Giáo Án Toán Hình Học Lớp 10

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 0 ĐẾN 180 0ĐẠI SÔ LỚP Cách xác định góc giữa hai vectơ không phụ thuộc vào việc lựa chọn vị trí điểm O.. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNĐẠI SỐ

Trang 1

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 0 ĐẾN 180 0

ĐẠI SÔ

LỚP

Trang 2

ĐẠI SÔ

LỚP

HÌNH HỌC

Chương 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 ĐẾN 180

V

Trang 3

1 Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 vuông tại 𝑨 có góc

nhọn ෣ 𝑨𝑩𝑪 = 𝜶 Hãy nhắc lại định nghĩa

các tỉ số lượng giác của góc nhọn 𝜶?

cotα= AB

AC =

cosα sinα

Bài giải

Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪 vuông tại 𝑨, đường cao

𝑨𝑯 Khi đó, hệ thức nào sau đây sai?

Trang 4

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h,BC = a, AC = b,

AB = c Gọi BH = c’,CH = b’ Hãy nêu các hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC

Trang 5

?

Trang 6

ĐẠI SÔ

LỚP

2 Trong mặt phẳng 𝑶𝒙𝒚, nửa đường tròn tâm 𝑶

nằm phía trên trục hoành bán kính 𝑹 = 𝟏 được

gọi là nửa đường tròn đơn vị.

x y

1 -1

Nếu cho trước một góc nhọn  thì ta có thể xác

định một điểm 𝑴 duy nhất trên nửa đường tròn

đơn vị sao cho ෣ 𝒙𝑶𝑴 = 𝜶.

Giả sử điểm 𝑴 có tọa độ (𝒙𝟎; 𝒚𝟎)

෣𝒙𝑶𝑴 = 𝜶 ?

Trang 7

x 0

y 0 1

1 -1

Các số 𝐬𝐢𝐧 𝜶, 𝐜𝐨𝐬 𝜶, 𝐭𝐚𝐧 𝜶, 𝐜𝐨𝐭 𝜶 được gọi là các giá trị lượng giác của góc 𝜶

Với mỗi góc 𝜶 𝟎𝟎 ≤ 𝜶 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟎

ta xác định một điểm 𝑴 trên nửa đường tròn đơn

vị sao cho ෣ 𝒙𝑶𝑴 = 𝜶 và giả sử điểm 𝑴 có tọa độ

Trang 8

Phương pháp tìm các giá trị lượng giác của một góc

Xác định điểm 𝑴 trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ෣𝒙𝑶𝑴 = 𝜶

Trang 9

x

x o O

M -1

1 -1

Trang 10

Trang 11

1 -1

Trang 12

x 0

y 0 1

1 -1

Trang 13

Trang 14

𝐬𝐢𝐧 𝟗𝟎𝐨 − 𝛂 = 𝐜𝐨𝐬𝛂𝐜os 𝟗𝟎𝐨 − 𝛂 = 𝐬𝐢𝐧𝛂𝐭𝐚𝐧 𝟗𝟎𝐨 − 𝛂 = 𝐜𝐨𝐭𝛂𝐜𝐨𝐭 𝟗𝟎𝐨 − 𝛂 = 𝐭𝐚𝐧𝛂

Góc phụ

Trang 15

𝟐𝟐

𝟑𝟐

𝟐𝟐

Trang 16

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác.

- Sử dụng mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau, bù nhau.

Trang 17

Trang 18

Dạng 1:Tính giá tri biểu thức

Cho 𝒔𝒊𝒏 𝜶 Tính giá trị biểu thức

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC ĐẶC BIỆT III

Trang 19

Cho hai góc 𝜶 và 𝜷 với 𝜶 + 𝜷 = 𝟏𝟖𝟎°

Tính giá trị của biểu thức 𝑷 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶.

