đồ thị đi xuống rồi đi lên khi qua x0  Kết luận hàm số đạt cực tiểu tại x0 tương ứng

+ Đồ thị đi lên rồi đi xuống khi qua x 0  Kết luận hàm số đạt cực đại tại x0 tương ứng

+ Đồ thị chỉ đi xuống hoặc chỉ toàn đi lên khi qua điểm x 0  Kết luận hàm số không đạt cực tại tại x 0 a Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Ví dụ 70 Điểm cực tiểu của hàm số: là:

    Khẳng định nào là đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 B Hàm số đạt cực đại tại x0

C Hàm số đạt cực đại tại x 1 D Hàm số có một cực trị tại x0

Giá trị cực đại của hàm số yx 4 2x 2 3là:

Cho hàm số: y  x 4 2x 2 3 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là?

Cho hàm số: yx 4 2x 2 Khẳng định nào là đúng?

 2  2 2 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

A x0 là điểm cực tiểu B x0 là điểm cực đại

C Hàm số có cực đại và cực tiểu D Hàm số không có cực tiểu, có cực đại

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Kết luận đúng về cực trị của hàm số là:

A Có 1 cực tiểu, có 2 cực đại B Có 2 cực tiểu, có 1 cực đại

C Có 1 cực tiểu D Có 2 cực đại.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ Kết luận đúng về cực trị của hàm số là:

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho có điểm cực đại là?

Ví dụ 78 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)

Cho hàm số y ax  4  bx 2  c ( a , b, c ) có đồ thị như hình vẽ bên

1 1 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Giá trị tham số m để hàm số: đạt cực tiểu tại x =1 là:

Số điểm cực trị của hàm số: yx x 1 (x 1)   2  là:

Dạng 7.Các bài toán cực trị hàm phân thức

a Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

 có bao nhiêu điểm cực trị?

Hàm số nào dưới đây có hai điểm cực trị?

1 m  m3 m 3 m1 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm   2 2

     Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên R có đạo hàm

  Số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là

CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO

Dạng 6.Các bài toán cực trị hàm số bậc 3 chứa tham số

Phương pháp giải cực trị là dạng toán cơ bản thường gặp trong các đề thi Để giải loại toán này, chúng ta cần áp dụng một số quy tắc nhất định.

-1 O 1 3 h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Bước 1 Tìm Tập xác định D

Bước 2 Tìm f x( ) Tìm các điểm tại đó f x( )0 hoặc f x( ) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

+) x 0 là điểm cực đại của hàm số  

+) x 0 là điểm cực tiểu của hàm số  

   Chú ý: Hàm số bậc ba dạng y f x( )ax 3 bx 2  cx d a( 0)

Ta có y 3ax 2 2bx c 0 Để hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình f    x  0 có hai nghiệm phân biệt

Ngược lại, để hàm số không có cực trị thì phương trình f    x  0 vô nghiệm hoặc có một nghiệm duy nhất b 2 3ac0 a Các bài toán cơ bản

Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại 1 điểm

Viết phương trình đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

Giả sử hàm bậc ba dạng y f x( )ax 3 bx 2  cx d a( 0)có hai điểm cực trị là x x 1 ; 2 Khi đó ta thực hiện phép chia f x( ) cho f x( ) ta được

Suy ra các điểm cực trị  x y 1; 1  ; x y 2; 2  của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng yAxB

Vậy để viết phương trình đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y  f x   ta làm như sau:

B2: Thực hiện phép chia y cho y' được phần dư là AxB

B3: KL các điểm cực trị  x y 1; 1  ; x y 2; 2  của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng yAxB Chú ý

Sau khi thực hienj phép chia trong trường hớp tổng quát thì phương trình đường thẳng đi qua

2 điểm cựa trị của hàm số bận 3 có dạng:

  http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Tìm điều kiện để 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

Để hàm số bậc ba \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có hai điểm cực trị, điều kiện cần thiết là đạo hàm \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \) phải có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) Điều này xảy ra khi discriminant \( \Delta = b^2 - 3ac > 0 \) Để đảm bảo rằng hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung, cần thỏa mãn điều kiện \( f(x_1) \cdot f(x_2) < 0 \).

