De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2)

De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 2)

数学 コース 2 （上級コース）

Ⅰ

問 1 xの2次関数

y D ax2C bx C c








①

結ぶ線分の長さを8とする。このとき，a，b，cの値を求めよう。

条件より，① は

y D a



x A

2

C BC



D ; 0



，

E ; 0



である。

b D H ，c D IJ

である。

問 2 箱の中に0から9までの数字が書かれたカードが，それぞれ1枚ずつ，計10枚入っている。この箱の

LM

である。

PQ

である。

S

である。

※ 試行：trial

正の数からなる数列a1，a2，a3，


は

a1D 1，a2D 10

.an/2an 2D an 1/2 n D 3; 4;


/








①

n!1anを求めよう。

A log10anC log10an 2D B log10an 1 を得る、いま，bnD log10an n D 1; 2;


/とおくと，この式は

A bnC bn 2D B bn 1








② となる。② を変形すると

bn bn 1D 1

C .bn 1 bn 2/ n D 3; 4;


/

となるから

bn bn 1D 1

C

!n D

.b2 b1/ n D 2; 3;


/








③

が成り立つ。

bnD

n

X

kD2

1 C

!k G

を得る。よって

bnD H 1

C

!n I

である。したがって

lim

n!1anD JKL

である。

※ 常用対数：common logarithm

2次方程式x2

Cp3x C 1 D 0の2つの解を˛，ˇとする。ただし，0 < arg ˛ < arg ˇ < 2である。このと

8 ˆ

<

ˆ :

arg˛ z

ˇ z D 

2








①

.1 C x/z C 1 i /z C k D 0








②



2 < arg z < 








③

また，複素数平面※上で˛，ˇ，zを表す点をそれぞれA，B，Pとおく。

⑴ ˛，ˇの偏角※は

arg ˛D A

B 

，arg ˇD C

D 

である。

q

F G

I

の円周上にある。

L ki

であるような直線の上に ある。

N C

q

O < k <

q

P C

q

Q

※

複素数：complex number

※

複素数平面：complex plane

※

偏角：argument

※ 虚軸：imaginary axis

2 log1x2

C 9 log1x C 9 <D 0








① を満たすとき，関数

f x/ D log3x/

log3

x 3

  log3

x 9



② の最大値を求めよう。

A

q

B <D x<D CD

である。

ここで，log3x D tとおくと，tのとる値の範囲は

E F

<

D xD< G

である。

g0.x/ D H t2 I t C J

※ 導関数：derivative

問 2 a > 0とする。曲線y Dpxe x とx軸およびy軸上の点A a ; 0 /を通る直線x D aで囲まれた部

V D 4 n N a C O 

e P a Q o

と表される。

dV

dt D R  t S e T t U

である。また，この変化率が最も大きくなるのは

t D

q

V

4

V D 8

0

B W e

X

Y Z

1 C

である。