De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 2) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 2)
Trang 1数学 コース 2 （上級コース）
Ⅰ
問 1 P D 10a2C 14ab 21bc 15caとする。
⑴ P を因数分解すると
P D A a C B b
である。
⑵ 5a Dp6，14b Dp2 Cp3 p
6，15c Dp12 p
8とすると
P D E C F
q
G H
である。このとき，P より小さい整数の中で最も大きいものは I である。
1
Trang 2問 2 2つの袋A，Bがある。Aの袋には白球が4個，赤球が1個入っており，Bの袋には白球が2個，赤
球が3個入っている。はじめにAの袋から同時に2個の球を取り出し，続いて，Bの袋から同時に2 個の球を取り出す。
⑴ Aから2個の白球を取り出し，Bからは白球と赤球をそれぞれ1個ずつ取り出す確率は J
KL
である。
⑵ 取り出した4個の球の中に，3個の白球と1個の赤球が入っている確率は M
N
である。
⑶ 取り出した4個の球がすべて同じ色である確率は O
PQ
である。
⑷ 取り出した4個の球の中に含まれる白球が2個以下である確率は RS
TU
である。
Trang 3問 1 2つのベクトル!
a と!
b のなす角は60ıであり，!
a D 1，!
b D 2とする。また，実数xに対して，
!
u D x!a C!b，!
v D x!a !
b とする。x > 1のとき，!
u と!
v のなす角が30ıとなるようなxの値 を求めよう。以下，!
u !v は!
u と!
v の内積注 1)を表し，!
a !b は!
a と!
b の内積を表す。
まず，ベクトル!
u と!
v のなす角は30ıであるから
!
u !v
2
D A
B
! u
v
2
を得る。!
a !b D C であることに注意して，この式xで表すと
x4 DE x2C FG D 0 となる。これを変形して
x2 H 2
D I x2
を得る。
したがって，x > 1に注意して，これを解くと
x D J C
q
KL
となる。
注1) 内積：inner product
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Trang 4問 2 複素数平面上で，z が実数となるような複素数zを考える。
⑴ 上の条件を満たす複素数z D x C iyが描く図形をC とする。その複素数zの偏角は
arg zD
を満たすので，図形C はx，yの方程式
y D N ，y D
q
q
で表される3直線である。
⑵ C 上に z 1 i D rを満たす複素数zがただ1個だけ存在するとする。このとき，r の値は
r D
q
Q
q
R S
となる。また，そのときのzの値は
z D T C
q
U V
1 C
q
である。
Trang 53次関数
f x/ D 13x3 t C 2
2 x
2
C 2tx C 23 の区間x <D 4における最大値が6より大きくなるような実数t の値の範囲を求めよう。
まず，f x/の導関数注2)は
f0.x/ Dx A
.x t / であるから，tの値の範囲を次のように分けて考える。
t > A のとき，f x/はx D A で極大，x D tで極小となる。
また，f 4/ D B であるから，f
A
> 6となるt の値の範囲を求めればよい。
t D A のとき，区間x <D 4におけるf x/の最大値はf
D D となり，条件は満 たされない。
t < A のとき，f x/はx D tで極大，x D A で極小となる。
また，f 4/ D B であるから，f t / > 6となるt の値の範囲を求めればよい。
ここで
f t / 6 D 16 t C E
t F 2
であることに注意する。
以上より，求めるtの値の範囲は
t > GH
I
またはt < JK
である。
注2) 導関数：derivative
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Trang 6関数
f x/ D 3 sin x2 cos x 0 <D x<D /
を考える。
⑴ f x/の導関数は
f0.x/ D A cos x B
C D cos x
2
である。したがって，関数f x/が極値をとるxの値を˛とおくと
cos ˛D E
F
である。
⑵ 関数y D f x/のグラフとx軸によって囲まれる部分は直線x D ˛によって2つの部分に分けられる。そ の左側の部分の面積をS1とおくと
S1D
ˇ I
G H
dt
L
N O
である。
また，右側の部分の面積をS2とおくと
S2D P2 log Q
である。