De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 2 mon toan cua Nhat Ban (de 1)
Trang 1数学 コース 1 （基本コース）
Ⅰ
問 1 a; bは実数であり，0 < b < 7とする。2次関数
f x/ D x2 6x C a
のb <D xD 7< の範囲における最大値M と最小値mを考える。
f x/は
f x/ Dx A 2
C a B
と表される。
⑴ 次の文中の C ∼ G には，下の0∼9の中から適するものを選びなさい。
次の2つの場合に分けて，M，mを求める。
0 < b <D C のとき
M D D ; m D E
である。
C < b < 7のとき
M D F ; m D E
である。
0 0 1 1 2 2 3 3
4 a 6 5 a C 7 6 a C 8 7 a 9
8 b2
6b C a 9 b2C 6b C a
⑵ M D 13; m D 1となるようなa; bを求めると
a D H ; b D I
である。
Trang 2問 2 大中小3個のさいころ 1)を同時に投げて出た目の数をそれぞれx; y; zとし
x D y D z である事象をA
x C y C z D 6 である事象をB
x C y D z である事象をC とする。
⑴ 事象A; B; C の起こる場合の数は，それぞれ
Aが J ; Bが KL ; C が MN
である。
⑵ 事象A \ B; B \ C; C \ Aの起こる場合の数は，それぞれ
A \ Bが O ; B \ C が P ; C \ Aが Q
である。
⑶ 事象B [ Cの起こる確率P B [ C /は
P B [ C / D RS
TUV
である。
Trang 3問 1 xの式
P D x 1 C x 2 C x a
を考える。P の値がx D aのとき最小となるような実数aの値の範囲を求めよう。
まず，一般に不等式
x 1 C x 2 C x a >D x 1 C x 2
が成り立ち，等号が成り立つのはx D aのときであることに注目する。
このとき
y D x 1 C x 2 ① とおくと
y D
† A x C B .x < C /
F x G E < x/
である。
① のグラフを考えると，yの最小値は H であり，不等式 I <D xD< J を満たすす
べてのxにおいてyはこの値 H をとることが分かる。
よって， K D a< D< L を満たすすべてのaに対して，P の値はx D aで最小となる。ま
た，そのときのP の値は M である。
Trang 4問 2 自然数a; bの最大公約数 1)は3とする。a; bの最小公倍数 2)を`とおくとき
3a 2b D ` C 3 ① が成り立つような自然数a; bを求めよう。
a D 3p; b D 3qとおくと，p; q互いに素注 3)であるから` D N pqである。
したがって，等式①はp; qを用いて
pq O p C p q C Q D 0
と表される。これを変形して
p C R
q S
D T
を得る。この等式を満たす整数p; qの組の中でa; bの両方が自然数となるのは
p D U ; q D V
のときであり
a D WX ; b D Y
である。
Trang 5次の文中の A ∼ M には，下の0∼9の中から適するものを選びなさい。
次の連立不等式を解いてみよう。ただし，0 < a < 1とする。
8
<
:
x2 2x < 3 ①
ax2 ax x C 1 > 0 ② 不等式①を解くと
A < x < B
である。
次に，不等式②を変形して
ax C
x D
> 0
を得る。よって，0 < a < 1に注意すると，②の解は
x < E または F < x
である。
したがって，求める連立不等式の解は
0 < a <D G のとき， H < x < I
G < a < 1のとき， J < x < K または L < x < M である。 ただし， K < M とする。
0 0 1 1 2 2 3 3 4 1
5 1
2 6 1
3 7 1
a 8 2
a 9 3
a
Trang 6右図において，†XOY D 60ıであり，OZは
†XOYを2等分する半直線とする。また，
半直線OX, OY上の点A BはOADOBD 1
を満たす。
いま，OX, OZ, OY上の動点P, Q, Rは，そ
れぞれA, O, Bから同時に出発して，毎秒1,
p
3, 2の速さで点Oから遠ざかるとする。
このとき，3点P, Q, Rが一直線上に並ぶま
での時間を，三角形PQRの面積を考えるこ
とによって求めよう。
Y
Z
A
B
P Q R
ıı 1 1
まず，出発からt 秒後のOP, OQ, ORの長さはそれぞれ
OPD t C A ; OQ D
q
B ; OR D C tC D
と表される。このとき，三角形の面積はそれぞれ
4OPQ D
q
t C F 4
4ORQ D
q
4
4OPR D
q
t C K
4
である。よって
4PQR D
q
N
4
ˇ
ˇ t2C t C O
ˇ ˇ
である。したがって，3点P, Q, Rが一直線上に並ぶのは