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Dạng 2:Xét dấu biểu thức véc tơ

Trang 24

Do 𝜶 và 𝜷 là góc nhọn nên có điểm biểu diễn thuộc góc

phần tư thứ nhất, có các giá trị lượng giác đều dương nên

C đúng theo tính chất 2 góc phụ nhau

Dạng 2:Xét dấu biểu thức véc tơ

𝒕𝒂𝒏𝜶 + 𝐭𝐚𝐧𝜷 > 𝟎, 𝜶 < 𝜷 ⇒ 𝐬𝐢𝐧𝜶 < 𝐬𝐢𝐧𝜷 ⇒ D,B đúng

⇒ A sai

Trang 25

ĐẠI SÔ

LỚP

Trang 26

ĐẠI SÔ

LỚP

HÌNH HỌC

Chương 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 ĐẾN 180

V

Trang 27

được gọi là góc giữa hai véc tơ 𝒂 và 𝒃

GÓC GIỮA HAI VÉC TƠ IV

O•

𝒂

𝒃

Trang 28

ĐẠI SÔ

LỚP

Cách xác định góc giữa hai vectơ không

phụ thuộc vào việc lựa chọn vị trí điểm O.

GÓC GIỮA HAI VÉC TƠ IV

Trang 29

Trang 30

Trang 31

ĐẠI SÔ

LỚP

Ví dụ 2

Trong trường hợp nào góc giữa hai bằng 0 0

A Hai vectơ đó song song với nhau

C Hai vectơ đó cùng hướng với nhau

B Hai vectơ đó cùng phương với nhau

D Hai vectơ đó ngược hướng với nhau

GÓC GIỮA HAI VÉC TƠ

IV IV GÓC GIỮA HAI VÉC TƠ

Trang 32

- Đưa về hai vec tơ có chung điểm đầu.

- Sử dụng mối quan hệ giữa hai véc tơ cùng phương cùng hướng.

1

Dạng 3: Tính góc giữa 2 véc tơ

Trang 33

Trang 34

Cho tam giác ABC đều Gọi H là trung điểm của BC Tính: (𝑨𝑯,𝑨𝑩); (𝑨𝑯,𝑩𝑨)

GÓC GIỮA HAI VÉC TƠ

Trang 35

Trang 36

𝟏

𝟏𝟐

Trang 37

Trang 38

ĐẠI SÔ

LỚP

Bài giải

Góc nào sau đây bằng 𝟏𝟐𝟎𝑶?

O

Trang 39

ĐẠI SÔ

LỚP

Sử dụng bấm Casio: (Máy tính fx-570VN PLUS)

Sau khi mở máy ấn phím để xác định đơn vị đo góc là

Trang 40

ĐẠI SÔ

LỚP

Sau khi mở máy ấn phím để xác định đơn vị đo góc là

“độ” và tính giá trị của các góc.

SHIFT MODE 3

Ấn liên tiếp các phím sau đây:

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC.

Trang 41

Tam giác 𝑨𝑩𝑪 vuông ở 𝑨 có góc ෡𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 𝒏ê𝒏 𝒈ó𝒄 ෡𝑪 = 𝟔𝟎𝟎

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC.

Trang 42

ĐẠI SÔ

LỚP

Giá trị lượng giác của

Định nghĩa

sin = y 0 ; cos = x 0 ; tan = ; cot =

b a

sin 𝜋 − 𝛼 = sin𝛼 ; tan 𝜋 − 𝛼 = −tan𝛼

𝑐os 𝜋 − 𝛼 = −𝑐os𝛼 ; cot 𝜋 − 𝛼 = −cot𝛼

Trang 44

Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Cho hai vectơ Ԧ𝑎 và 𝑏 đều khác 0

Từ điểm O bất kỳ , dựng các vectơ 𝑂𝐴 = Ԧ𝑎 và 𝑂𝐵 = 𝑏

Góc ෣𝐴𝑂𝐵 với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ Ԧ𝑎 và 𝑏

+ Quy ước:

Nếu Ԧ𝑎 = 0 hoặc 𝑏 = 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ Ԧ𝑎 và 𝑏 là tùy ý (từ 00 đến 1800)