( ) ( 0) y f x ax bx  cx d a thỏa mãn điều kiện K liên quan đến định lí Viet

( ) ( 0) y f x ax bx  cx d a đối xứng nhau qua đường thẳng ykx c

Đồ thị hàm số bậc ba có điểm uốn I(1; 1) làm tâm đối xứng, dẫn đến sự tồn tại của hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = kx + c Hàm số có dạng y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a khác 0.

     b Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Cho hàm số y f x( )3x 3 6mx 2 3m x 2 Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x1.

Cho hàm số y f x( )x 3 mx 2 3x2 Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x2.

Cho hàm số yx 3 3mx 2 3m1 Tìm các giá trị của m để hàm số có 2 điểm cực trị.

Tìm giá trị của m trong hàm số y = x³ - 3x² + 3(1 - mx) + 1/3m để đồ thị có điểm cực đại và cực tiểu Đồng thời, xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Cho hàm số y    x 3  3 m  9  x 2   m 2  3 m  2  x  4 có đồ thị   C m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

Tìm giá trị m để 2 điểm cực trị x x 1 ; 2 của hàm số y  f x ( )  x 3   m  1  x 2   x 2 thỏa mãn

Tìm m để đồ thị hàm số yx 3 3mx 2 4m 3 có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng   d : y  x

 Lời giải: c Các bài toán trắc nghiệm tương tự

Cho hàm số 1 3 2  2 1  1 y3x mx  m  m x Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại 1 x

A m0 B m1 C m2 D m2;m1 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số yx 3 3mx 2 6mx m Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị

Cho hàm số 1 3 2  2 1  1 y3x mx  m x Khẳng định nào sau đây sai

A  m 1 thì hàm số có 2 điểm cực trị B Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

C  m 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu D  m 1 thì hàm số có cực trị

Cho hàm số y  f x ( )   m  3  x 3  2 mx 2  3 Tìm các giá trị của m để hàm số không có cực trị

Ví dụ 99 Đồ thị hàm số yx 3 3x 2 mx m có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d y: 2x1khi:

Cho hàm số y f x( )x 3 2x 2 mx1 Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x1

3 2 y f x  x  m x  m  xm Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị x x 1 ; 2 thỏa mãn 8  x 1 2  x 2 2   81

Cho hàm số y  f x ( )  mx 3  2 mx 2   m  2  x  5 Tìm các giá trị của m để hàm số không có cực trị

Ví dụ 103 Đồ thị hàm số y  2 x 3  3  m  1  x 2  6 mx có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d y:  x 2khi:

Ví dụ 104 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số y  x 3  3 mx 2  3  m 2  1  x m  3  m Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có dạng

Cho hàm số y    x 3 x 2   m 2  3 m x   4 có đồ thị   C m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

Tìm giá trị m để 2 điểm cực trị x x 1 ; 2 của hàm số ( ) 1 3 2  2  2 y f x  3x x  m x thỏa mãn

Cho hàm số ( ) 2 3 2 2 1 3  2  1 y f x  3x mx   m x Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị x x 1 ; 2 thỏa mãn 2 x 1x 2 x x 1 2 1

( ) 3 y f x  x mx x Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm cực trị x x 1 ; 2 thỏa mãn  x 1 2  x 2 2   x x 1 2  7

Cho hàm số y    1 m x  3  3 x 2  3 x  5 Tìm các giá trị của m để hàm số có 2 điểm cực trị

3 2 y x  m x  m  m x có đồ thị   C m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x³ - 3mx² + 4m³ có cực đại và cực tiểu Đồng thời, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng một giá trị xác định.

Ví dụ 112 http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho đồ thị hàm số yax 3 bx 2 c có hai điểm cực trị là A   0;1 và B   1; 2  Tính giá trị của a b c 

Dạng 3 Các bài toán cực trị hàm số bậc 4 chứa tham số

Phương pháp giải cho dạng toán cực trị là một trong những dạng cơ bản nhưng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Để giải quyết dạng toán này, chúng ta cần áp dụng những tính chất quan trọng sau đây.

Bước 1 Tìm Tập xác định D

Bước 2 Tìm f x( ) Tìm các điểm tại đó f x( )0 hoặc f x( ) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

+) x 0 là điểm cực đại của hàm số  

+) x 0 là điểm cực tiểu của hàm số  

Xét hàm bậc bốn trùng phương dạng yax 4 bx 2 c a( 0)

Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm của phương trình 2ax 2  b 0

 a  tức là a b, cùng dấu hoặc b0thì phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm 0 x Khi đó, hàm số chỉ có một điểm cực trị x0

 a  tức là a b, trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

Khi đó, hàm số có ba điểm cực trị là 0;

    a Đến đây ta có thể suy ra, nếu hệ số của a, b khác dấu thì hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị

Tức là nếu ab0 thì hàm số có ba điểm cực trị là 0;

Đồ thị của hàm số đã cho sẽ có ba điểm cực trị.

