De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2016 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (de 1)
Trang 1数学 コース 1 （基本コース）
Ⅰ
問 1 xの2次関数
y D ax2C bx C c ① を考える。関数 ① はx D 1のとき最大値16をとり，そのグラフはx軸と2点で交わり，その2点を 結ぶ線分の長さを8とする。このとき，a，b，cの値を求めよう。
条件より，① は
y D a
x A
2
C BC
と表すことができる。また，① のグラフとx軸が交わる2点の座標は
D ; 0
，
E ; 0
である。
したがって，a D FG である。よって
b D H ，c D IJ
である。
Trang 2問 2 箱の中に0から9までの数字が書かれたカードが，それぞれ1枚ずつ，計10枚入っている。この箱の 中から3枚のカードを次の2通りの方法で取り出す。このとき，次の確率について考える。
⑴ 3枚のカードを同時に取り出す。このとき
3枚のカードに書かれた数が，すべて2以上6以下である確率は K
LM
である。
最も小さい数が2以下で，最も大きい数が8以上である確率は NO
PQ
である。
⑵ 1枚のカードを取り出し，数字を見てから元の箱に戻す試行※を3回続ける。このとき，最も小さ い数が2以上で，最も大きい数が6以下である確率は R
S
である。
※ 試行：trial
Trang 3問 1 nを自然数とし，aはa ¤ 0を満たす実数とする。整式xnC ynC znC a.xy C yz C zx/が，x C y C z
と，あるx，y，zの整式P の積で表されるとする。すなわち
xnC ynC znC a.xy C yz C zx/ D x C y C z/P ① とする。このとき，n，aの値を求めよう。
① はすべてのx，y，zに対して成り立つ。そこで，例えば，x C y C z D 0となるx，y，zの組
x D y D 1，z D A
および
x D y D B
C
，z D 1
を考える。これらの値を ① にそれぞれ代入して
A n
D D a E ②
B C
!n
D F
G
a H
I ③ を得る。② と ③ より
D a E F
G a
H I
!
J
となる。これを解いて，a D K となり，② より，n D L を得る。
逆に，a D K ，n D L のとき，① が成り立つようなP が存在するので，これが求める
a，nの値であることが分かる。
Trang 4問 2 放物線y D x 上に両端をおく長さ2の線分PQを考える。線分PQの中点Mの中で，x軸に最も近 いものの座標を求めよう。
線分PQの両端の座標をP p ; p2
，Q q ; q2
とおく。このとき，中点Mのy座標mは
m D p
2
C q2
M ① と表される。また，条件PQD2は三平方の定理※を用いると
.p q/2C p2 q2/ D N ② となる。
ここで，pq D t とおくと，① と ② より，mについての2次方程式
を得る。これをmついて解くと，m > 0に注意して
m D 1
p
t C 1
S
!2
C T
となる。これは，t D 1
S
のとき，mが最小値をとることを示している。このとき，
pq D 1
S
であり，p2C q2D U
V
であるから，p C q D ˙ W である。
したがって，x軸に最も近いM の座標は ˙ 1
X
， Y Z
!
である。
※ 三平方の定理：the Pythagorean theorem
Trang 5⑴ 次の問いに答えなさい。
aを整数とする。aを5で割ると4余る。このとき，aは
a D A k C B kは整数/
と表される。したがって，a2を5で割ると余り※は C である。
3進法※の3 けた桁※で表される数120.3/を10進法※で表すと DE である。
また，3進法の3桁で表される最大の自然数を10進法で表すと FG であり，最小の自然数を10進 法で表すと H である。
⑵ 次の文中の I ， J には，下の ∼ 0 の中から適するものを選びなさい。以下，3 aを整数，b を自然数とする。
「aを5で割ると余りは4である」は「a2を5で割ると余りは C である」ための I 。
「bは6 <D bD 30< を満たす」は「bを3進法で表すと3桁である」ための J 。
必要条件であるが，十分条件ではない0
十分条件であるが，必要条件ではない1
必要十分条件である2
必要条件でも十分条件でもない3
※
余り：remainder
※
3 進法：the base-3system
※
3 桁：three-digit
※
10 進法：the decimal system
Trang 6†BAC=60ıの三角形ABCを考える。
†BACの二等分線※が辺BCと交わる点をDとし，D
から辺AB，ACに引いた垂線をそれぞれDE，DFとす
る。また
x D AB
AC，k D 4DEF
4ABC
とおく。ただし，4ABCは三角形ABCの面積を表す。
他の三角形についても同様である。
A
D
E
F
⑴ kを，xの式で表そう。ABD b，ACD cとすると，4ABD C 4ACD D 4ABCより
d D
q
b C c ①
である。次に，DEDDFD B
より
4DEF D D
2
②
である。①，② より
k D d
2
I b C c/2
である。ここで，x D bc であるから
k D J x
となる。
⑵ BDD 8，BCD 10のとき，x D M ，k D N
OP
である。
※ 二等分線：bisector