+ Kí hiệu: 𝑎; 𝑏 là góc giữa 2 vectơ ԦԦ 𝑎 và 𝑏

+ Chú ý: 𝑎; 𝑏 = 90Ԧ 0 thì ta nói rằng Ԧ𝑎 và 𝑏 vuông góc với nhau, kí hiệu Ԧ𝑎 ⊥ 𝑏 hoặc 𝑏 ⊥ Ԧ𝑎

a Nhắc lại kiến thức g óc giữa hai vectơ

Trang 45

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

ĐẠI SỐ

LỚP

10 HÌNH HỌC CHƯƠNG 4BÀI 15Bài 2

Tích vô hướng của hai véc tơ Ԧ𝑎 và 𝑏 là một số thực được xác định bởi: 𝑎 𝑏 =Ԧ 𝑎Ԧ 𝑏 𝑐𝑜𝑠( Ԧ𝑎, 𝑏)

b Tích vô hướng của hai vectơ

* Khi 𝑎 = 𝑏 tích vô hướng ԦԦ 𝑎 Ԧ𝑎 được kí hiệu là Ԧ𝑎2 và số này được gọi là bình phương vô hướng

của vectơ Ԧ𝑎.

Ta có 𝑎Ԧ2 = Ԧ𝑎 Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎 Ԧ𝑎 𝑐𝑜𝑠 00 = Ԧ𝑎 2

* Liên hệ giữa dấu tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

+ 00 < Ԧ𝑎; 𝑏 < 900 thì 𝑎 𝑏 > 0Ԧ+ 900 < Ԧ𝑎; 𝑏 < 1800 thì 𝑎 𝑏 < 0Ԧ

* Với 𝑎 và 𝑏 khác 0 ta có ԦԦ 𝑎 𝑏 = 0 ⇔ Ԧ𝑎 ⊥ 𝑏.

Chú ý:

Trang 46

ĐẠI SỐ

LỚP

b Tích vô hướng của hai vectơ

Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bằng 𝑎 và có chiều cao 𝐴𝐻 Tính các tích vôhướng sau: 𝐴𝐵 𝐴𝐶, 𝐴𝐶 𝐶𝐵, 𝐴𝐻 𝐵𝐶

𝐴𝐶 𝐶𝐵 = −𝐶𝐴 𝐶𝐵 = −𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑠 6 00 = − 1

2 𝑎

2

Tương tự

Trang 47

Với ba véc tơ bất kì 𝑎, 𝑏, ԦԦ 𝑐 và mọi số thực 𝑘 ta luôn có:

Trang 48

ĐẠI SỐ

LỚP

a) Cho hai vec tơ 𝑎, 𝑏 có ԦԦ 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 và Ԧ𝑎, 𝑏 = 30𝑜 Tính 2 Ԧ𝑎 + 5𝑏 3 Ԧ𝑎 − 𝑏

b) Cho hai vecto 𝑎, 𝑏 có ԦԦ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 và |2 Ԧ𝑎 − 3𝑏| = 10 Tính Ԧ𝑎 𝑏

Trang 49

Cho hình vuông ABCD tâm I, cạnh a.

a) Tính AB AC, AC BD.

b) Tính (AB + AD).(IB + IC).

b) Tính (AB + AD)(IB + IC)

C D

I

= AB ⋅ AC cos(AB, AC) = 𝑎2

AC BD = 0 do AC vuông góc với BD

= AC (IB + AI) = AB AC = 𝑎2

Trang 51

ĐẠI SỐ

LỚP

CÂU HỎI / BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ

Câu 1. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎 3 và 𝐴𝑀 là trung tuyến Tính tích vô hướng 𝐵𝐴 𝐴𝑀.

Trang 52

ĐẠI SỐ

LỚP

Câu 6. Cho 𝛥𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, biết 𝐴𝐵 𝐶𝐵 = 4, 𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 9 Khi đó 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 có độ dài là

Câu 10. Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ 𝐵𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷

Trang 54

Trên mặt phẳng tọa độ 𝐎; Ԧ𝐢; Ԧ𝐣 , cho hai vectơ 𝐚 = 𝐚𝟏; 𝐚𝟐 , 𝐛 = 𝐛𝟏; 𝐛𝟐

a) Tính Ԧ𝐢𝟐, Ԧ𝐣𝟐, Ԧ 𝐢 Ԧ𝐣?

b) B 𝐢ể𝐮 𝐝𝐢ễ𝐧 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨 𝐚 𝐯à Ԧ𝐛 theo hai vecto Ԧ𝐢 𝐯à Ԧ𝐣?

