De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 1) De thi dai hoc nam 2015 lan 1 mon toan cua Nhat Ban (de 1)
Trang 1数学 コース 1 （基本コース）
Ⅰ
問 1 P D 10a2C 14ab 21bc 15caとする。
⑴ P を因数分解すると
P D A a C B b
である。
⑵ 5a Dp6，14b Dp2 Cp3 p
6，15c Dp12 p
8とすると
P D E C F
q
G H
である。このとき，P より小さい整数の中で最も大きいものは I である。
1
Trang 2問 2 2つの袋A，Bがある。Aの袋には白球が4個，赤球が1個入っており，Bの袋には白球が2個，赤
球が3個入っている。はじめにAの袋から同時に2個の球を取り出し，続いて，Bの袋から同時に2 個の球を取り出す。
⑴ Aから2個の白球を取り出し，Bからは白球と赤球をそれぞれ1個ずつ取り出す確率は J
KL
である。
⑵ 取り出した4個の球の中に，3個の白球と1個の赤球が入っている確率は M
N
である。
⑶ 取り出した4個の球がすべて同じ色である確率は O
PQ
である。
⑷ 取り出した4個の球の中に含まれる白球が2個以下である確率は RS
TU
である。
Trang 3問 1 2つの放物線
` W y D ax2C 2bx C c
m W y D a C 1/x2C 2.b C 2/x C c C 3
を考える。点A，B，C，Dが右図のような位置関係に
あるとする。このとき，この2つの放物線のうち，一
方は，3点A，B，Cを通り，もう一方は，3点B，C，
Dを通るとする。
⑴ 3点A，B，Cを通る放物線は A である.ただし， A には，次の0か1のどちらか適 するものを選びなさい。
0 放物線` 1 放物線m
⑵ 2つの放物線`，mは，どちらも2点B，Cを通るので，点B，Cのx座標は，2次方程式
x2C B x C C D 0 の解である。よって，点Bのx座標は DE ，点Cのx座標は FG である。
⑶ 特に，AB=BC，CO=ODのとき，a，b，cの値を求めよう。
2 点C，Dは y 軸に関して対称注 1)であるから，b D H である。また，AB=BC より，
直線x D IJ が A の軸である。したがつて，a D K
L
である。よつて，
c D M
N
である。
注1) 対称：symmetry
3
Trang 4問 2 3a C 1がa C 5の約数となるような自然数aを求めよう。
3a C 1 D bとする。このとき
a2C 5 D b
R ① である。また，bはa2
C 5の約数であるから，a2
C 5はある自然数cを用いて
a2C 5 D bc ② と表される。①，②から
b
D UV
を得る。したがってbは UV の約数である。この中で，aが自然数となるのはb D WX で ある。したがって，a D YZ である。
Trang 53辺の長さが15，19，23の三角形がある。この三角形の3辺をそれぞれxだけ短くした鈍角三角形を作る ことを考える。このとき，xの値の範囲を求めよう。
まず，15 x，19 x，23 xという3つの値が，三角形の3辺の長さとなる条件より
x < AB
を得る。
さらに，その三角形が鈍角三角形となるのは，xが
x2 CD x C EF < 0 を満たすときである。この2次不等式を解いて
G < x < HI
を得る。
よって，求めるxの値の範囲は
J < x < KL
である。
5
Trang 6右図においてQ
OAD 6，OBD 3，†AOB D 120ı
とし，点Qは†XABの二等分線と†ABYの二等分
線の交点であるとする。さらに，線分ABと線分OQ
の交点をPとする。このとき，線分PQの長さを求め
よう。
⑴ まず，ABD A
q
B であり，三角形OABの面積は C
q
D E
である。
⑵ 次の文中の F ， G には，下の選択肢0∼4の中から適するものを選びなさい。
0 AB 1 AP 2 AQ 3 BP 4 BQ
AQは三角形OAPの†Aの外角の二等分線注 2)であり，BQは三角形OBPの†Bの外角の二等分線である から
OQ：PQDOA W F
DOB W G
が成り立つ。よって，OA：OBD F ： G である。
⑶ したがって，APD H
q
I である。また，†AOP= JK であるから，OPD L とな る。よって
PQD M C N
q
O
である。
注2) 二等分線：bisector，外角：exterior angle