De thi dai hoc nam 2013 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (De 1) De thi dai hoc nam 2013 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (De 1) De thi dai hoc nam 2013 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (De 1) De thi dai hoc nam 2013 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (De 1) De thi dai hoc nam 2013 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (De 1) De thi dai hoc nam 2013 lan 2 mon Toan cua Nhat Ban (De 1)
Trang 1数学 コース 1 （基本コース）
Ⅰ
y D x2 ax C 3 ① について考える。
⑴ a > 0であって，関数①の最大値が7であるならば，a D A である。このとき，この関
q
⑵ 関数①のグラフをx軸方向に2，y軸方向に 3だけ平行移動して得られる曲線が 3 ; 5 /を通
Trang 2問 2 設問 ⑴ の H ， I と設問 ⑵ の J ， K に，下の0∼3の中から適するものを 選びなさい。
実数x，yについて次の条件p，q，r を考える。
p: x，yが等式.x C y/2D a.x2C y2/ C bxyを満たしている。
ただし，a，bは実数で定数とする。
q: x D 0かつy D 0である。
r: x D 0またはy D 0である。
⑴ 条件pにおいて，a D b D 1とする。このとき，pはqであるための H 。
また，pはrであるための I 。
⑵ 条件pにおいて，a D b D 2とする。このとき，pはqであるための J 。
また，pはrであるための K 。
⑶ 条件pにおいて，a D 2とすると，pの式は
x Cb L
!2 C
0 B
@ N
b O 2
P
1 C
A y2D 0
と変形できる。したがって，pがqであるための必要十分条件となるのは，bが
Q < b < R
を満たすときに限る。
Trang 3問 1 袋の中に白球が1個，赤球が3個，黒球が5個，計9個の球が入っている。この袋の中から同時に2
個の球を取り出す。
いま，各球の点数を，白球が5点，赤球が3点，黒球が1点であるとする。このとき，この試行*1に よって取り出された2つの球の点数の合計得点を考える。
CD
である。
⑵ 得点が6になる確率は E
F
である。
⑶ 得点の期待値*2は GH
I
である。
*1 試行：trial
期待値：expected value
Trang 4問 2 自然数nが完全平方数であるとは，n D x を満たす自然数xが存在することである。同様に，nが完 全立方数であるとは，n D x3を満たす自然数xが存在することである。
次の2つの場合について，nをそれぞれ求めよう。
nを完全平方数とする。nに13を加えた数も完全平方数である。
nを完全立方数とする。nに61を加えた数も完全立方数である。
まず を考える。完全平方数の定義より，xを自然数としてn D x2と表せる。また，(i)の条件より，
yを自然数として
x2C 13 D y2
と表せる。したがって，x < yであることから，y x D J かつy C x D KL であるこ とが分かり
x D M ，y D N
を得る。よって，n D OP である。
次に， を考える。 のときと同様に， の条件より，xを自然数としてn D x3，また，xを自然数 として
x3C 61 D y3
と表すことができる。これを解いて
x D Q ，y D R
Trang 5aを定数とする。2次不等式
x2 2.a C 2/x C 25 > 0 ① を考える。
不等式 ①の左辺は
x a A 2
a2 B a C CD
と変形できる。したがって
⑴ 不等式①がすべての実数xに対して成り立つための条件は
EF < a < G
である。
⑵ 不等式① がx >D 1を満たすすべての実数xに対して成り立つための条件は
HIJ < a < K
である。
Trang 6右の図において
ABD 4，ACD 5，cos†BAC D 18
であり，また
†BAD D †ACB，†CAE D †ABC
であるとする。
A
D E
⑴ 4ABCの面積をSとおくと
S D AB
q
C D
⑵ 4ABDと4ACEの面積をそれぞれS1，S2とおくと
S W S1W S2D 1 W F
JK
である。
⑶ 4ADEの面積をT とおくと
T D LM
q
N OP
である。また，DED Q
R
である。