c) Tính tích vô hướng 𝐚 Ԧ𝐛?

a) Ԧ𝐢𝟐 = 𝟏; Ԧ𝐣𝟐 = 𝟏; Ԧ𝐢 Ԧ𝐣 = 𝟎𝐛) 𝐚 = 𝐚𝟏Ԧ𝐢 + 𝐚𝟐Ԧ𝐣; Ԧ𝐛 = 𝐛𝟏Ԧ𝐢 + 𝐛𝟐Ԧ𝐣

c) 𝐚 Ԧ𝐛 = 𝐚𝟏Ԧ𝐢 + 𝐚𝟐Ԧ𝐣 𝐛𝟏Ԧ𝐢 + 𝐛𝟐Ԧ𝐣

= 𝐚𝟏𝐛𝟏Ԧ𝐢𝟐 + 𝐚𝟐𝐛𝟐Ԧ𝐣𝟐 + 𝐚𝟏𝐛𝟐Ԧ𝐢 Ԧ𝐣 + 𝐚𝟐𝐛𝟏Ԧ𝐢 Ԧ𝐣

= 𝐚𝟏𝐛𝟏 + 𝐚𝟐𝐛𝟐

Trang 55

Biểu thức tọa độ tích vô hướng:

Trên mặt phẳng tọa độ 𝐎; Ԧ𝐢; Ԧ𝐣 , cho hai vectơ 𝐚 = 𝐚𝟏; 𝐚𝟐 và Ԧ𝐛 = 𝐛𝟏; 𝐛𝟐 .

Khi đó: 𝐚 Ԧ𝐛 = 𝐚𝟏𝐛𝟏 + 𝐚𝟐𝐛𝟐

Hai vectơ 𝐚 = 𝐚𝟏; 𝐚𝟐 , Ԧ𝐛 = 𝐛𝟏; 𝐛𝟐 đều khác vectơ 𝟎 vuông góc với nhau khi và chỉ khi: 𝐚𝟏𝐛𝟏 + 𝐚𝟐𝐛𝟐 = 𝟎

Trang 56

Ta có: 𝐚 Ԧ𝐛 = 𝟐 (−𝟑) + 𝟑 𝟐 = 𝟎

Vậy 𝐚 ⊥ Ԧ𝐛.

Trang 58

a Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ 𝐚 = 𝐚𝟏; 𝐚𝟐 được tính theo công thức:

𝐚 = 𝐚𝟏𝟐 + 𝐚𝟐𝟐

Ta có: 𝐚𝟐 = 𝐚 𝐚 = 𝐚𝟏𝐚𝟏 + 𝐚𝟐𝐚𝟐 = 𝐚𝟏𝟐 + 𝐚𝟐𝟐𝐌à: 𝐚𝟐 = 𝐚 𝟐

𝐍ê𝐧: 𝐚 = 𝐚𝟐 = 𝐚𝟏𝟐 + 𝐚𝟐𝟐

Trang 59

Tính độ dài của 𝒖 𝟑; −𝟒 ?

𝒖 = 𝟑𝟐 + −𝟒 𝟐 = 𝟓

Trang 60

=  =

Trang 61

b Góc giữa hai vectơ

Trang 62

⇒ ෣ 𝐌𝐎𝐍 = 𝐎𝐌, 𝐎𝐍 = 𝟏𝟑𝟓𝐨

Trang 63

Cho 𝐌 𝟏; 𝟑 Tìm điểm 𝐍 ∈ 𝐎𝐱 để tam giác 𝐌𝐎𝐍 vuông tại 𝐌?

Gọi 𝐍 𝐱; 𝟎 Khi đó 𝐌𝐍 = 𝐱 − 𝟏; −𝟑 , 𝐌𝐎 = −𝟏; −𝟑 Tam giác 𝐌𝐎𝐍 vuông tại 𝐌 ⇔ 𝐌𝐍 𝐌𝐎 = 𝟎

⇔ − 𝐱 − 𝟏 + 𝟗 = 𝟎 ⇔ 𝐱 = 𝟏𝟎𝐕ậ𝐲 𝐌 𝟏𝟎; 𝟎

Trang 64

Cho 𝐀 𝟐; 𝟑 , B(1; 4) Tìm điểm 𝐂 để tam giác 𝐀𝐁𝐂 vuông cân tại 𝐀?