4 4 4 b b b ab b f a b c c a a a a a ab ab a c ab a c b ac a a a dpcm

      a Các bài toán cơ bản

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yax 4 bx 2 c a( 0) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

Với ab0 thì hàm số có ba điểm cực trị

Điểm A (0; c) nằm trên trục Oy và cách đều hai điểm B và C, do đó tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, tương đương với việc AB vuông góc với AC.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yax 4 bx 2 c a( 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác đều.

Với ab0 thì hàm số có ba điểm cực trị

Do AB, nên ta chỉ cần tìm điều kiện để AB

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yax 4 bx 2 c a( 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có diện tích bằng S 0

Gọi H là trung điểm của BC thì H nằm trên đường thẳng chứa đoạn BC (hình vẽ)

  Diện tích tam giác ABC sẽ là: http s:// toan vd.e du vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = ax^4 + bx^2 + c (với a ≠ 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất, ta cần phân tích các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại và vị trí của các điểm cực Bài toán yêu cầu xác định các giá trị của m liên quan đến các hệ số a, b, c để tối ưu hóa diện tích tam giác được tạo thành từ ba điểm cực trên đồ thị.

Do vậy ta chỉ tìm

Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = ax^4 + bx^2 + c (với a ≠ 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng α Điều này yêu cầu phân tích các điều kiện cần thiết để xác định các tham số a, b, c sao cho đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu về hình học.

Để xác định tất cả các giá trị thực của tham số m cho hàm số y = ax^4 + bx^2 + c (với a ≠ 0) có ba điểm cực, chúng ta cần đảm bảo rằng ba điểm cực này tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r Việc phân tích các điều kiện cần thiết cho các điểm cực và mối quan hệ giữa tham số m và bán kính r là rất quan trọng trong quá trình này.

Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \( y = ax^4 + bx^2 + c \) (với \( a \neq 0 \)) có ba điểm cực tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, ta cần phân tích các điểm cực của hàm số Các điểm cực này được xác định bởi đạo hàm bậc nhất của hàm số, và từ đó, ta sẽ tính toán các điều kiện cần thiết để tam giác được tạo thành có bán kính R Việc tìm kiếm các giá trị của m liên quan đến các hệ số a, b, c cũng như tính chất hình học của tam giác sẽ giúp xác định được các giá trị thực của tham số m.

Gọi H là trung điểm của BC, khi đó AH là đường cao của tam giác ABC (hình vẽ)

Lúc này diện tích tam giác ABC sẽ là:

      h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du vn

Để xác định tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = ax^4 + bx^2 + c (với a ≠ 0) có 3 điểm cực tạo thành tam giác với gốc tọa độ O làm trọng tâm, cần phân tích điều kiện của hàm số Điều này bao gồm việc tìm các giá trị của a, b, c để đảm bảo rằng ba điểm cực của hàm số không nằm trên một đường thẳng và tạo thành một tam giác có trọng tâm tại O.

Nên với G x  G ; y G là trọng tâm tam giác ABC thì:

       b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm

Do tam giác ABC cân tại A, mà A nằm trên trục Oy nên AO luôn vuông góc với BC Do vậy để

O là trực tâm của tam giác ABC thì ta chỉ cần tìm điều kiện để OB AC hoặc:

Để O trở thành tâm của đường tròn ngoại tiếp, các đoạn OA, OB và OC phải có độ dài bằng nhau, tức là OA = OB = OC Vì OB = OC, điều này cho thấy O là tâm của đường tròn ngoại tiếp khi các đoạn này thỏa mãn điều kiện trên.

OA OB c c a a a a a b ab c ab b a abc

Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = ax^4 + bx^2 + c (với a ≠ 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác ABC, trong đó trục hoành chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB, AC với trục hoành

Ta có: AMNđồng dạng ABC

  (Do trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau)

Chú ý rằng sau khi xác định được m, cần kiểm tra lại xem ab

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	2,77 MB