De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 2)
Trang 1数学 コース 2 （上級コース）
Ⅰ
問 1 a; bは実数であり，0 < b < 7とする。2次関数
f x/ D x2 6x C a
のb <D xD 7< の範囲における最大値M と最小値mを考える。
f x/は
f x/ Dx A 2
C a B
と表される。
0 < b <D C のとき
M D D ; m D E
である。
C < b < 7のとき
M D F ; m D E
である。
0 0 1 1 2 2 3 3
4 a 6 5 a C 7 6 a C 8 7 a 9
8 b2
6b C a 9 b2C 6b C a
⑵ M D 13; m D 1となるようなa; bを求めると
a D H ; b D I
である。
Trang 2問 2 大中小3個のさいころ 1)を同時に投げて出た目の数をそれぞれx; y; zとし
x D y D z である事象をA
x C y C z D 6 である事象をB
x C y D z である事象をC とする。
⑴ 事象A; B; C の起こる場合の数は，それぞれ
Aが J ; Bが KL ; C が MN
である。
⑵ 事象A \ B; B \ C; C \ Aの起こる場合の数は，それぞれ
A \ Bが O ; B \ C が P ; C \ Aが Q
である。
⑶ 事象B [ Cの起こる確率P B [ C /は
P B [ C / D RS
TUV
である。
Trang 3OAD!a ; !
OBD!b とおく。
a C t!b を最小にする実数t の値を求めよう。
!
a C t!b
2
D A t2 B t C C
E
a C t!b は最小となる。また，このときの最小値は F で
ある
a ;!
c は
!
c D s G ; H ; 1
OCD G ; H ; 1
; !
ODD 3!a C!b を満たす点C, Dをとる。
I
q
K L
である。
Trang 4問 2 複素数 1)zの方程式
z4D 324 ①
z4Dt4 ② の解について考える。
z D r.cos C i sin / r > 0; 0 < <D 2/
とおく。このとき
z4D r M cos N C i sin N
r D O
q
P
D Q
S
R ;
T
R ;
U
R
Trang 5関数f x/ D x4C 2x3 12x2C 4とy軸上の点P.0; p/を考える。点P.0; p/から曲線y D f x/に3本
点.t; f t //における曲線y D f x/の接線の方程式は
y D A t3C B t2 CD t
x E t4 F t3C GH t2C I
p D J t4 K t3C LM t2C N ① である。
0 極小値 1 極大値
p D U とp D V
Trang 6動点Pの座標.x; y/が時刻t の関数として次の式で与えられている。
x D4t sin 4t
y D4 cos 4t
dx
dt D A
B cos 4t
dx
dt D C sin 4t
である。よって
dx dt
2 C
dy dt
2
D DE sin2 F t
となる。
⑵ 点Pが時刻t D 0から時刻t D 2まで動くとき，点Pの速さむが最大となる時刻が，全部で G 回
t0D H
I ; t1D J