Trang 65

c Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm 𝐀 𝐱𝐀; 𝐲𝐀 và 𝐁 𝐱𝐁; 𝐲𝐁 được tính theo công thức:

𝐀𝐁 = 𝐱𝐁 − 𝐱𝐀 𝟐 + 𝐲𝐁 − 𝐲𝐀 𝟐

Ta có: 𝐀𝐁 = 𝐱𝐁 − 𝐱𝐀; 𝐲𝐁 − 𝐲𝐀𝐕ậ𝐲: 𝐀𝐁 = 𝐀𝐁 = 𝐱𝐁 − 𝐱𝐀 𝟐 + 𝐲𝐁 − 𝐲𝐀 𝟐

Trang 66

c Khoảng cách giữa hai điểm

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(2;4), B(1;2), C(6;2).

Trang 67

ĐẠI SỐ

LỚP

Trang 68

Câu 2 Trong hệ tọa độ 𝐎𝐱𝐲, cho 𝐮 = Ԧ𝐢 + 𝟑Ԧ𝐣 và 𝐯 = 𝟐; −𝟏 Tính 𝐮 𝐯.

Câu 5 Trên mặt phẳng toạ độ 𝐎𝐱𝐲, cho tam giác 𝐀𝐁𝐂 biết 𝐀 𝟏; 𝟑 , 𝐁 −𝟐; −𝟐 , 𝐂 𝟑; 𝟏 Tính

cosin góc 𝐀 của tam giác.

Trang 69

Câu 6 Cho ba vectơ 𝐚, Ԧ𝐛, Ԧ𝐜 thỏa mãn 𝐚 = 𝟏, Ԧ𝐛 = 𝟐, 𝐚 − Ԧ𝐛 = 𝟑 Tính 𝐚 − 𝟐Ԧ𝐛 𝟐𝐚 + Ԧ𝐛

Câu 8 Cho 𝚫𝐀𝐁𝐂 vuông tại 𝐀, biết 𝐀𝐁 𝐂𝐁 = 𝟒, 𝐀𝐂 𝐁𝐂 = 𝟗 Khi đó 𝐀𝐁, 𝐀𝐂, 𝐁𝐂 có độ dài là

A 𝟐; 𝟑; 𝟏𝟑 B 𝟑; 𝟒; 𝟓 C 𝟐; 𝟒; 𝟐 𝟓 D 𝟒; 𝟔; 𝟐 𝟏𝟑.

Câu 9 Cho ba véc-tơ 𝐚, Ԧ𝐛, Ԧ𝐜 thỏa mãn: 𝐚 = 𝟒, Ԧ𝐛 = 𝟏, Ԧ𝐜 = 𝟓 và 𝟓 Ԧ𝐛 − 𝐚 + 𝟑 Ԧ𝐜 = 𝟎.

Khi đó biểu thức 𝐌 = 𝐚 Ԧ𝐛 + Ԧ𝐛 Ԧ𝐜 + Ԧ𝐜 𝐚 có giá trị là

𝟐 C 𝟏𝟖, 𝟐𝟓 D −𝟏𝟖, 𝟐𝟓.

Câu 10 Cho hình vuông 𝐀𝐁𝐂𝐃 có cạnh bằng 𝟏 Hai điểm 𝐌, 𝐍 thay đổi lần lượt ở trên cạnh

𝐀𝐁, 𝐀𝐃 sao cho 𝐀𝐌 = 𝐱 𝟎 ≤ 𝐱 ≤ 𝟏 , 𝐃𝐍 = 𝐲 𝟎 ≤ 𝐲 ≤ 𝟏 Tìm mối liên hệ giữa 𝐱 và 𝐲 sao cho

Trang 70

ĐẠI SỐ

LỚP

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vô hướng.

Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước.

LỚP

10

Trang 71

ĐẠI SỐ

LỚP

DẠNG 1: Tính các tích vô hướng.

Dựa vào định nghĩa Ԧ𝑎 𝑏 = Ԧ𝑎 𝑏 cos Ԧ𝑎; 𝑏

Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ

Trang 72

HÌNH HỌC

Bài 2 Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

M A

Suy ra (𝐴𝐵 + 𝐴𝐷)(𝐵𝐷 + 𝐵𝐶) = 𝑎 𝑎 2cos450 = 𝑎2

Trang 73

ĐẠI SỐ

LỚP

10 CHƯƠNG 4BÀI 15

b) Vì G là trọng tâm tam giác 𝐴𝐷𝑀 nên 3𝐶𝐺 = 𝐶𝐷 + 𝐶𝐴 + 𝐶𝑀

Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

Trang 74

ĐẠI SỐ

LỚP

10 CHƯƠNG 4BÀI 15

Ví dụ 2 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐶𝐴 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐 M là trung

điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A.

Trang 77

Trang 79

Dễ thấy tam giác 𝐴𝐵𝑀 đều nên 𝐺𝐴2 = 2

Trang 80

Bài 1.Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 7, 𝐴𝐶 = 8.

a) Tính 𝐴𝐵 𝐴𝐶, rồi suy ra giá trị của góc A.

b) Tính 𝐴𝐶 𝐵𝐶.

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho 𝐶𝐷 = 3 Tính 𝐶𝐷 𝐶𝐵.

Bài 2 Cho các véctơ 𝑎, 𝑏 có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2 Ԧ Ԧ 𝑎 − 3𝑏 = 7 Tính cos Ԧ 𝑎, 𝑏

Bài 3 Cho các véctơ 𝑎, 𝑏 có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 60 Ԧ 0 Xác định cosin góc giữa hai vectơ 𝑢 và Ԧ𝑣 với 𝑢 = Ԧ𝑎 + 2𝑏, Ԧ𝑣 = Ԧ𝑎 − 𝑏

Bài 4 Cho hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 cạnh bằng 3 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 𝐵𝑀 = 1, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho 𝐷𝑁 = 1 và P là trung điểm BC Tính cos ෣ 𝑀𝑁𝑃.

Trang 81

Bài 5 Cho hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐵 = 2 M là điểm được xác định bởi 𝐴𝑀 = 3𝑀𝐵,

G là trọng tâm tam giác 𝐴𝐷𝑀 Tính 𝑀𝐵 𝐺𝐶

Bài 6 Cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2𝑎, 𝑀𝑁 = 𝑎 3.

Bài 7 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều có cạnh bằng 1 Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường

thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB.

a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác 𝑀𝐷𝑁 vuông tại D.

Tính diện tích tam giác đó.

b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác 𝑀𝑃𝐷 vuông tại M

Tính diện tích tam giác đó.

c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD

Trang 82

DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vô hướng.

1 Phương pháp giải.

2 Ví dụ.

Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵2 .

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ.

Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng.

Trang 83

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là 𝑀𝐴 𝑀𝐵 = 𝐼𝑀2 − 𝐼𝐴2.

Để làm xuất hiện 𝐼𝑀, 𝐼𝐴 ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được

Trang 84

Từ (1) (2) ta có 𝐻𝐵 𝐶𝐴 = 0 suy ra BH vuông góc với AC.

Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).

Trang 85

Lời giải:

Ví dụ 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB Có AC và BD là hai dây thuộc nửa

đường tròn cắt nhau tại E Chứng minh rằng: 𝐴𝐸 𝐴𝐶 + 𝐵𝐸 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 2

Trang 86

Bài 1 Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 cạnh 𝑎, với các đường cao 𝐴𝐻, 𝐵𝐾 vẽ 𝐻𝐼 ⊥ 𝐴𝐶 Chứng minh rằng

Bài 3 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐻 là trực tâm; 𝐴′, 𝐵′ lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm

𝐴, 𝐵 Gọi 𝐷, 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐻, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 Chứng minh 𝑁𝑀 𝑁𝐷 =

𝐴′𝑀 𝐴′𝐷.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 87

Bài 4 Cho hình thang vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy lớn 𝐴𝐵 = 4𝑎, đáy nhỏ 𝐶𝐷 = 2𝑎, đường cao 𝐴𝐷 = 3𝑎; 𝐼 là trung điểm của 𝐴𝐵 Chứng minh rằng

Định dạng
Số trang	341
Dung lượng	21,73 MB